1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 45
Текст из файла (страница 45)
фиксированная функция на прямой, интегрируемая на каждом коне*шом интервале, и пусть уо .- непрерывная функпия, обращазощаяся в пуль вне некоторого конечного интервала (такие функции мы в дальнейшем будем называть фззнипзиьелеи). Каждой такой функции д можно с помощью фиксированной функции 1 сопоставить число (~, 92) = )' Дх)~р(х) г1х (фактически, в силу финитпостн уз(х) интеграл борется по нокоторому конечному интервалу). Иззаче говоря, функцию 1 можно рассматривать как функционал (линейный, в силу основных свойств интеграла) на некотором пространстве финнтных функций.
Однако функционалами вида (1) не исчерпываются нсе функционалы, которые можно ввести на таком пространстве; сопоставляя, например, каждой функции 9з ее значение в точке х = О, мы получим линейный функционал, не представимый в виде (1). Таким образом, функции 1" (х) естественным образом включаются в некоторое более широкое множество -- совокупность всех линейных функционалов на финитных функциях. Запас фу.нкций 9з можно выбирать различным образом; например, можно было бы взять все непрерывные финитные функции. Однако, как будет ясно из дальнейшего, разумно подчинить допустимые функции 9з, помимо непрерывности н финитности, еще и достаточно жестким условиям гладкости.
2. Пространство основных функций. Перейдем теперь к точным определениям. Рассмотрим на прямой совокупность К всех финитных функций 9о, имеющих непрерывные производные всех порядков'). Функции, принадлежащие К, образуют линейное пространство (с обычными операциямн сложения функций и умножения их на числа). В агом пространстве нельзя ввести норму, которая отвечала бы излагаемой ниже теории, однако в нем естественным способом вводится понятие сходимости. ') Интериал, нне которого фуикиия зз ранна О, может быть различным лля различных р Е и.
Тл. 11е. Линейные функционалы ы оссероторы 220 Последовательность ~р„) элементов из К называется сходлсцейся к функции оо Е К, если; 1) существует интервал, вне которого все ооо равньс нулю; 2) последовательность производных ) ~до ~ поряд- Ж ка )е (и = О, 1, 2,... ) сходится на этом интервале равномерно к ~р1в), (Равномерность сходнмости по различным й не предполагается.) Линейное пространство К с той сходнмостью, которую мы в нем определили, мы будем называть основным пространством, а его элементы . основными фрюецилми, Нетрудно описать топологию в К, которой подчиняется заданная в Л сходимость.
Такая топология порождается системой окрестностей нуля, каждая из которых задается конечным набором Та,,з непрерывных положительных функций и состоит из тех принадлежащих Л функций, которые при всех х удовлетворяют неравенствам ~у(х)~ < уа1х),, )ФЫ ~(х)) < Т, (х). Проверка того, что этой топологии действительно подчиняется описанная выше сходимость в Л, предоставляется читателю. Упражнение. Обозначим через К надпространство пространства К, состоящего из всех функций оо Е К, равных О вне отрезка ) — т, т).
В пространстве Л„, можно ввегти структуру счатно-нормированного пространства,полагая ((Зо)(„= впр )у~ ~(х)), и = О, 1, 2, адей Йй Проверьте, что топология 1саответственна схадимость последовательностей) в пространстве К„„ порождаемая этой системой норм, совпадает с топологией 1соогветственво сходимостью), индуцированной в К описанной выше топологией 1сходимостью) в пространстве К.
Ясно, чта Кс С С Кы С ..., причем К = )) К„,. Покажите, чта множе=1 сева Се' с К тогда и только тогда ограничено относительно введенной в К топологии, когда существует такое т, что 0 является ограниченным подмножеством счетно-нормированного пространства К,. Пусть Т вЂ” . линейный функционал на пространстве К; докажите, что следующие четыре условия равносильны: (а) функционал Т непрерывен относительно топологии пространства Л; сб) функционал Т ограничен на каждом ограниченном множестве СС С К; 1в) если оо Е К и со -о оо 1в смысле введенной в Л сходимости последовательностей), то Т( р„) — > О; (г) для каждого т сужение Т функпионача Т на надпространство К С К есть непрерывный функционал на Л,.
