1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Что же касается образа непрерывного линейного оператора, то он не обязательно будет подпространством в Ем даже если Рд = Е. Понятие линейного функционала, введенное в начале этой главы, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал это линейный оператор, переводящий данное пространство Е в числовую прямую К. Определения линейности и непрерывности оператора переходят при Е> = К в соответствующие определения, введенные ранее для функционалов. Точно так же и ряд дальнейших понятий и фактов, излагаемых ниже для линейных операторов, представляет собой довольно автоматическое обобщение результатов, уже изложенных в з 1 этой главы применительно к линейным функционалам.

Примеры линейных операторов. 1. Пусть Е ное топологическое пространство. Положим 1л=т длявсех к~Е. линей- Ох=О длявсех тЕЕ (здесь Π— нулевой элемент пространства Е>). Тогда 0 называется нулевым оператором. 3. Общий вид линейного оператлроо переводящего конечномерное пространство в конечномерное. Пусть А линейный оператор, отображающий и;мерное пространство Ки с базисом е>,..., е„ в т-мерное пространство К с базисом 1ы ..., 1 . Если т произвольный вектор из К",то я = ~т,ео е=! и в силу линейности оператора А п Ах = ~ я>.4е,.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства, в себя, называется единичным опера>порам. 2. Пусть Е и Е> — - произвольные линейные топологические пространства и пусть 1 В. Линейные онерап1оры Таким образом, оператор А задан, если известно, во что он переводит базисные векторы еы..., ен. Рассмотрим разложения векторов Ае, по базису 1ы..., ),„. Имеем ы Аег = ~~~ аы)ь ° ь=! Отсюда ясно, что оператор А определяется матрицей коэффициентов [~ам~~.

Образ пространства й" в К представляет собой линейное подпространство, размерность которого равна, очевидно, рангу матрицы ~5аь;~~, т.е. во всяком случае не превосходит и. Отметим, что всякий линейный оператор, заданный в конечномерном пространстве, автоматически непрерывен. 4. Рассмотрим гильбертово пространство Н и в нем некоторое надпространство Нг. Разложив Н в прямую сумму подпространства Н, и его ортогонального дополнения, т.е, представив каждый элемент Ь Е Н в виде )с = Ьг + Ьа, 61 Е Ны Ьг1 Н„ положим РЬ = Ьы Этот оператор Р естественно назвать оператором ортогонального проектирования, или ортопроектором Н на Ны Линейность и непрерывность проверяются без труда. 5.

Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на отрезке [а, Ь[ оператор, определяемый формулой Ь( ) = 1 Н[". ) р[)) «, где К[г, )) некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных. Функция )Ь(г) непрерывна для любой непрерывной функции:р[)), так что оператор [1) действительно переводит пространство непрерывных функций в себя. Его линейность очевидна. Для того чтобы говорить о его непрерывности, необходимо предварительно указать, какая топология рассматривается в напзем пространстве непрерывных функций. т1итателю предлагается доказать непрерывность оператора в случаях, когда: а) рассматривается пространство С[а, Ь[, т.

е. пространство непрерывных функций с нормой Ы = тах)у[))); б) когда рассматривается Сг[а, Ь[, т.е. Ы = () еог[)) е))) а 6. В том же пространстве непрерывных функций рассмотрим оператор Ю[)) = 'РоЯ'РЯ 236 Гл. 1'е'. Линейные фрнииионалы и оееерапеоръ~ где ув[е) .- фиксированная непрерывная функция. Линейность этого оператора очевидна. [Докажите его непрерывность при нормировках, указанных в предыдущем примере.) 7. Один из важнейших для анализа примеров линейных операторов - это оператор дифференцирования. Его можно рассматривать в различных пространствах. а) Рассмотрим пространство непрерывных функций С[а, Ь] и опеато РУФ =УФ: действующий в нем.

Этот оператор (который мы считаем действующим из С[а, Ь] опять-таки в С[а, Ь]) определен, очевидно, не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на линейном многообразии функций, имеющих непрерывную производную. Оператор ео линеен, но не непрерывен. Это видно, например, из того, что последовательность сходится к 0 [в метрике С[о,Ь]), а последовательность ад И) = соьпй не сходится. б) Оператор дифференцирования можно рассматривать как оператор, действующий из пространства С' непрерывно дифференцируемых функций на [а, Ь] с нормой [[Зо[[1 — — шах [|рф[+ шах [Зо [е)[ в пространство С[а, Ь].

В этом случае оператор Р линеен и непрерывен и отображает все С1 на все С[а, Ь]. в) Рассмотрение оператора дифференцирования как оператора, действующего из С1 в С[а.,Ь], не вполне удобно, так как хотя при этом мы и получаем непрерывный оператор, определенный на всем пространстве, но не к любой функции из С1 можно применить этот оператор дважды. Удобнее рассматривать опоратор дифференцирования в еще более узком пространстве, чем С', а именно, в пространстве С бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [о, Ь], в котором топология задается счетной системой норм М[ = р Ы" М. 0<а<и о<о<а Оператор дифференцирования переводит все это пространство в себя, и, как легко проверить, непрерывен на нем.

