1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Рассмотрим в Е* множества Аь„.„= (1: [(1, хп)[ < й), й, п = 1, 2,... Эти множества замкнуты в силу непрерывности ((, х„) как функции от 1 при фиксированном х„. Следовательно, замкнуты (как пересечения замкнутых) и множества Аь = П Аьп. В силу слабой л=ь схоДимости (ха) послеДовательность (1.,хп) огРаничена ДлЯ кажДого б Е* поэтом У Е = 0Аь. а=1 Так как пространство Е* полно, то по теореме Бэра (9 3 гл. Н) хоть одно из множеств Аы скажем Аа„, должно быть плотно в некотором шаре В[19, е), а так как Аг, замкнуто, то это означает, что В[19, е[ С Аьх Но это значит,что ььоследовательпость (хп) ограничена на шаре В[19, е], а следовательно, и на любом ьпаре в Е, в частности на единичном шаре этого пространства.

Таким образом, последовательность (х„) ограничена как последовательность элементов из Е". Но в силу изометричности естественного вложения Е в Е*" это означает ограниченность (х„) и ьь Е. 3 а м е ч а н и е. При доказательстве ограниченности последовательности (хя) по норме мы воспользовались лишь тем, что числовая последовательность (1, х„) ограничена при каждом 1 6 Ь'*. Таким образом, если последовательность (х„) в Е такова, что чисповая послеловательность (у,х„) ограничена при каждом б б Е , то существует такая постоянная С„что [[х [[ < С.

Это утверждение можно обобщить: всякое слабо ограниченное (т.е. ограниченное в счабой топологии) подмнохсество ьд нормированного просьпранстеа Е сильно ограничено (т.е. содержится в некотором шаре). Действительно., допустим, найдется ь акая последовательность (х,) С Я, что [[хя[[ -+ оо при и -ч сс. Так как Я слабо ограничено, то и льножество (хь) слабо ограничено, т. е. поглощается любой слабой окресч пастью нуля; в частности, для любого 1 б Е* найдется такое Х, что (х„) С ьч(х: [(1,х)[ < 1), откуда [(1,хя)[ < Х для всех и. Но это в силу сделанного выше замечания противоречит предположению [[ха[[ — ь со.

Если учесгьь что слабая ограниченность множества ьг означает, что на ием ограничен любой непрерывный линейный функционал, то Гл. 1Н. Линейные функционалы и оыератореь 210 мы ираколнль к следующему важному результату; дла гаага *пьобы подмножество 12 нормированного пространства было ограничено, необходимо и достаточно, чтобы на Я был ограничен любой функционал Х й Е".

Следующая теорема часто бывает полезна для фактической проверки слабой сходимости той или иной последовательности. Теорема 2. Последовательность (хи) элементов нормированного простраис гва Е слабо сходится к х Е Е, если; 1) цх„'0 ограничены в совокупности некоторой константой ЛХ; 2) Х(хп) о Х(х) для всякого Х й ск, где Ь некотороо множество, линейная оболочка которого всюду плотна в Е'.

Доказательство. Из условия 2) и определения действий над линейными функционалами следует, что если ьр линейная комбинация элементов из Ь, то р(х ) -г у'(х) Пусть теперь ьр --- произвольный элемент из Е' и (ьрь) --. сходящаяся к ьр последовательность линейных комбинаций элементов из гь . Покажем, что ьр(хьь) о ьр(х). Пусть ЛХ таково, что 'цх„(! < ЛХ, и = 1, 2,..., Ох(! < ЛХ. Оценим разность )ьр(х„) — ьр(х)).

Так как угь -+ уг, то для любого е > О существует такое ЕХь что цьр — ьрг,.'0 < е для всех к > К. Поэтому !р( ) — р( )! < Ф ) — Мх М+!уь(х ) — МхН+ + !ьрь(х) — ьр(х)/ < еЛХ + еЛХ + М(хи) — ььоь(х)/. Но, по условию, ьра(хп) о ьрг(х) при п о ось. Следовательно, уь(ха) — ьр(х) — + О при и, — о сс для всякого ьр й Е'. П р и м е р ы. Посмотрим, какой смысл имеет понятие слабой сходимости в некоторых конкретных пространствах.

