1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Иначе говоряг А ь х1 означает, что А представимо в виде (4) А= () Ап где А,Е9Мв,. Система 94 представляет собой и-алгебру (проверьте!), которую мы назовем прямой суммой и-алгебр 9Лв,. Множества (4), составляющие ег-алгебру т1г мы назовем измеримыми и определим меру д каждого такого А следующим образом: если 1 3. Лебегооо продолжение меры 295 то г=1 Поскольку мера всякого множества неотрицательна, стоящий здесь справа ряд сходится к некоторому неотрицательному значению или к +со.
Теорема 7. В сделанных выше предположениях справедливы следующие утверждения: 1) и-алгебра й н мера р не зависят от выбора системы непересекающихся множеств В, из 9Л, удовлетворяющих условию Ц В,=Х; г=1 2) мера р и-аддитивна иа й; 3) совокупность ъшожеств А е й, для которых р(А) < оо, совпадает с б-кольцом 9Л и на этом б-кольце р = р. Доказательство. 1) Заметим прежде всего, что А Е й в том и только том случае, если А г1 С е 9Л для любого С е 9Л.
Достаточность этого условия ясна, поскольку оно означает, в частности, что А П В, Е 9Л (г = 1,2,, ); проверим его необходимость. Пусть А Е й и С Е 9Л. Положим С; = С П Вб тогда Ар1 С = О (Ай С). г=1 Так как при всяком гтг р() ) (А ч Се)) < р() ) С,) < р~с), то в силу теоремы 6 множество А р1 С измеримо. Пусть 1В;) и 4В') --- две системы непересекающихся множеств из 9Л, такие, что гдВг = 0В' = Х. Если А Е й, то, поскольку мера р каждого множества из 9Л неотрицательпа, выполнены равенства ~р(А г~ В,) = ~р(А рз Вг а Вз) = ~ р(А гз В'), еп т.е, определяя р1А) по системе (В;) или 1В'), мы получим один и тот же результат. 2) Пусть Ац~, . Е й, А® Г~ Арй = ~, Й ~ 1, и А = ц А~ь~. Тогда в силу и-аддитивности меры р на 9Л; р(.4) = ~ р(А й В;) = ~ р1А~ь~ П В,) = г=1 сь=1 рл.
у. Мера, измеримые функции, интеграл 296 = ~ (~ р(А~') О В;)) = ~ р(А~в) ), Ь=1 г=г Ь=1 т. е. )г п-аддитнвна. Наконец, 3) непосредственно следует из теоремы б. Замечание. Описанное выше расширение понятия измеримости (с допущением для меры бесконечных значений) возможно и без предположения и-конечности исходной меры, например, по следующей схеме. Пусть Х некоторое пространство и 9Л какое-то б-колыго его подмножеств. Множество А С Х назынается измеримым относительно 9Л, если А О В Е 9Л для любого В е 9Л.
Нетрудно нроверитгч что система Й измеримых относительно 9Л множеств есть а-алгебра с единицей Х, причелц ос ги само 9Л есть а-апг ебра с той же единицей Х, то Я = 9Л. Пусть теперь в Х задана некоторая п-аддитивная мера рл которую мы в силу п. 2 можем считать уже продолженной на некоторое б-кольцо 9Л и пусть Й совокупность измериллых относительно 9Л лгножеств из Х. Множество А Е й называется нуль-миазюестеам, если р(А О В) = О для любого В Е 9Л. Теперь на Й определяется мера р (прллнимающая, вообще говоря, и бесконечные значения) следующим образом: если для данного А Е й существует такое В Е 9Л, что А Ь В есть нуль-множество, то полагаем р(л) = р(в). Для всех остальных .4 й Й полагаем 1г(А) = оо.
Нетрудно проверить, что мера р а-ацдитивна и на б-кольце 9Л С Й сон- падает с р,. 4. Продолжение меры цо 2Кордану. Рассматривая н 8 2 этой главы меры, удовлелворяющне лишь условию ацдитивности, мы показали, что каждая такая мера ггл может быть продолжена с полукольца сг на минимальное кольцо Я(сэ„), порожденное этим полукольцом.
Однако возлгожно и распространение меры на некоторое кольцо, более обширное, чем Я(лп„,). Соответствующее построение называется иредолзгсеиием меры не Жердину '). Идея этого построения, применявшегося в ряде частных случаев еще математиками Древней Греции, состоит в приближении л «ггзлгеряемого» множества А множествами Л и .4, которым мера уже приписана, изнутри и снаружи, т.е. так, что А САСА. Пусть т мера, заданная па некотором кольце Я. Определение зг. Будем называть множество А измеримым па Жердаиу, ес.пи при любом е > О в кольце Я имеются множества А' и А", удовлетворяющие условиям А сАсА", т(Аи'лА')(е.
г) Камилл Жордан, франиузскнй математик (1888 1922). 1 3. Лебегоео продолжение меръг 297 Справедливо следующее утверждение. Теорем а 8. Система Я* измеримых па Жардапу множеств является кольцом. Пусть Й система таких множеств .4, для которых сущаствует множество В З А из Я. Дпя любого А и Я положим, по определению, р(А) = ш1 т(В), р(А) = впр т(В). всл Функция р(А) и р(А) называются соо светственно «внешней» н «внутренней» жордановой мерой лгножества А. Очевидно, что всегда В( 1) <р(1) Теорема 9. Кольцо Я* совпадает с системой тех множеств А б Й, для которых р(А) = р(А).
