1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 63
Текст из файла (страница 63)
УП. Если функция х интегрируема на А и по ппи всюду ~Д~х)~ < < уз(х), то ! также интсгрируема на А. Действительно, если ! и уз -"- простые функции, то, удалив из множества А некоторое множество меры нуль, оставшееся множество 4' можно представить как объединение конечного или счетного числа множеств, на каждом из которых ! и уз постоянны: ! (х) = а„, р(х) = Ь„, причем ~о,„~ < Ь„.
Из интегрируемости ~р вытекает, что ~ ~а„~!г(Аи) < ~Ь„!г(А„) = ) Уз(х) д1г = / Узах) дд. Поэтому ! тоже интегрируема, и ! 1Ю4' = 1 йх)д!! = '„г,а"р(Л ) < А А' и < ~,!а.~д1А.) = ~ !У1 )~д < ~ 4х)дд В общем случае это утверждение доказывается предельным переходом с использованием теоремы 2. Ч1П. Интегралы 1 = )' г1*)д (14) )а! — (Ь! < (а — Ь!. 4. о-адднтивность н абсолютная непрерывность интеграла Лебега. В предыдущем пункте были сформулированы свойства существуют или не сущесзпвуют одновременно.
В самом деле, из существования интеграла 1г вытекает существование 11 в силу свойства Ъ'П. Обратное для случая простой функции вытекает из определения интеграла, а для общего случая доказывается предельным переходом с использованием теоремы 2; при этом ну.жно воспользоваться неравенством 1 5. Ингигграи Игбгга 317 интеграла Лебега по фиксированному множеству. Сейчас мы уста- новим некоторые свойства интеграла Лебега, рассматривая выра- жение Е(А) = 1 )7(*)4 А как функцию множества, определенную на совокупности измери- мых множеств.
Установим, прежде всего, г.ледуюгпее свойство: Теорема 3. Если А =()Аи; А7ПА = и при 7 ~у, то и / 7(х) Йр = ~~ ~ ((х) др, (15) и Л„ причем из существования интег17алов левой части вытекает суще- ствование интегралов и абсолютная сходимость ряда в правой ча- сти. Доказательство. Сначала проверим утверждение теоремы для простой функции ) г принимающей значения дг г диг Пусть Вь = (х: х 6 А, 7 (х) = дь), Виь = (х: т 6 А, У(х) = дь) Тогда (' ~(х) Ар = ~ ' д„р(Вь) = ~ дь ~ р(Ви,) = Л ь ь и =ЕЯдьр(Виь) =Е 1 1(х)йр (16) ~,((х) — д(х)( ( е. )' д(х) г1р = ~ ~ д(х) 71р, (17) Для д имеем (18) и А Так как ряд ~ дьр(Вь) г в предположении интегрируемости 7г на А, абсолютно сходится, а меры всех множеств неотрицательны, то сходятся абсолютно и все остальные ряды в цепочке равенств (16).
В случае произвольной функции 7' из ее интегрируемости на А вытекает, что для любого е ) 0 существует простая интегрируемая на А функция д, удовлетворяющая условию Гл. Н. Мера, измеримые фуиипии, интеграл 318 причем д интегрируема на каждом множестве А„и ряд (18) аб- солютно сходится. Из этого последнего обстоятельства и из оцен- ки (17) вытекает, что 7" тоже иптегрируема на каждом А„и Е У Пя) — ~ О~ ~ ~ (А.)= (А), и А А и ~у у(.) — у.' «.- ,1 А что вместе с 118) приводит к абсолютной сходимости ряда Е 1 ~(х)" л А и к оценке 1 т48 — 1Цх)ар) 28 М л А А Так как е > 0 произвольно, то Е 1 .1 1 ) 1р = 1 ~! ) А п А„ Следствие.
Если 7 интегрируем а па А, то 1 нптег рирусм а и на любом измеримом множестве А' С А. Т е о р е м а 4. Если А = О А „, А; Г1 .4, = О при г ф у' и рял У. 1 ~7'(' НАд сходятся, то функция з' иягегряруема на А и 1~1*)" =У 1 ~~*)' (19) Доказательство. Новым по сравнению с предыдущей теоремой здесь является утверждение, что из сходимости ряда (19) вытекает интегрируемость 1" на .4. Сначала проведем доказательство для случая простой функции 1, принимающей значения 11. Положив В;=~я:ХЕА, ~(Х)=~г), А„,=АзгР1В„ мы показали, что из ипгсгрируемости функции 7 1ю множеству А следУет, что если А = 1гАи и А; П А. = хг, г ф.
У', то 7" интегРиРУема по каждому Аи и интеграл по А равен сумме интегралов по множествам А„. Это утверждение может быть обращено в следующем смысле. 1 5. Интеграл Лебега 319 0А-=Ее " 1 !У(')!" =Е!Л!д(А-) Л г Из сходимости ряда (19) вытекает, что сходятся ряды ~~((,!14(А,.,) = ~!Л!и(в,). и г Сходимость последнего ряда означает, что существует интеграл )' 1(х) 11 = ~ 1ип(Ве) Л г В общем случае аппроксимируем 1" простой функцией 1 такг что !У(х) — У(х)! < с (20) Тогда 1 !~(*)!'е У !~(х)!4'+б"(А") А Л и так как ряд 2 р(А„) = д(А) сходится, из сходимости ряда (19) и вытекает сходимость ряда ~ / !Х(х)! 1рг и .4 т.е. по только что доказанному, интегрируемость на А простой функции у.
