1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 65
Текст из файла (страница 65)
е. множество злементов из 14" с координатами, подчиненными условию 0<яь <1, 1=1,...,п, является и-й степенью единичного сегмента 1' = ~0, Ц. Если Я!,..., Яи системы подмножеств множеств Х!,..., Х„, то Я= Я! х . х б„ обозначает систему подмножеств множества Х = Я Хю представимых в виде .4=А! х.. хА„, где Аь е Йь.
Если ез! — — . —— б„= ю, то Я еспь и-я степень системы Ь; Например, .система парал.лелепипедов в К" есть и-я степень системы отрезков в К'. Теорема 1. Если б!,,юн полукольца, то и Я = т4бе есзь пол!"кол! до. Доказательство. Согласно определению полукольца нам нужно проверить, что осли А, В Е Я, то А ! ! В Е Я, и если, кроме и того, В С А, то А = О Се, где С! — — В, С, П С. = !с! при ! ~ ! !=о и С, Е Я (! = 1,..., и). Проведем доказательство для случая п = 2.
1. Пусть А е (5! х Ят, В Е ю! х ют., зто значит, что А=А! хА2, А! ЕЯ!, .42йбт., В=В,хВ2, В! Е(5!, Втббт. !ж Н. Мера, измеримые функции, интеграл Тогда А П В = (А! П Вг) х (Аа й Вз), Аг ПВ! Е бы Аз Г1Ве Е Яя, АГ1В Е Ь1 х Ьщ и так как то П. Предположим теперь, дополнительно, что В! С.4ы Вз С Аз,. в силу того, что Я! и е5з полукольца, имеют место разложония: А,=В,гуВ,"О ОВ,"', Аз —— ВзггВз 0 .ггВз Но тогда А = А, х Аз = (В, х Вз) 0 (В! х В ~) 0 .. с! (В, х Вт ~)~! и (В~'~ х Вз) С! (В~' х В) ~) Г! . и (В," х В~р~)О С! (В1 ~ х В ) О (В~ ~ х В~ ) ) О .. О (В1 ~ х В~!~). Первым членом этого разложения служит Вг х Вз = В, и все члены принадлежат системе б! х бв.
Теорема доказана. Однако из предположения, что системы бь суть кольца (или п-алгебры), еще не вытекает, вообще говоря, что произведение Дать будет кольцом (соответственно п-алгеброй), 2. Произведения мер. Пусть на полукольцах (5|,..., Я„заданы меры Я = В1 х . х (5„ меру (2) !г=!г! х . хр„ формулой р(А) = !гг(Аг) х .. х ри(А„), рг(.4!),...,!л„(А„), Аь и Яь. Для простоты будем считать эти меры конечными, хотя излагаемые ниже рассуждения и факты переносятся, без существенных изменений, на случай п-конечных мер (см., например, [2Ц).
Определим на полу. кольце 1 6. Прямые произведения систем множеств и мер 331 где А=А1Х . Х.4п. Следует еще доказать, что р(А) — действительно мера, т.е. что эта функпия множества аддитивна. Сделаем это для случая п = 2. Пусть дано разложение А = А, х .43 = ) ) Вг~г, В1й О В~од = о при Вряг = В~ ~ х В,~ В силу леммы 2 3 5 гл. 1 существуют такие разложения А — 0 С~г"*~, Аз — 0 Сз"~. ЧтО МНОжЕСтВа Вг г яВЛяЮтСя ОбЬЕдИНЕНИяМН НЕКОтОрЫХ С, (е) (тг гь'г (и'г и множества В~~ объединениями некоторых С~ .