о) Пад производной нулевого порядка понимается, как обычна, сама функция. 1 4. Обобщенные функиии 221 3. Обобщенные функции. Определение 1. Обобщенной 1бунк11ией (заданной на прямой — оо ( х ( оо) называется непрерывный функционал Т(р) на основном пространстве К. При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что Т(у„) — 1 Т(ф, если последовательность ро сходится к х в основном пространстве К.
Заметим, прежде всего, что всякая интегрируемая на любом конечном интервале функция 1(х) порождает некоторую обобшенну.ю функцию. Действительно, выражение Ту(р) = ~ П )р(:)1 (2) есть непрерывный линейный функционал на К. Такие обобщенные функции мы в дальнейшем будем называть регуллрнььии, а все остальные, т.е. не представимые в виде (2), —. сингуллрнылеи.
Приведем некоторые примеры сингулярных обобщенных функций. 1, «б-функция»; Т(р) = р(О). Это непрерывный линейный функционал на К, т. е. по введенной выше терминологии, обобщенная функция. Этот функционал обычно записывают в виде (3) / б(х)ео(х) ах, понимая под б(х) «функцию», рвану.ю нулю при всех х ф 0 и обращающуюся в точке х = О в бесконечность так, что 1 б(.)'=1 вты рассматривали уже б-функцию в 2 1 как функционал на пространстве всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке. Однако рассмотрение б-функции как функционала на К имеет определенные преимущества, например, позволяет ввести для нее понятие производной.
'2. «Смещенная б-функция». Пусть Т(ф = фа). Этот функционал естественно записать по аналогии с обозначени- Рм (3) в виде / б(х — а) 1о(х) дх. Гл. 1е'. Линейные фкннчионалы и оееераторъ~ 222 3. «Производная 4-функции». Каждой ео е К ставится в соответствие число — о'(О). Несколько ниже мы выясним, почему этот функционал естественно считать производной функционала, указанного впервом примере. 4. Рассмотрим функцию 1/я. Она не иптегрируема ци па каком интервале, содержащем точку нуль.
Однако для каждой ео е К интеграл ) (*) -.' 1 существует и конечен в сгиысле главного значения по Коши. Дейст- вительно, Здесь ( — Л, В) --- интервал, вне которого ео обращается в нуль. Первый из стоящих справа интегралов существует в обычном смысле (под знаком интеграла стоит непрерывная функция), а второй интеграл равен нулю в смысле главного значения. Таким образом, 1/т определяет некоторый функционал на К, т.е. обобщенную функцию. Можно доказать, что ни одна из обобщенных функций, приведенных в примерах 1 — 4, не является регулярной (т.
е. не представляется в виде (2) ни с какой локально интегрируемой функцией 1'). 4. Действия над обобгценными функциями. Для обобщенных функций, т.е, непрерывных линейных функционалов на 1<, определены операции сложения и умножения на числа. При этом, очевидно, для регулярных обобщенных функций (т.е. «обычных» функций на прямой) слоиеение их как обобщенных функций (т.е. линейных функционалов) совпадает с обычной операцией сложения функций. То же самое относится и к умножению на числа. Введем в пространстве обобщенных функций операцию предельного перехода. Мы скажем, что последовательность обобщенных функций (~„) сходится к 1, ее:ли для каждого ~р с К выполнено соотношение Уи р) -э У: р) Иначе говоря, сходимость последовательности обобщенных функций мы определяем как ес сходимость на каждом элементе из К. Пространство обобщенных функций с этой сходимостью будем обозначать К'.
Если о бесконечно дифференцируемая функция, то остественно определить произведение о на обобщенную функцию 1" формулой (о1.,22) = (~,ор) Е 4. Обобщенное фрннцнн 223 (выражение, стоящее здесь справа, имеет смысл, так как ар е К). Все эти операции сложение, умножение на числа и на бесконечно диффереещируемые функции, -.- непрерывны.
Произведение двух обобщенных функций мы не вводим. Можно показать, что определить такое произведение невозможно, если потребовать, чтобы зта операпия была непрерывна, а для регулярных обобщенных функций совпадала бы с обычным умножением функций. Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Пусть сначала Т вЂ” функционал на К, определяемый некоторой непрерывно дифференцируемой функпией т': ж Т(ф = / 1(х)д(х) дзх Его производной естественно назвать функционал дТ/дх, определяемый формулой дх~~ ) Интегрируя по частям и учитывая, что каждая основная функция р обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, имеем дТ~~) таким образом, мы получили для 6Т(дх выражение, в котором производная функции ф не участву.ет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