Но тогда в силу (20) исходная функция 1 тоже интегрируема на А. Теорема доказана. Неравенство Чебышева. Егнги 9г(х) > 0 на А и с > О, то Р(х: х б А, 9г(х) > с) ~ с ( 94(х) ггр (21) Действительно, пусть А' = (х: х Е А, 99(х) > с). Тогда ~Я )бр= ~Их)ФИ+ ) Фх)еббр > /А')4Н- сд(А') А А' А1А А' Следствие. Если / !У(х)! егре = О, А то 1'(х) = 0 почти всюду. В самом деле, в силу неравенства Чебышева, имеем 14(х: х б Аг!Х( Н > Ь) < ~ ~Х(х)! 1р = 0 А рл.
Н. Мера, измеримые функции, интеграл 320 для всех и. Поэтому р(х: х Е А, г(х) ф О) < ~ р2(х: х Е Аг (Д(х)! > — „1 = О и=> В предыдущем пункте было указано, что интеграл Лебега по множеству нулевой меры равен нулю для любой функции !". Это утверждение можно рассматривать как предельный случай следующей важной теоремы. Теорема 5 (абсолк>тная непрерывность интеграла Лебега). Если 1(х) - суммнруемая на множестве А функция, то для каждого е > О существует такое, Б > О, что ~~(х) "~ <е е для всякого нзлгернмо> о е с А такого, что р(е) < д.
Доказательство. Заметим прежде всего, что наше утверждение очевидно, если ! ограничена, Пусть теперь ! -- произвольная суммируемая на А функция. Положим А„= (х: х Е А, и < ~Д(х) ~ < и+ 1), Вм = () Аан Ск = А'>В>ч. а,=в Тогда в силу теоремы 3 1 ~~(.НАр= Е 1 ~~(.)~А А а=.о А Выберем !ч' так, что (! (хЮ 4р = (' ~'Х(хЪ А!г < 2 и=->ч-~-1 ок и пусть 2(Х+ 1) Если теперь р(е) < 6, то 1Ю)«1~~( ~)~г! = 1 ~~( М4 + 1 ~~(*Н4~. е е ее>В: еос . Первый из стоящих справа интегралов не превосходит егг2 (свойство Ч), а второй — — не больше, чем интеграл, взятый по всему множеству С>ч, т. е, также не превосходит е! 2; таким образом, получаем ~ )~(х) ~ е!р < е.
е г б. е1нпгеграл Дебега 321 Установленные свойства интеграла как функции множества приводят к следующему результату. Пусгпь т' неогггрицательная функция, су мируемая на пространстве Х по мере р. Тогда функцг я Е(А) = 1 ~( )д 5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. Вопрос о предельном переходе под знаком интеграла, или, что то же самое, о почленном интегрировании сходящегося ряда, часто возникает в различных задачах. В классическом анализе устанавливается, что цостаточным условием возможности такого предельного перехода является равномерная сходимость соответствующей последовательности (ряда).
Сейчас мы установим некоторые теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, представляющие собой далеко идущио обобщения соответствующих теорем классического анализа. Теор с м а б (Л е бег). Если последовательность ( га) нв А сходится к у и врп всех п ~~н(х)( < ~р(х), где гр интегрируема на А, то предельная функция у интегрируема на А и 1 2н( )д — 1 ~( )д л л Доказательство. Из условия теоремы легко следует, что ~((х)~ < |р(х).
Поэтому у (п. 3, свойство УП) интегрируема. Пусть е > О произвольно. По теореме 5 (об абсолютной непрерывности интеграла) найдется такое б > О, что, если р(В) < б, то / ~р(х) Ь < 4. в (22) В силу теоремы Егорова множество В, удовлетворяющее условию р(В) < б, можно выбрать так, что последовательность ( г"„) сходится определена для всех нзмеримьее множеств А с Х, неотрицательна и а-аддитивна, гп.
е. удовлетворяегп условию: если А = ЦА„ и и А; й А, = мг, то Е(А) = 2 Е(Ан). Иными словами, иптегРал и от неотрицательной функции обладает как функц я множества всеми свойствами о-аддитивной меры. Эта мера определена на той же о-алгебре, что и исходная мера р, и связана с р условием: если р(А) = О, то и Е(А) = О. !л. П. Мера, измеримые функции, интеграл 322 на С = А1,В равномерно. Следовательно, найдется такое гз'г что при и > Х и х Е С выполнено неравенство 2р(С)' Тогда ~ ~(х) йр — ( 1и(х) г(р = ( У(х) — 1а(х))2р+ ( 1(х) г)р — ~ Ии(х) е1р, А А с и и и так как ~ ((х) ~ < уа(х) и ~ (а(х)( < уа(х), то в силу (22) получаем 2 4 4 А А СЛЕДСТВИЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