Очевидно, что д® = дг(А1)„,(А3) = ~ ~ 'дг(С,'"')„,(С,"), д(Вг'г) = дг(В1"')д,(В,' ') = ~ ~дг(С1' ')д,(С,.' '), (4) (5) причем в (5) справа сумма берется по всем Сгр" СВ1' и Сзр СВз', а в правой части равенства (4) стоят по одному разу все члены, появляющиеся в правых частях равенств (5). Поэтому рг(А) = ~д(Вь), что и требовалось доказать. Таким образом, в частности, аддитивность элементарных мер в и-мерном евклидовом пространстве следует из аддитивности линейной меры на прямой. Меру (2), заданную на полукольце (1) формулой (3), мы будем назь1вать произведением мер ргг,..., рг„. Доказательство проведем для случая и = 2.
Обозначим через Лг .лебегово продолжение меры дг. Пусть С = ) ) Сп, где п=1 Сп П С = Ы ПРИ П ф Щ, ПРИЧЕМ С И Сп ВХОДЯТ В Ьг Х бщ т, Е. С = А х В, А Е (51, В Е йчг, Сп=АпхВо: АпЕ(51, ВпЕЮ3. Теорема 2. Еслимерьгггг,..., Пп гг-а,тдитивньг, тоо-аддитивна ИМЕРад=рг Х. Х Дп. Гл. Н. Мера, измеримые фрикции, и~тегрил ззг Пусть множества А и Аы Аз,... лежат в пространстве Л. Положим для хбХ Г рз(В„), если х Е Аго У.(.) = ~ Ог если х ф Ап. Легко видеть, что для х е .4 (,(х) = рз(В), и поэтому в силу следствия из теоремы Б. Леви (см. и.
5 з б) ~ / Уп(х)дЛг — — / рг(В) дЛг — — Лг(А)рз(В) = дг(.4)рз(В), и А А но / г„(х) дЛг = рз(В„)угт(Ап) = д(С„) А и, следовательно, ~" д(с„) = д(с). Если рм ...,рп о.-аддитивные меры, заданные соответственно на о-алгебрах Яы..., Ьп, то их произведением мы назовем лебегово продолжение меры пг х . х д„. Будем обозначать его символом пг аг . Зри или Кды В частности,при Р'г = ' ' ' = 'ггп = Р получаем п-ю степень меры р: = Я~гь Например, и-мерная мера Лсбега р" есть п-я степень линейной меры Леоега р.
Заметим, что произведение мер автоматически оказывается полным (двже если меры рм, .., р„были неполны). 3. Выражение плоской меры через интеграл линейной меры сечений и геометрическое опрспеление интеграла Лебега. Пусть область С на плоскости (х, у) ограничена вертикалями х = о, р = Ь и кривыми р = у(х), у = дг(х). Как известно, площадь области 0 выражается интегралом Ь ~'(0) = ~ ('р(х) — д'(х)) 1" а При этом разность уг(хв) — дг(хв) равна длине сечения области С вертикалью х = хш Нашей задачей является перенести такой способ измерения площадей на произвольные меры-произведения д = и.
й рр. 3 6. Прямые пропвведенил систем мнооюесте и мер 333 В дальнейшем будет предполагаться, что меры ре и рв определены на и-алгебрах, зт-аддитивны и обладают свойством полноты (если В с А и д(А) = О, то В измеримо), которым, как указывалось ранее, обладают все лебеговы продолжения. Введем обозначения: А, = (у: (х,у) 6 А) (х фиксировано), Ап — — (х: (х,у) Е Ц (у фиксировано).
Коли Х и У . - числовые прямые (а Х х У - плоскость), то А„ есть проекция на ось 1 сечения множества А вертикальной прямой х =хо. Теорема 3. В перечисленных выше предположениях для любог<> д-измеримоли множества з) А д(.4) = ( рр(.4,) йр, = / ре(Аи) дрю Доказательство. Достаточно доказать равенство д(А) = / зрА(х) <1р„где 3сА(х) = рв(А,), (6) так как второе утверждение теоремы вполне аналогично первому. Заметим, что теорема автоматически включает в себя утверждение, что при почти всех х (в смысле. меры р,) мнозюестава .4, измеримы отпносительно меРь Рзи и что фУнкЦиЯ УА(з,) измеРима относительна меры р,.
