1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Чтобы избежать возможной здесь путаницы, будем слабую топологию, определяемую в основном пространстве (т. е. топологию в Е*, определяемую с помощью Е**) называть просто слабой топилгзгией, а слабую топологию в пространстве функционалов (т. е. тополснию в Е', определяемую с помощью Е) назьтать в-слабой топологией. ') Ьбы считаем, что О Е )а,й). Можно было бы, конечно. вместо точки Ь =- О взять любую другую.
2 3. Слабая гяоггологил и слабая сходииость 215 Очевидно, что л-слабая топология в Е* слабее, чем слабая топология пространства Е' (т. е, в слабой топологии не меньше открытых множеств, чем в л-слабой топологии). 4. Ограниченные множества в сопряженном пространстве. В различных применениях понятия слабой сходимости линейных функционалов важную роль играет следующая теорема. Т е о р е м а 3. Если Е - сепарабельное линейное нормированное пространство, то в любой ограниченной' последовательности непрерывных линейных функционалов на Е сдержится слабо сходящаяся подпоследовательяость.
Доказательство. Выберем в Е счетное всюду плотное мно- жЕСтВО (Х1,... гт„,...). ЕСЛИ ((Ои) ОГРаНИЧЕННаЯ (ПО НОРЛШ) ПО- следовательность линейных функционалов на Е, то числовая последовательность (21(2'1) . (оа(х1)г. ограничена. Поэтому из ((о ) можно так выбрать подпоследовательность (11 (и Ф1 г .~'гогг ) ..) чтобы числовая последовательность гр1 (я1), ..., ггои (я1), ... схо- %, (Н, дилась. Далее, из ((аи ) можно так выбрать подпоследовательность (Н (21 (21 чтобы сходилась последовательность гд, (хг),..., гря (хг),... Про- , (21, (2), должая этот процесс, получим такую систему последователыюстей (Н р( 221 г .
'Ри (21 (21 1 ~ . ~~гг (КажДаЯ ИЗ КОТОРЫХ СОДЕРжИтСЯ В ПРЕДЫДУЩЕЙ), ЧтО ((ог(г ~ ) СХОДИТСЯ в точках х1,..., хы Тогда, взяв «диагональ» (1( (и( 221 . ггс . мы получим такую подпоследовательность линейных функционалов, что г(г (х„), 222 (х„),... сходится для всех и,. но тогда (в силу (11, бй .
(11 (21 теоремы 2*) последовательность со (х), гдз (я), ... сходится и для любого х б Е. Гл. 1Р. Линейные фрнииионалы и операторы 216 Эта теорема вместе с теоремой 1 означает, что в пространстве Е*, сопряжшшом сепарабельному банахову пространству, ограниченные подмножества, и только они, являются счетно-предкомпактными в е-слабой топологии. Покажем, что на самом деле здесь имеет место пРеДкомпактностги а не только счетнаа пРелкомпактпость. Докажем прежде всего следующую теорему. Теорема 4.
Пусть 5' -. замкнутый единичный шар пространства Е*, сопряокенного к сепарабельному нормированному пространству Е. Топологию, индуцировашгую в 5* *-слабой топологией пространства Е*, можно задать при помощи метрики „ее ) ~~, 2 — и~у ~ . )~ (2) где 1т„) — некоторое фиксированное счетное всюду плотное множество в единичном шаре Е пространства Е. Доказательство. Ясно, что функция р(~ед) обладает всеми свойствами расстояния; кроме того, она инвариантна относительно сдвигов: М1+ й,д+ 11) = (У,д). Поэтому достато шо проверить, что система окрестностей нуля, определяемая в о' слабой топологией пространства Е*, эквивалентна системе окрестностей нуля, оцределяомой в о' расстоянием (2), т.е.
что а) любой «шар» Ое = 41': р(У, О) < е) содержит пересечение о* с некозорой слабой окрестностью нуля в Е' и что б) всякая слабая окрестность нуля в Е* содержит пересечение о' с некоторым Це. Выберем Х так, что 2 и < 6/2 и рассмотрим слабую окрестность '1УПЯ 1Г =!'е, рви~и = ~У: ~У,тв)~ < 6Р, .й = 1,...,т). Тогда, если у Г о'* и 1Г, то и оо рфО) = ~ 2 )(у,я„)(+ ~~1 2 "~(~,т„)( < и=1 и=и«1 (2~~ 2 "+ ее 2 "<6, и=1 и=»ЕЗ-1 т.е. 5* П 'р' С Яе.