1. В конечномерном евклидовом проглпринстве К" слабая сходи- МОСтЬ СОВПадаЕт С СИЛЬНОЙ. ДЕйСтВИтЕЛЬНО, ПуСтЬ Е1,..., Еа КаКОй- либо ортогональный нормированный базис в я~" и (хь) —. последовательность в Кьь, слабо сходящаяся к элементу х. Пусть ХЬ =Х, Еь+. +Х„" Еиь 111 1п) х = х11е, +. + хбйе„. Тогда ха = (хы еь) о (х, еь) = х Х„= (Хг, Ен) -+ (Х, Е„) = Х ", ,1"г —,, ОО 1 К Слабал глоггологил и слабая сходимосигь 211 т. е, последовательность (хи ) покоординатно сходится к х. Но тогда а р(х, ) = (Е( И- И)2) О, т.е, (хл) сильно сходится к т,.

Поскольку из сильной сходимости всегда вытекает слабая, равносильность этих сходимостей в Ка доказана. 2. Слабая сходимость в 1т, Для слабой сходимости ограниченной последовательности (хь) к х достаточно, чтобы выполнялись условия (хме,) = х„'~ — > хИ = (х,е,), г = 1,2, где ег = (1,0,0,...), ет =(0,1,0,...), ... Действительно., линейные комбинации элементов е, всюду плотны в пространстве 1з (совпадающем, как мы видели, со своим сопряженным). Поэтому наще утверждение вытекает из теоремы 2.

Таким образом, слабая сходимость ограниченной последовательности (хь) в 1т означает, что числовая последовательность х коор- „И динат этих векторов сходится для каждого г = 1, 2,... Иначе говоря, слабая сходимость совпадает с покоординатной (при условии ограниченности).

Нетрудно видеть, что в 1т слабая сходимость не совпадает с сильной. Действительно, покажем, что последовательность еы..., еи,... слабо сходится в 1з к О. Всякий линейный функционал 1 в 1т записывается как скалярное произведение 1(х) = (х, а) вектора т, е 1т на некоторый фиксированный вектор а = (аы пт,... ). ПоэтомУ 1(еа) = па и посколькУ аи -Э 0 пРи и — ~ оо длЯ всЯкого и Е 1т пол чаем у 1пп ~(еи) = 0 для каждого линейного функционала в 1т, В то же время в сильном слиысле последовательность (е„) ни к какому пределу не сходится.

Упражнения. 1. Пусть последовательность (х ) элементов гильбертова пространства Н слабо сходится к элементу х, причем Ох„'О -о 'Ох!) при и — ~ со. Доказать,что в этом случаепоследовательность (л„) сильно сходится к т, т.е. ()х — хО -э О. 2. Доказать,что утверждение упражнения 1 сохранится, если условие ()х„О -о 'Ох(! заменить условием Ох„(! ( 'ОхО для всех и или условием !пп Ох„() ( 'Ох1).

йь Пусть Н --. (сепарабельное) гильбертово пространство и 0 --- его ограниченное подмножество. Тогда топология в 0, индуцируемая слабой топологией пространства Н, может быть задана некоторой метрикой. Гл. 11'. Линейные фкннпионалы и оееераторъ~ 212 4. Докажите, что всякое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства замкнуто в слабой топологии (в частности, всякое замкнутое линейное надпространство гильбертова пространства пнабо замкнуто).

Приведите пример замкнутого множества в гильбертовом пространстве, не являющегося с.паба замкнутым. 3. Слабая сходимосто в пространстве С[а, Ь( непрерывных функций. Пусть ух„(1)) .— последовательность функций из С(а, Ь(, слабо сходящаяся к функции х(1). Последовательность 1х„(1)) ограничена по норме С(а, Ь(. Среди функционалов, определенных на С(а, Ь(, имеются, в частности, функционалы бе„каждый из которых есть значение функции в некоторой фиксированной точке йй (см, пример 4 п. 2 Ь' Ц.

Для каждого такого функционала бее условие бе,(х„) -+ бе,(х) означает, что х е(йй) -+ «(йв). Таким обРазом, если последовательность 1хн(1) ) слабо сходитсЯ, то она: 1) равномерно ограничена, т. е. (хн(1)( < С при всех п = 1, 2,... иа<1<Ь; 2) сходится в каждой точке. Можно показать, что совокупность этих двух условий не только необходима, но и достаточна для слабой сходимости последовательности 1х„(1)) в С(а, Ь(. Иначе говоря, слабая сходимость в С(а, Ь( совпадает с поточечной (при условии ограниченности). Ясно,что эта сходимость не совпадает со сходимостью по норме С(а, Ь(, т.