Без етого формула (6) не имела бы смысла. Мера р --- зто лебегово продолжение меры т = р. х р, определенной на системе Я множеств вида А = А, х Ае, Для таких множеств равенство (6) очевидно, так как для них Нв(йее) при х 6.4по РА(х) = О при хфАи„. Без труда переносится равенство (6) и па множества из йт(щ ), разложимые в конечную сумму.
попарно непересекающихся множеств из Й Доказательство равенства (6) в общем случае опирается на следующую лемму, которая имеет и самостоятельный интерес для теории лебеговых продолжений. ') Заметим, что интегрирование по Х фактически сводится к ннтегрированизо по множеству () Ат С Л, вне которого подынтегральная функция равна нулю. Аналогично, )' = / ЦА Гл. Н. Мера, измеримые функции, иыпгеграл 334 Лемма. Для любого !г-изггеримого ыножества А существует множество В вида В = П Вп, В1 з .
э В„з ..., и Вп ()Впуг Вп1 С'''СВпу С 1; где множества Впг пРинадлежат Я(Я ), пРичерг А с В и (7) !г(А) = р(В). Доказательство. По определению измеримости при любом и множество А можно погрузить во множество Сп еп () лап„- объедиНЕНИЕ УП1ежсетВ Ь„е ИЗ б таК, ЧтО д(С.) ( д(А) + 1! . и Положим В, = П Су и заметим, что множества Вп имеют У=1 вид Вп зп Оба„где бп, принадлежат !5,п. Положив, наконец, у Впу = ( ) бп„мы получим систему множеств Впг с нужными свойг=1 ствами.
Лемма доказана. Равенство (6) легко переносится с множеств В,г 6 Яф ) на множества Вп и В при помощи теоремы Б. Леви (теорема 7 ~ 5), так как 'Рв,.(х) = 11п1 уев.,(х) уев,ы ~ грв,., ~ 1гев(х) = 11ш Уев„(х), гав, ) Узна ) ... и — газ В силу непрерывности меры этн равенства имеют место в каждой точке х.. Если !г(А) = О, то 41(В) = О и почти всюду узв(х) = ру(В„) = О. Так как А, С В„то для почти всех т множество А, измеримо и д,=д„(А,) =О, 1 узл(х) п4гз = О = р(А). Следовательно, для множеств А меры нуль формула (6) верна. В общем случае представим А в виде В 1С, где в е илу (7), !4(С) = О. Так как формула (6) верна для множеств В и С, то легко видеть, что Е 6. Прямые произведения систем множеств и мер она верна и для самого множества А. Доказательство теоремы 3 закончено. Пусть теперь У числовая прямая, рр линейная мера Дебета, а множество А есть множество точек (х, д) вида ((х, й): х б Л!., О < у < !(х)), (8) где Л! какое-то р -измеримое множество, а ! (х) интегрируемая неотрицательная функция.
В этом случае !(х) нри х Е ЛХ, и (Ае) = О при хфЛ!, р(А) = ~ У(х)Аде м Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 4. Интеграл Лсбсга неотрицательной функции !(х) равен мере р = р З рр множества А, определенного соотношением (8). Когда Х числовая прямая, множество Л! - отрезок, а функция !(х) интегрируема по Риману, эта теорема сводится к известному выражению интеграла через плошадь, расположенную под графиком функции. 4. Теорема Фубиии.
Рассмотрим тройное произведение П = = Х х У х Я; если на Х, У, Я заданы меры р„ии, р„то меру можно определить как (р.зр ) Вре, или же как н' о(рр од.) В действительности, как легко проверить, эти определения равносильны. Следующая теорема является основной в теории кратных интегралов. Теорема 5 (Фубини). Пусть меры р, и рр определены на о-алгебрах, н-алдитивньх и полны; пусть, да.нее, р = и* З р и функция ! (х, д) интегрируема по мере р на множестве А С Х х У. рл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
