1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Нетрудно убедиться, что это утверждение не переносится на компактные операторы в Н. Действительно, пусть оператор А задан в 12 формулой Ах = А(хы .,хи, ) = (О,хм 2',..., '" 1,...). 18) Этот оператор компактен (проверьте!), но не имеет ни одного соб- ственного вектора (докажите это).
Упражнение. Найдите спектр оператора (8). ГЛАВА У МКРА, ИЗМКРИМЫК ФУНКЦИИ, ИНТКГРАЛ Понятие меры р(А) множества.4 является естественным обобщением понятий: 1) длины 1(А) отрезка А, 2) площади Я(Г) плоской фигуры Е, 3) объема 1г(С) пространственной фигуры С, 4) приращения ~р(Ь) — ~р(а) неубывающей функции д(1) на полу- интервале (а, Ь), 5) интеграла от неотрицательной функции, взятого по некоторой линейной, плоской или пространственной области, и т.
и. Это понятие возникло в теории функций действительного переменного, а оттуда перешло в теорию вероятностей, теорию динамических систем, функциональный анализ и многие другие области математики. В ~ 1 этой главы мы изложим теорию меры дпя множеств на плоскости, отправляясь от понятия площади прямоугольника. Общая теория меры будет изложена в Я 2 и 3. Читатель легко заметит, что все рассуждения, проведенные в ~ 1, имеют общий характер и в абстрактной теории повторяются без существенных изменений. ~ 1. Мера плоских множеств 1. Мера элементарных множеств. Рассмотрим систому б множеств на плоскости (х, у), каждое из которых опрецеляется од- ним из неравенств вида а < х < Ь, а < х < Ь, а < х < Ь, а < х < Ь и одним из неравенств вида с<у(д, с<у<а, с<у<4, с<у<0, где а, Ь, с и 4 —.
произвольные числа. Множества, принадлежащие этой системе, мы будем называть прямоугольниками. Замкнутый прямоугольник, определяемый неравенствами а<х<Ь, с<у<4, представляет собой прямоугольник в обычном смыс.че (вместе с гра- ницей), если а < д и г < 4, отрезок (если а, = Ь и с < Н или а < Ь 268 Га. и. Мера, иггггриггыг фуикнии, интеграл и с = гг), точку ~при а = Ь, с = гг) и, наконец, пустое множество (если а > Ь или с > гг). Открытый прямоугольник а<я<Ь, с<у<гг будет в зависимости от соотношений между а, Ь, с и д прямоугольником без границы или пустым множеством. Каждый из прямоугольников остальных типов (назовем их полуоткрытыми) представляет собой настоящий прямоугольник без одной, двух или трех сторон, интервал, полуинтерввл, либо, наконец, пустое множество.
Класс всех прямоугольников на плоскости обозначим б. Для каждого из прямоугольников определим его меру в соответствии с известным из элементарной геометрии понятием площади. Именно; а) мера пустого множества равна 0; б) мера непустого прямоугольника (замкнутого, открытого или полуоткрытого)., определяемого числами а, Ь, с и Ы, равна (Ь вЂ” а)(д — с). Таким образом, каждому прямоугольнику Р из й поставлено в соответствие число т(Р) его мера; при этом выполнены следующие условия; 1) мера т(Р) принимает действительные неотрицательные значения: и 2) мера пггР) иддигггиввв, т.
е. если Р = и Рь и Р, р1 Рь = вг при /с=1 гр':к,то и т(Р) = ~т(Рь). ь=1 Наша задача - - распространить, с сохранением свойств 1) и 2), меру т(Р) г определенную пока для прямоугольников, на более широкий класс множеств. Сначала мы распространим меру на так называемые элементарные множества. Назовем плоское множество элемептпирными, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение конечного числа попарно непересекающихся прямоугольников.
Для дальнейшего нам понадобится следующая теорема. Теорема 1. Объединение., пересечение, разность я симметрическая разность двух элементарных множеств также являются элемевтарныкгн множествами. Таким образом, по терминологии, введенной в 8 б гл. 1, элементарные множества образуют кольцо. з К Мера плоских множеств 269 Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что пересечение двух прямоугольни- ков есть снова прямоугольник. Поэтому, если А=ОР, В=Осе,: ь —.