е. равномерной сходимостью непрерывных функций. (Приведите соответствующий пример.) 3. Слабая топология и слабая сходимость в сопряженном пространстве. В и. 2 предыдущего параграфа мы ввели в сопряженном пространстве Е' топологию, названную нами сильной, приняв за систему окрестностей нуля совокупность множеств вида 11 л = 12: (т («ч)( < г, х б А), где А -- произвольное ограни 1епное множество в Е, а г — произвольное положительное число.

Если мы здесь вместо всех ограниченных множестн будем рассматривать все конечные подмножества А с Е, то мы получим так называемую слабую топологию в сопрязюенном пространстве Е'. Поскольку всякое конечное. множество А С Е ограничено (обратное, вообще говоря, не верно), ясно, 1 3. Слабая гяопологил и слабая сходимосигь 213 что слабая топология пространства Е* слабее, чем сильная топология этого пространства. Вообще говоря, эти две топологии не совпадают. Слабая топология, введенная в Е*, определяет в этом пространстве некоторую сходимость, называемую слабой сходимостью фпнкционалоа.

Слабая сходимость линейных функционалов представляет собой важное понятие, играю1цее существенную роль во многих вопросах функционального анализа, в частности, в теории так называемых обобщенных функций., о которых будет идти речь в следующем параграфе. Слабая сходимость последовательности )у„) линейных функционалов есть, очевидно, сходимость чтой последовательности на каждом фиксированном элементе из Е. Иными словами, последовательносгщ (р„) называется слабо сходящейся к 1п Е Е', если для каждого х Е Е выполнено соотношение Ю 1х) -з К(х) Ясно, что и в сопряженном пространстве последовательность, сходящаяся в сильной топологии, сходится и слабо (но не наоборот).

Пусть Е (а следовательно, и Е') -- банахово пространство. Имеет место следующая теорема, аналогичная теореме 1. Т е о р е м а 1'. Если 12и) слабо сходящаяся последовательность линейных функционалов на банаховом пространстве, то существует такое постоянное число С, что ))~„)( < С, п = 1,2, Иначе говоря, всякая слабо сходящаяся последовательность элементов пространства, сопряженного банахову пространству, ограничена по норме. Доказательство не отличается от доказательства теоремы 1.

Следующая теорема вполне аналогична теореме 2. Теорема 2'. Последовательность линейных функционалов 1;о„) нз Е' слабо сходится к ьо Е Е*, если: 1) этв последовательность ограничена, т.е. ()~р„(! ( С, п = 1, 2, 2) соотношение (зол, х) — + (у,х) выполнено для всех х, принадлежащих некоторому множествз; линейные комбинации элементов которого всюду плотны в Е. Доказательство то же, что в теореме 2. Гл.

11'. Линейные фьнквионалы и огьераторы 214 Рассмотрим пример. Пусть Е есть пространство С)а,Ь) непрерывных функций и Ьо(х) = х10), т.е. оз есть б-функция 1см. 2 1, и. 2, пример 4). Пусть, далее, (Ьз„(1) ) — последовательность непрерывных функций, удовлетво- ряющих следу.ющим условиям: 1) Ьз„(1) = О при )Ь) > 1 ьп, ьоп)Ь) > 0: ь 2) / Ьоп)Ь) 111 = 1. а Тогда для любой непрерывной на )ич Ь) функции х11) с помощью тео- ремы о среднем получаем ь 11п / Ф 1г)х11) гьй = ) 'РпФ:Ф) гьь — ь х(0) пРи 'гь — ь со- — 1 Г'и Выражение ь ~ь„Фх® 11 а представляет собой линейный функционал на С)о, Ь). Таким образом, д-функцию можно представить как предел в смысле слабой сходимости линейных функционалов на С)а, Ь) последовательности «обычных» функций.

Замечание. Пространство Е' линейных функционалов на некотором пространстве Е мы можем рассматривать двояко: нли как пространство, сопряженное к исходному пространству Е, или же считать само Е' основным пространством и связывать с ним сопряженное к нему пространство Е*'. В соответствии с этим мы можем в Е' вводить слабую топологию двумя способами: либо как в пространстве функционалов, определяя окрестности в Е* с помощью всевозможных конечных наборов элементов из Е, либо как н основном пространстве, г. помощью прогтрянгтня Е*'. В случае рефлексивного пространства это, разумеется, одно и то же. Если же Е пе рефлексивно, то это две различные топологии в Е'.

Характеристики

Список файлов книги