1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Выделим важный класс операторов в евклидовом (в частности, гильбертовом) пространстве. Определение 4. Ограниченный линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Л, называется самосопряжевнмм, если .4 = А', т. е. если (Ах, у) = (х, Ау) для всех х,. у й Л. Гл. 2Р. Линейные фцнкиионалы и оггераиеоры 200 Отметим следующее важное свойство оператора А', сопряженного к оператору. А. Подпространство Лг евклидова пространства Л называется инвариантным относительно оператора А, если из хйЛг вытекает Ах Е Лы Если падггространспшо Лг инварианпено относительна А, то его ортпагоналъаое дополнение Л~ иааириаптно огпносительяа А'. Действительно, если у Е Л,, то для всех х б Лг имеем (х, А*у) = (Ах, у) = О, поскольку Ах Е Лы В частности, если А самосопряжепный оператор, то ортогональное дополнение к любому его инвариантному подпространству само инвариантно относительно А.

Упражнение. Докажите, что если А и В ограниченные линейные операторы в евклидовом пространстве,то справедливы равенства: (оА ч- ВВ)" = оА + ВВ*, (АВ)' = В" А*, (А")" = А, 1" = 1 (1 единичный оператор). 7. Спектр оператора. Резольвеита '). Вряд ли можно указать более важное понятие в теории операторов, чем понятие спектра. Напомним прежде это понятие для конечномерного случая.

Пусть А --- линейный оператор в п-мерном пространстве С". Число Л называется собсгпвенным значением оператора А, если уравнение Ах = Лх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения Л регулярными. Иначе говоря, Л есть регулярная точка, если оператор А — Л1 обратим. При этом (А — Л1) ' определен на всем С" и, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности; 1) уравнение Ах = Лх имеет ненулевое регпение., т.е. Л есть собственное значение для А; оператор (А — Л1) при этом не существует; 2) существует ограниченный оператор (А — Л1) ', определенный на всем пространстве., т.е.

Л есть регулярная точка. ') Всюду, где речь идет и спектре оператора, мы считаем, чго оператор действует в комплексном пространстве. "г З. Линейные операторы 2в1 Но если А . оператор, заданный в бесконечномерном пространстве Е, то имеется еще и третья возможность, а именно; 3) оператор (А — Л1) ' существует, т. е. уравнение Ая = Ля имеет лишь нулевое решение., но этот оператор определен не на всем Е (и, возможно., неограничен). Введем следующую терминологию.

Число Л мы назовем регуляриьем для оператора А, действуеощего в 1комплексноы) банаховом пространстве Е, если оператор Л1 = (А — Л1) ', назьпзаемый резольвеитои оператора.4, определен на всем Е и, следовательно (теорема 3), ограничен. Совокупность всех остальных значений Л называется спектром оператора А.

Спектру принадлежат все собственнью значения оператора А, так как если (А — Л1)к = О при некотором х ф О, то (А — Л1) ' не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.е, совокупиость тех Л, для которых (А — Л1) ' существует, но определен пе на всем Е, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение является для оператора А или регулярным или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая. Пусть А ..— ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е.

Если точка Л регулярна, т.е, оператор (А — Л1) определен на всем Е и ограничен, то при достаточно малом д оператор (А — (Л + Б)1) ' тоже определен на всем Е и ограничен (теорема 4), т.е. точка Л + д тоже регулярна. Таким образом, регулярные точки образуют, открытое множество. Следовательно, спектр, т. е. дополнение этого множества, — замкнутое множество. Теорема 7. Если А --. ограниченньгй линейный оператор в банаховоке пространстве Е и )Л) > 'йА)), то Л - регулярная точка. Доказательство. Так как, очевидно, ( Л' )' то , -1 Х Лл = (А — Л1) — Л~ Л) — Л2- Л .

