1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Функция у(х), определенная на некотором измеримом множестве Е и эквивалентная на нем некоторой измеримой функции д(х), тоже измерима. Доказательство. Из определения эквивалентности следует, что множества (х: д(х) < а) и (х: д(х) ( а) могут отличаться друг от друга только на некоторое множество меры нуль, следовательно (поскольку мера предположена полной), если второе из них измеримо, то измеримо и первое. Загиеч ание.
В классическом анализе понятие эквивалентности функций пе играет существенной роли, так как там в основном рассматриваются непрерывные функции одного или нескольких переменных, а для них эквивалентность равносильна тождественности. Точнее, если две функции, у и д, непрерывные на некотором сегменте Е, эквивалентны (относительно меры Небога), то опи совпадают. Действительно, если У(хо) ф д(хо) в какой-либо точке хо, то в силу непрерывности Т и д найдется окрестность точки хо, во всех точках которой т (х) ф- д(х). Мера такой окрестности положительна, поэтому непрерывные функции пе могут быть эквивалоптпы, осли опи пе совпадают. Для произвольных измеримых функций эквивалентность вовсе не означает совпадения.
Например, функция на прямой, равная единице в рациональных точках и нулю в иррациональных, эквивалентна функции, тождественно равной нулю. 4. Сходммость почти всюду. Поскольку во многих случаях поведение измеримой функции на том или ином множестве меры нуль для нас несущественно, будет естественно ввести следующее обобщение обычного понятия поточечной сходимости.
1 4. Измеримые функции 305 Определение 3. Последовательность (1„(х)) функций, определенных на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется сходяп1ейся почти всюду к функции 1(х), если 1пп 1„(х) = 1(х) (2) для почти всех х Е Х (т.е. множество тех точек х, в которых (2) не выполняется, имеет меру нуль). Пример. Последовательность функций (и(х) = ( — х)", определенных на отрезке (О, Ц, при п — ~ со сходится к функции 1(х) = О почти всюду (а именно, всюду, кроме точки х = 1). Теорема 4 допускает следующее обобщение. Теорема 4'. Если последовательность измеримых функций уи(х) сходитсЯ к фУнкции 1(х) почти всюдУ на Х, то 1(х) также измерима.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А то множество, на котором 11щ („(х) = г(х). По условию, р(Х 1 А) = О. Функция 1(х) измерима на А, а так как на множестве меры нуль, очевидно, вообще всякая функция измерима, то 1(х) измерима на Х 1.4, следовательно, она измерима и на множестве Х. Упражнение. Пусть последовательность измеримых функций г" (х) сходится почти всюду к некоторой предельной функции 1(х). Доказатги что последовательность 1 (х) сходится почти всюду к д(х) в том и только том случае, если и(х) эквивалентна у(х). 5. Теорема Егорова. В 1911 г. Д.Ф.
Егоровым была доказана следующая важная теорема, устанавливающая связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости. Теорема 6. Пусть Е множество конечной меры и последовательность измеримых функций Ти(х) сходится па Е почти всюду к ((х). Тогда для любого б > О существует такое измеримое множество Ее С Е, что 1) р(Ее) > р(Е) — б; 2) на множестве. Ее последовательность ((и(х)) сходится к 1'(х) равномерно. Доказательство. Согласно теореме 4' функция 1(х) измерима. Положим Е"„" = П (х: ~,(,(х) — т'(х)~ ( 1/т). ю>и 306 рл. Н. Мера, иолгерилоые франции, интеграл Таким образом, Е„'', при фиксированных т и и означает множество всех тех точек х, для которых ~(,(х) — 1(х)( < 1/т при всех 1 > и.
Пусть оо Е = ()Е„~. п=1 Из определения множеств Е„, ясно, что при фиксированном т ЕтС .СЕтС.. В силу того, что и-аддитивпая мера непрерывна, для лообого т и любого б > 0 найдется такое ио(т), что !л(Е 11 Е„,! !) < б/2'". Положим Е,= П Е„"".,т, т=1 и покажем, что так построенное Ег удовлетворяет требованиям теоремы. Докажем сначала, что на Ег последовательность (Ях) ) сходится равномерно к функции 1(х).
Это сразу вытекает из того, что если х Е Ее, то для любого т (,(1(х) — ((х)! < 1/т при о > ио(ти). Оценим теперь меру множества Е 1, Ег. Для этого заметим, что при всяком т имеем р(Е о~ Е ) = О. Действительно, если хо Е Е 1 Е то существуют сколь угодно болыпие значения 1, при которых ~Л(хо) — Х(хо)~ > 1о!т, т. е. последовательность ( (п(х)) в точке хо не сходится к ! (х). Так как, по условию, (1„(х)) сходится к 1(х) почти всюду, то д(Е ~ Е"') = О. Отсюда следует, что !г(Е11Е,",,'~ !) = р(Еп' 'о Е™! ) < б/2'". Поэтому !г(Е 1 Ез) = !г(Е оо П Епо!т!) = !г( 0 (Е 1 Епо(~!)) < < ~~ !г(Е 1Е„~ !) < ~~ — = д.