г) Бесконечно дифференцируемые функции составляют весьма узкий класс. Возможность рассматривать оператор дифференцирования в существенно более широком пространстве и вместе 1 5. Линейные операторы 237 с тем как непрерывный оператор дают обобщенные функции. В предыдущем параграфе мы у.же говорили о том., как определяется дифференцирование обобщенных фу.нкций. Из сказанного там ясно, что дифференцирование есть линейный оператор в пространстве обобщенных функций., притом непрерывный в том смысле, что из сходимости последовательности обобщенных функций )Х„ф) к Я) следует сходимость последовательности их производных к производной обобщенной функции Х)1).

2. Непрерывность и ограниченность. Линейный оператор, действук1щий из Е в Е1, называется ограниченным, если он опре- делен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит сно- ва в ограниченное. Меж11у ограниченностью и непрерывностью ли- нейного оператора существует тесная связь, а именно, справедливы следующие утверждения.

1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен. Действительно, пусть М с Е --- ограниченное множество, а мно- жество АЛХ С Е, не ограничено. Тогда в Е, найдется такая окрест- ность нуля 1; что ни одно из множеств — „АЛХ не содержится в 1 . Но 1 тогда существует такая последовательность х„Е М, что ни один из элементов — Ахп не пРинадлежит Уе, и мы полУчаем ), что 1 1 1, — х„— у 0 в Е, но последовательность ) — Ахи) не сходится к 0 в Е,; (1 это противоречит непрерывности оператора А. П. Если А -- ограниченный линейный оператор, действующий из Е в Е1, и в пространстве Е выполнена первая аксиома счетно- сти, то оператор А непрерывен. Действительно, если А не непрерывен, то найдется такая окрест- ность нуля И в Е1 и такая определяющая система 1(Хп) окрестно- стей нУлЯ в Е, что (Хи+1 С 1(п и Дла кажДого и сУЩествУет такое хп й — (Хп, что Ахп 1е пК.

Последовательность х„в Е огРаничена 1 (и даже стремится к О), а последовательность Ах„не ограничена в Е1 (поскольку она не содержится ни в одном из множеств пИ). Итак, если оператор А не непрерывен, а в Е имеет место первая аксиома счетности, то А и не ограничен. Наше утверждение доказано. Итак, для оператора, заданного на пространстве с первой ак- сиолеой счетпности (к которым, в частности, относятся все норми- рованные и счетно-нормированные пространства), ограниченность равносильна непрерывности. ) Сы. упражнение 1 в и. 1 1 5 гл.

П1. Гл. 2Р. Линейные функционалы и аненаторь~ 238 ((АП < С)(Я!. Наименыпее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, на- зывается норлзой оператора А и обозначается ~(А~~. Теорема 1. Для любого ограниченного оператора А, действующего из нормированного пространства в нормированное, ))А)) = зпр ))Ах(! = 8пр —. ((.4х8 'г<1 ФО а н (2) Доказательство.

Введем обозначение о = зпр !/Ах//. В силу И~<з линейности А справедливо равенство о = зпр )(Ахй = зпр '8 Ах~~ ))а8<1 аФО ~И ' Поэтому для любого элемента х РНИИ! < )(.4х(! < о))х(), ()А!) = 1п1 С < сс т. е. откуда следует, что Далее, для любого г > О существует такой элемент х, ~ О, что — <Р=Ы4 или (о — г)!)х,)! < )(Ах,(! < С)(х,)!.

Поэтому о — г < ш1 С = (!.4)(, и, в силу. произвольности г, о < )(.4)!. Следовательно, ()А)( = сс Все операторы, приведенные в примерах 1 -6 в предыдущем пункте, непрерывны. В силу только что доказанного утверждения 1 все перечисленные там операторы ограничены. Если Е и Е1 - — нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Еы можно сформулировать так: оператор А называется ограниченнызи, если он переводит всякий щар в ограниченное множество.

В силу линейности А это условие можно сформулировать так; оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого 1 Е Е 1 5. Линейные операторы 239 3. Сумма и произведение операторов. Определение 1. ПустьАи В-- двалинейных оператора,действующих из линейного пространства Е в пространство Е~. Назовем их суммой А + В оператор С, ставящий в соответствие элементу т б Е элемент р = Ал + Вт б Еы Он определен на всех элементах, принадлежащих пересечению Ря О Рв областей определения операторов А и В.

Легко проверить, что С = А+ В линейный оператор, непрерывный, если .4 и В непрерывны. Если Е и Е1 -- нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то А + В тоже ограничен, причем (3) 'ЗА+ В!! < !!А~!+ !!Вй. Действительно, для всякого т !)(А+ В)х() = ()Ак+ Вх~~ < ()Ал)(+ )(Вт)( < (()А!)+ ()ВЦ))х)(, откуда и следует (3). О и р е д е л е н и е 2. Пусть А и В - — линейные операторы, причем А действует из пространства Е в Еы а В действует из Е1 в Ео. Произведением ВА операторов А и В называется оператор С, ставящий в соответствие элементу т б Е элемент = В(Ат) из Ез.

Характеристики

Список файлов книги