При ()АЙ ( )Л! этот ряд сходится и задает определенный на всем Е ограниченный оператор (теорема 5). Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса ~~Ай с центром в нуле. Гл. !и. Линейные функционалы и операторы 252 Примеры. 1. В пространстве С!о, Ь) рассмотрим оператор А, определяемый формулой (17) Ах!1) = 1х(1). Тогда !А — Л1)х(1) = (1 — Л)х!1). Оператор (17) обратим при любом Л, так как из равенства !1 — Л)хФ = О следует, что непрерывная функция х(1) тождественно равна нулю.

Однако при Л Е [а, Ь) обратный оператор, задаваемый формулой (А — ЛУ) 'х(1) = — х(1) определен не на всем С(а, Ь) и неограничен. (Докажите это!) Таким образом, спектр оцератора (17) представляет собой отрезок !о,Ь], причем собственные значения отсутствуют, т.е, имеется лишь непрерывный спектр. 2. Рассмотрим в пространстве 12 оператор А, определяемый следующим образом: А: (хмхз, .) э !О,хм ха,. ). (18) Этот оператор нс имеет собственных значений. (Докаэките зто!) Оператор А г ограничен, но определен в 12 лишь на подпространствс хг = О, т. с. Л = О есть точка спектра оператора.

У и р а ж н е н и я. Содержит ли спектр оператора (18) какие-либо точки, кроме Л = 07 Замечания. !Ц Всякий ограниченный линейный оператор, определенный в комплексном банаховом нространстве, имеющем хотя бы один отличный от нуля элелгеит, имеет непустой спектр. Существуют операторы, у которых спектр состоит из единственной точки (например, оператор умножения на число). 12) Теорема 7 может быть уточнена следуюн!им образом.

Пусть !пп ЯА- !) (можно доказать, что этот предел существует для любого ограниченного оператора А), тогда спектр оператора А целиком люкит е крусе радиуса г с центром е нуле. Величина г называется спектральным радиусом оператора А. (3) Ргзольвеитные операторы В,„и Лю отвечающие точкам д и Л, перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению 1 В. Компактные операеноры 253 которое легко проверить, умножив обе части этого равенства на С4 — Л1) 64 — р1) . Отсюда вытекает, что если Ла - регулярная точка пля А, то производная от Вк по Л при Л = Ла, т.е.

предел пкач ьк 24а пп ах-аа еаЛ (в смысле схолнмости по операторной норме) существует, и равна В„,. У и р а ж н е н и е. Пусть А ограниченный самосопряженный оператор в комплексном гильбертовом пространстве Н. Докажите, что его спектр есть замкнутое ограниченное подмножество действительной оси.

6. Компактные операторы 1. Определение и примеры компактных операторов. В отличие от линейных операторон в конечномерных пространствах, для которых илееется исчерпывающее описание, изучение произвольных линейных операторов в бесконечномерных пространствах представляет собой весьма сложную и, по существу, необозримую задачу. Однако некоторые важные классы таких операторов могут быть описаны полностью. Среди них один из важнейших образуют так называемые компактные операторы. Эти операторы, с одной стороны, близки по своим свойствам к конечномерным (т.е.

ограниченным операторам, переводящим данное пространство в конечно- мерное) и Попускают достаточно детальное описание, а, с другой, играют важную роль в различных приложениях, в первую очередь в теории интегральных уравнений. которым будет посвящена гл. 1Х. Определение 1. Оператор А, отображающий банахово пространство Е в себя (или другое банахово пространство Е1), называется компактным, или вполне непрерывным, если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное.

В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор компактен, поскольку он переводит любое ограниченное множество в ограниченное, а в конечномерном пространстве всякое ограниченное множество компактно. В бесконечномерном пространстве компактность оператора есть требование существенно более сильное, чем просто его непрерывность (т. е. ограниченность).

Например, единичный оператор в гильбертовом пространстве непрерывен, но отнюдь не компактен. (Докажите это независимо от рассматриваемого ниже примера 1.) Гл. 1И. Линейные фрнииионалы и оееераторъ~ 2з4 Рассмотрим некоторые примеры. 1. Пусть 1 единичный оператор в банаховом пространстве Е. Покажем, что если Е бесконечномерно, то оператор Х не компактен.