Теорема доказана. 1 4. Измеримьле функции ЗО7 6. Сходимость по мере. Определение 4. Говорят, что последовательность измеримых функций Хи(х) схойитпся по мере к функции Х(х), если для любого ст > О 11пл лл(х: !Хтл(х) — Х(х)/ > ст) = О. Нижеследующие теоремы 7 и 8 устанавливают связь между понятиями сходимости почти всюду и сходимости по мере. Как и в предыдущем пункте рассматриваемая мера предполагается конечной.
Те ор е м а 7. Если последовательность измеримых функций (Х„(х)) сходится почти глсюду к некоторой фулгкции Х(х), то она сходится к той же саллой' предельной функции Х (х) по мере.. Доказательство. Из теоремы 4' следует, что предельная функция Х(х) измерима.
Пусть А то множество (меры нуль), на котором Х„(х) не стремятся к Х(х). Пусть, далее., Еь(а) = (: (Хь(х) — У(х)1 > ), Л„(ст) = Ц Еь(ст), ЛХ = П Ли(сг). и=1 Ясно, что все эти множества измериълы. Так как Лл(а) Э Лл(а) З то в силу свойства непрерывности меры р(Л„(сг)) — т р(ЛХ) при п — т оо. Проверим теперь, что ЛХ с А.
Действительно, если хо сХ А, т.е. если 11щ Х.(хо) = Х(хо), то для данного а > О найдется такое пи что (Хь(хо) — Х(хо)~ ( о. при /с > пс (3) т. е, хо сХ Ли(ст) и, тем более, хо 1с ЛХ. Но р(.4) = О, и поэтому из (3) вытекает, что р(ЛХ) = О, и, следовательно, р(Л (ст)) -+ О при п -+ оо так как Е„(а) С Ли(а.), то теорема доказана.
Гл. р. Мера, измеримые функции, инигеграл 308 Нетрудно убедиться, что из сходимости последовательности функций по мере, вообще говоря, не следует ее сходимость почти всюду. Действительно, определим для каждого натурального к на полуинтервале (0,1) функции .(лд Тць) ь следующим образом: Л (х) = ОО 1 при — <х< -', у О при остальных значениях х. Занумеровав все эти функции подряд, мы получим последовательностлч которая, как легко провери ль, сходится по мере к нулю, но в то же время не сходится ни в одной точке (докажите это!). У п р а ж и е н и е.
Пусть последовательность измеримых функций (л„(х)) сходится по мере к некоторой предельной функции 1(х). Доказать, что последовательность Д, (х)) будет сходиться по мере к функции д(х) в том и только в том случае, если д(х) эквивалентна Т(х). Хотя приведенный выше пример показывает, что теорема 7 не может быть обращена в полной мере, тем не менее справедлива следующая теорема. Теорема 8. Пусть последовательность измеримых функций (тн(х)) сходится по мере к т'(х). Тогда из этой последовательности можно вьлбРать поДпослсдовательность (1"„к (х) ), сходЯшУюсЯ и 1 (х) почти всюду Доказательство. Пусть ел, ет, ...
некоторая последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю, Иш си=О, п-газ и пусть положительные числа тлл,..., гли,.... таковы, что ряд ц~л + Цз+... сходится. Построим послелольательность индексов пл < пт <... следующим образом; выберем пл так, чтобы ДЕх:!Уи,(х) — У(х)( > ) < Ол (такое пл обязательно существует): далее выберем пт > пл так, чтобы лл(х: /,)',(х) — Т(х)/ > ее) < ти. 4. Измеримые функции 309 Вообще, выберем пь > пь з так, чтобы р(к: [Уик(я) — Х(я) [ > ев) ( цв Покажем, что построенная последовательность сходится к )(т) почти всюду.
Действительно, пусть Л; = () (т: [У„„(т) — У(. ) [ > ) у=г Так как Л,эЛззЛзз .зЛ„з..., то в силу непрерывности меры р(Лз) -+ 1гЯ). С ДРУгой СТОРОньд Яеног что 11(Лг) ( е г1Ь г ОткУДа ег(Лг) г О в — — г при г -+ оо, т, е, ИЯ) = О. Остается проверить, что во всех точках множества Е г~ ц) имеет место сходимость у„г (т) — з У'(т). Пустые е ЕЯ. Тогда найдется такое го, чтото р Л,, Это означаетг что для всех Й > го яо Ф (т: [)'" (т) — У(тН > ь) т. е.
[тик (ЯО) У(ЗЗО)[ ( ЕЬ. Так как, по условию, вв — э Ог то йзп уггг (хе) = )(ке). Теорема доказана. 7. Теорема Лузина. С-свойство. Определение измеримой функции, данное в самом начале этого параграфа, относится к функциям на произвольных множествах и в общем случае никак ие связано с понятием непрерывной функции. Однако, если речь идет о функциях на отрезке, то имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913г. 11.
Н. Лузиным. Теорема 9. Для того чтобыфункцияу"(я), заданная наотрезке [а, Ь), была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовала така» непрерывная на [а, Ь[ функция уз(т), что рг(т . Г(т) ~ уз(я)) ( е Иначе говоря, измеримая функция может быть сделана непрерывной на [а, Ь) путем ее изменения на множестве сколь угодно малой меры. Про функцию на отрезке, которая может быть сделана не- Гл. П. Мера, измеримые функции, интеграл зуо прерывной с помощью такой «малой деформации», говорят, что она обладает С-сввйсшвв»г (термин Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