два элементарных множества, .то и их пересечение АГ1В = ()(Р„йоа) кт элементарное множество. Разность двух прямоугольников есть, как легко проверить, элементарное множество. Следовательно, вычитая из прямоугольников некоторое элементарное множество, мы снова получим элементарное множество (как пересечение элементарных). Пусть теперь множества А и В -- элементарные. Найдется, очевидно, прямоугольник Р, содержащий каждое из них. Тогда множество АОВ = Р~((Р~А) Г1(Р~В)] в силу сказанного выше будет элементарным.
Отсюда и из равенств А ~ В = А О (Р ~ В), А а В = (А0В) ~(4ПВ) следует, что разность и симметрическая разность элементарных множеств являются элементарными множествами. Теорема доказана. Определим теперь меру т'(А) для элементарных множеств сле- дующим образом: если .=о', где Ре попарно непересекающиеся прямоугольники, то т'(А) = ~ ~т(Ра). ь Покажем, что т'(А) не зависит от способа разложения А в сумму конечного числа прямоугольников. Пусть А =()Рь =00,, ь где Рь и с,) прямоугольники, и Р, О Рь = О, ч) О Яь = О при а ф и.
Так как пересечение Рь О Я двух прямоугольников есть пря- моугольник, то, в силу аддитивности меры для прямоугольников, ~т(Рь) = ~ ~т(Рь ПЦ.) = ~тЯ2). ь ка а В частности, для прямоугольников мера щ' совпадает с исходной мерой т. Легко вицеттп что определенная таким образом мера элементар- ных множеств неотрицательна и аддитивна. Установиъа следующее важное свойство меры элементарных мно- жеств. Гл.
Н. Мера, измеримые функции, интеграл 270 Теорема 2. Если А - элементарное множество и (А„) - конечная илн счетная система элементарных множеств такая, что А сОА„, н то ш'(А) < ~т'(А„). Доказательство. Для любого е > О и данного А можно, очевидно, найти такое замкнутое элементарное множество А, которое содержится в А и удовлетворяет условию пг'(А) > т'(А) — е/2. (Достаточно каждый из к составляющих А прямоугольников Р; заменить лежащим внутри него замкнутым прямоугольником с площадью большей, чем пг(Р,) — е7'(2к).) Далее, для каждого Аи можно найти открытое элементарное множество А„, содержащее А„и удовлетворяющее условикг т'(Ан) < т'(Аи) ч- Ясно, что А СОА„.
а Из (А„) можно (по лемме Гейне — Бореля) выбрать конечную систему Аи,,.,,, А„,, покрываюгную А. При этом, очевидно, пг'(А) < ~ т'(А,и) г=1 (так как иначе А оказалось бы покрытым конечным числом прямоугольников, суммарной площади меньшей, чем т'(А), что невозможно). Поэтому т'(.4) < т'(А) + ~ ~< ~~ т'(.4„,) + ~ ~< г=1 < (~~' ™(Ан) + 2 < (х»гг (Аи) + ~~' — „,1 Ч- 2 —— ~7,пг (Ап) +е, п и п п откуда в силу произвольности е > О вытекает (1). Свойство меры т', устанавливаемое теоремой 2 (мера множеств не превосходит суммы мер покрывающих его множеств, взятых в конечном или счетном зисле), называется полуаддипигеноспгью.
Из него вытекает свойство так называемой счетной аддитивности, или о-вудитпивности, состоящее в следуюшеъг. 1 1. Мера плоских множеств 271 Пусть элементарное множество А представлено как сумма с ч е тного числа непересекающихся элементарных множеств А„ (в = 1,2,...): А= ЦАп; п=1 тогда т'(А) = ~ пс'(.4п) п=1 (т. е. мера суммы счетного числа непересекающихся слагаемых равна сумме мер). Действительно, в силу адцитивности при любом Х имеем: Ю м т'(А) > т'( ) ) .4„) = ~ п1'7А„).
и=-1 Переходя к пределу при 111 -+ оо, получаем 1п'(А) > ~ ~т'7Ап). п=1 В силу теоремы 2 имеет место и противоположное неравенство. Таким образом, ц-элдитивность меры т' доказана. Замечание. У читателя может сложиться впечатление, что сс-аддитивность меры на плоскости получается автоматически из ее аддитивности путем предельного перехода. На самом деле это не так (в доказательстве теоремы 2 мы, используя лемму Гейне — Бореля, существенно опирались на связь между метрическими и топологическими свойствами плоских множеств). В з 2 при изучении мер на произвольных абстрактных множествах мы увидим, что из аддитивности меры, вообще говоря, ее а-адцитивность нс следует. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