Для множеств из Й имеют место следующие теоремы. То арале а 10. Если.4 С Ц Аю та г —.1 р(А) ч. ~Р(Аг). е=! Т е о р е м а 11. Если Аг С .4 (й = 1,..., п) и А, О А, = йг, та р(А) > ~ р(.4). Определим теперь функцию р на области как общее значение внешней и внутренней моры: р(А) = р(А) = ДА). Из теорем 10 и 11 и из того очевидного обстоятельства, что для А б Я р(А) = р(А) = т(.4) вытекает следующее утверждапие.
Гл. Р. Мера, измеримые д<ункции, интеграл 298 Теорема 12. Функция р(А) яатяется мерой и продолжением меры гп. Изложенное построение применимо к любой море ш, определенной на кольце. В частности, его можно применить к множествам на плоскости. При этом за исходное кольцо принимается совокупность элементарных множеств (т. <л конечных сул<м прямоугольников), Кольцо элементарных множеств зависит, очевидно, от выбора системы координат на плоскости (берутся прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат). Прн переходе к плоской моро Жордана эта зависимость от выбора системы координат исчезает: отправляясь от любой системы координат (х<,хг)г связанной с первопачачьной системой )х<,хг) ортогональным преобразованием хг =созе< хг ч-з1по'хетаг, хг = — в<по хг +соь<л.
х -рог, мы получим одну и ту же меру гКордана. Этот факт вытекает из следу- ющей общей теоремы. Теорема 13. Дггя того чтобы жордановы продолжения р< = 2Ттг) и рг = гдпгг) мер гпг и плг, определенных на колы<ах Яг и Яг совпадали, необходимо и д<ггтаточпо выпал<юлия условий: Я< С <л„г, шг(А) = рг(А) па Яг, Яг с бю, тг(А) = рг(А) ва Яг. Если исходная мора гп определена не на кольце, а на полукольце Ь „ то ее жордановым продолжением естественно назвать лееру 2(т) = 2Тг(г<г)), получающуюся в результате продолжения т на кольцо Я(ю,„) и даль- нейшего продолжения по гКордану. б.
Однозначность продолжения меры. Если множество А измерилю по <Кордаиу отпоситапьно меры рг т. е. принадлежит Я* = Я*(<ли,), то для любой меры р, продолжающей т и определенной на Я, значение р(А) совпадает со значениел<,У(А) жорданова продолжения д = Ят). Можно показать, что продолжение меры ш за предепы систел<ы Я" множеств, измеримых по Жор<<а<луг не будет однозначно. Более точно это значит следующее. Назовем множество А множеством однозначности для меры т, если: Ц существует мера, являющаяся продолжением меры ш, определенная для множества А; 2) для любых двух такого рода мер р< и рг 1<<(А) = рг(А). Имеет мес~о теорема: система множеств однозначности для меры т, сввп ада егп с системой множеспгв, измеримых по Жордану огпносигпельно меры пг, т.
е. с кольцом Я . З 3. Лебегооо продолжение мери 299 Однако если рассматривать только ег-аддитивные меры и их продолжения 1а-аддитивные), то система множеств однозначности будет, вообще говоря, обширнее. Так как именно случай а-аддитивных мер наиболее важен, то введем следующее определение. Определение б.
Множество А называется множеством а-однозначности для а-аддитивной моры гп., если: 1) существует а-аддитивное продолжение Л меры т, определенное для А 1т. е. такое, что А б с1х); 2) для всяких двух таких а-аддитивных продолжений Лг и Лг справедливо равенство Лг(А) = Лг1А). Если А есть множество а-однозначности для а-аддитивной меры д, то в силу нашего определения существует единственно возможное значение Л1А) для любого а-аддитивного продолжения меры р, определенного на А. Легко видеть, что каждое множество А, измеримое по Жордану, измеримо и по Побегу 1но не наоборот! приведите пример), причем его жорданова и лебегова меры одинаковы.
Отсюда непосредственно вытекает, что жорданово продолжение а-аддитивной меры а-ацдитнвно. Каждое множество А, измеримое по Лебегу, яв.чяотся множеством а-однозначности для исходной меры тп. Действительно, при любом е > О для А существует такое В б Я, что р" 1А б В) < е, каково бы ни было опроделенное для А продолжение Л меры т, Л(В) = т, 1В), так как продолжение т~ меры т на Я = цт1ст ) однозначно. Далее, Л1А Ь В) ( 1г" 1А Ь В) < е и, следовательно, ~Л1А) — т'1В)~ < е. Таким образом, дпя любых двух а-аг~дигивнгвх продолжений Лг и Лг меры т имеем ~Лг1А) — Лг1А)! < 2е, откуда в силу произвольности е > О Лг(А) = Лг(А) Можно показать, что система множеств, измеримых по Лебегу, исчерпывает всю систему множеств а-однозначности для исходной меры т. Пустып некоторая а-адаптивная мера с областью определения б и ОЯ = Ц15) область опредсчепия ес лобегова продолжения. Легко убедиться в том, что каково бы ни было полукольцо б ы удовлетворяющее Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