Для этого достаточно, очевидно, сказать, что единичный шар в Е (который, разумеется, переводится оператором 1 в себя) не предкомпактен. Это в свою очередь вытекает из следующей леммы, которая понадобится нам и в далыеейшем. Лемма 1. Пусть х1, хз,... линейно независимые векторы в нормированном пространстве Е и пусть Е„иодпростравство, порожденное векторами х1....., хи.

Тогда существует последовательность векторов у1, уз,..., удовлетворяющая следуеощим условиям: 1) ~~у„~~ = 1:, 2) ри Е .Е„; 3) р(у„,Е„1) > 1/2, где р(у„Еи 1) -.— расстояние вектора до от Е ы т.е. 1п1 Зу„— х(!. ее и„ Доказательство. Действительно, так как векторы х1, хз,... ЛИНЕИНО НЕЗаВИСИМЫ, тО Хи ф Еи, И Р(Хи, Еи 1) = О > О. ПУСТЬ х' такой вектор из Е„1, что ~~х — х*~~ < 2о. Тогда, поскольку о = р(х„, Е„1) = р(х„— х', Е„,), вектор х„— х* удовлетворяет всем условиям 1)-3). За у1 при этом можно взять Х1 ЛХ1 ~~. Лемма доказана.

Пользуясь этой леммой, в единичном шаре всякого бесконечно- мерного нормированного пространства можно построить последова- тЕЛЬПОСтЬ ВЕКТОРОВ 1У„), ДЛЯ КОтОРОИ Р(дип Р„) > 1/2, 1П ф П. ЯСНО, что такая последовательность не может содержать никакой сходящейся подпоследовательности. Л это и означает отсутствие пред- компактности. 2. Пусть А . - непрерывный линейный оператор, переводящий банахово пространство Е в некоторое его копечпомерпое подпространство. Такой оператор компактен, поскольку он переводит всякое ограниченное подмножество 111 С Е в ограниченное подмножество конечномерного пространства, т. е. в предкомпактное множество. В частности, в гильбертовом пространстве оператор ортогонального проектирования на подпространство компактен в том и только том случае, если это подпространство имеет конечную размерность.

1 6. Компактные операепоры 3. Рассмотрим в пространстве 12 оператор Л., определенный следующим образом: если к = [ты..., я„,...), .то 1 1 г'2 "'''' " и'''')' 2 Этот оператор компактен. Действительно, поскольку всякое ограниченное множество из 1г содержится в некотором шаре этого пространства, достаточно доказать, что образы шаров предкомпактны, а в силу линейности оператора достаточно проверить это для единичного шара.

Но оператор [1) переводит единичный шар пространства 1г в множество точек, содержащееся в основном параллелепипеде [см, гл, П, 2 7, и. 1). Следовательно, это множество вполне ограничено., а значит, и предкомпактно. Упражнение. Пусть Ла = 1а1яп..., а„яо,... ); при каких условиях на последовательность чисел 1а ) этот оператор в ?е компактен'? 4. В пространстве непрерывных функций С[а, о) важный класс компактных операторов образуют операторы, представимые в виде =у[ ) = яК[в, ):[1)д.

а [2) Покажем справедливость следующего утверждения: если функйия К[в,г) ограничена иа квадрате а < в < 6, а < 1 < 6 и осе ее точки разрыва лезесат па конечном числе кривит 1 = рь [в), й = 1,..., и, ЛХ = впр [К[в,?)[ а(а.г(6 и пусть С множество тех точек [в,г), для которых хотя бы при одном ?е = 1,..., и выполняется неравенство 12ЛХп' Следом С[в) этого множества на каждой прямой ч = сопвс служит объединение интервалов где ерь непрерывные функийии, то формула [2) определяет о пространстве С[а, о) компактный операпеор.

Характеристики

Список файлов книги