Тем самым утверждение а) доказано. Докажем утверждение б). Пусть П = Гр,...,р ф = 12: ~(~,дь)( < б, й = 1,...,т) 1 3. Слабая гяопологил и слабая сходимосгль 217 .. некоторая *-слабая окрестность нуля в Е*. Можно считать, что 'Зубе < 1, а' = 1,...,тд так как множество 1х„) всюду плотно в 5, то найдутся такие номера пы...,тг, что ()уь — х„,(! < б/2 (а = 1,..., гп). Пусть 7г' = шах1п1,...,и„„) и е = 2 1м ь'1о. Тогда при / Е о'* Г11д, из неравенств полУчаем, что ~(/, хи) ~ < 2ие: в частности, ~(/, х,м) ~ < 2"ле < 2к е = д/2.
Следовательно, для всех к = 1,..., пг получаем )(/,йь)) < ((/,х„я)(+ /(Х,уь — хаь)! < д/2+ /(П. /(грь — х„,)( < д. Таким образом, В' Х1 1„1г С ХХ. Теорема доказана. Ясно, что этот результат автоматически распространяется на любой шар, а значит, и на любое ограниченное подмножество ЛХ С Е*. Мы показали 1теорема 3), что из каждой ограниченной последовательности в Е* можно выбрать *-слабо сходящуюся подпоследоватольность. Иначе говоря, в пространство Е', сопряженном сопарабельному линейному нормированному и снабженном *-слабой топологией, каждое ограниченное подмножество й Х счетно-предкомпактно. Но в силу.
последней теоремы каждое такое множество есть метризуемое топологическое пространство, а для метрических пространств компактность и счетная компактность совпадают. Таким образом, мы получаем следующий результат. Теорема 3'. Всякое ограниченное множестио ЛХ и пространстве Е*, сопряженном сепарабельному нормированному пространству, предкомпактно в смысле * -слабой топологии пространства Е*.
Покажем теперь, что если Е сепарабельнос линейное нормированное пространство, то всякий замкнутый шар в пространстве (Е*,Ь) замкнут в л-слабой топологии пространства Е*. Так как сдвиг в пространстве Е* переводит класс замкнутых (в ь-слабой топологии) множоств в себя, то достаточно доказать, что в л-слабой топологии замкнут всякий шар вида В,* = 1/: //Д < с). Пусть А ф 5,*.
По определению нормы функционала найдется такой вектор х Е Е, что (~х~) = 1, /е(х) = о > с. Тогда множество ХХ = 1/: /1х) > 2 ) будет *-слабой окрестностью функционала /е,. не содержащей ни одного элемента из шара В;.; следовательно, шар В„' замкнут в *-слабой топологии. Гл.
114 Линейные фрнапионалы ы операторы 218 Из доказанного утверждения и теоремы 3* вытекает следующая теорема. Теорема 5. Всякий замкнутый шар в пространстве, сопряженном сспарабсльпому нормированному пространству; компактен в»-слабой топологии. 11зложенные выше результаты об ограниченных множествах в сопряженных пространствах могут быть перенесены с нормированных пространств на проиэвочьвые локально вьшуклыо.
См. по этому поводу, например, 142]. '8 4. Обобпгенные функции 1. Расширение понятия функпии. В различных вопросах анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз, и т.д.
Однако в ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле, т. е, как произвольное правило, относящее каждому значению к из области определения этой функции некоторое число р = 11х), оказывается недостаточным.
Вот два важных примера. 1) Распределение масс вдоль прямой удобно задавать плотностью этого распределения. Однако ес.пи на прямой существуют точки, несущие положительную массу, то плотность такого распределения заведомо не может быть описана никакой «обычной» функцией. 2) Применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, мы сталкиваемся с невыполнимостью некоторых операций, например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как «обычную» функцию. Конечно, затруднений такого типа можно было бы избежать, ограничившись, скажем, рассмотрением одних только аналитических функций.
Однако такое сужение запаса допустимых функций во многих случаях весьма нежелательно. Оказывается, однако, что подобные затруднения можно преодолеть путем не сужения, а существенного расширения понятия функции, вводя так называемые обоощенные функции. Основой для введения соответствующих определений нам послужит понятие сопряженного пространства, рассмотренное выше. Подчеркнем еще раз, что введение обобщенных функций было вызвано вовсе не стремлением к возможно большему расширению 1 4. Обобщенные фрнкннн 219 понятий анализа, а совершенно конкретными задачами. По существу, в физике обобщенные функции использовались уже довольно давно, во всяком случае раньше, чем была построена строгая математическая теория обобщенных функций. Прежде чем переходить к точным определениям, изложим основную идею построения. Пусть 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
