1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Сопряженное проеепрвнетво 199 которых ~~(т)~ < е, когда т пробегает в Е единичный шар ~~х9 ( 1. Беря всевозможные е, получим определяющую систему окрестностей нуля. В случае, когда Е не нормированное, а топологическос линейное пространство, вместо единичного шара в Е естественно взять произвольное ограниченное множество А. Окрестность нуля Ое,,л в Е' определяется как совокупность линейных функционалов, удовлетворяющих условию ~~(х)~ < е при всех х Е А. Варьируя е в А, получим определяющую систему окрестностей нуля в Е.
Итак, сильная гаопология е Е* задается совокупностью окрестностей пуля, зависящих от положительного числа е и ограниченного множества А С Е. Мы не будем здесь проверять, хотя это и несложно (см., например, [9)), что такая система окрестностей действительно превращает Е' в линейное топологическоо пространство. Ясно, что в случае нормированного пространства Е только что описанная сильная топология в Е* совпадает с той, которая определялась с 1юмощью нормы.
Заметим, что сильная топология в Е* обязательно удовлетворяет аксиоме отделимости Т, и локально выпукла (независимо от топологии в Е). Действительно, если )9 Е Е* и А ~ О, то найдется такой элемент хр Е Е, что 19(яв) = О; положим е = 2)Д(хв)! и А = 1хв),. 1 тогда 29 к Сел, т. е. Е' —.. Т1-пространство. Для доказательства локальной выпуклости сильной топологии в Е* достаточно заметить, что для любого е ) О и любого ограниченного А с Е окрестность Г,л выпукла в Е. Сильную топологию в Е' обозначим символом 6: желая подчеркнуть, что Е* рассматривается в сильной топологии, мы будем писать (Е*, Ь) вместо Е".
3. Примеры сопряженных пространств. 1. Пусть Е п-мерное линейное пространство (действительное ИЛИ КОМПЛЕКСНОЕ). ВЫбЕрЕМ В НЕМ КаКОй-НИбудЬ баЗИС Е1,..., Еп; тОГ- и да всякий вектор х Е Е однозначно представим в виде х = ~ х,е,. Если 1" -- линейный функционал на Е, то ясно, что у(х) = ~~ у(ее)тб следовательно, линейный функционал однозначно определяется своими значениями на векторах базиса е1,..., е„, причем зти значения можно задать произвольно.
Определим линейные функционалы Гл. 1Р. Линейные фуничноналы и операиеоръ~ 200 д1,...,ди, ПОЛаГаЯ 1, если 1 = 1, д.(е,) = О, еслиефу Очевидно, что эти функционалы линейно независимы. Ясно, что д. (х) = х э поэтому формулу (1) можно записать в виде 1(х) = ~ 1(ее)де(х). Таким образом, функционалы д1,...,д„составляют базис в пространстве Е", т.е. Е* есть и-мерное линейное пространство; базис д1,..., д„в Е* называют двойственньем по отношению к базису е1,...,еи в Е. Различные нормы в пространстве Е индуцируют различные нормы в Е'.
Вот несколько примеров пар соответствующих друг другу норм в Е и Е* (читателю рекомендуется аккуратно провести соот- ветствующие доказательства): (а) 0х'0=(~ (хе< ), ()Д=(~ь )Д,! ) е=-1 1=1 п и (Ъ) Охи = (~ (х,<Р), <(Д = (~ <)1)е); -+-=1, 1<р<со; 1=-1 1=1 и (с) Охи= зпр <х,), '0Д=~ п (12) '0х)(=~)хе), <(Д= зпр 1(~(п В ЭТИХ фОриупаХ Х1, ..., Хи ЭтО КООрдниатЫ ВЕКтОра Х Е Е в базисе е1,..., еи, а 11, ..., Гп кооРДинаты фУнкЦионала 1 Е Е" В дВОИСтВЕННОМ баЗИСЕ д1,.,.,ди, Упражнение.
Доказать, что все перечисленные нормы определяют в и-мерном пространстве одну и ту же топологию. 2. Рассмотрим пространство со сходящихся к нулю последоватЕЛЬНОСтсй т, = (Х1,..., Хи,, .. ) С НОРМОЙ <~Х~< = ВПР ~Х„~ И ПОКажЕМ, и что сопрязюенное к нему пространство (св, ~< . Ц изоморфно простраяству 11 всех абсолютно суммируемых последователь осеней У = (о'1,,1п ) с нормой ~~Д = ~ ~ци<. Любая последовательии1 ность 2 с 11 определяет в пространстве св линейный ограниченный 1 2. Сопрннсенное просепранство 201 функпионал 1 по формуле У(х) = ~У.хп; п=1 ясно, что )~(х)( < 'Ох)! ~ ((„), так что )Я < 2 )(„) < ))Д. Рассмотрим в св векторы е1 = (1,0,0,....,0,0,...), ез = (0,1,0,...,0,0,...), (2) еп = (0,0,0,..., 1,0,...)., откУДа в силУ пРоизвольности 11' заключаем., что 2, ! ((еп) ! < со.
п=1 п и положим х1~1 = 2, — "еп (если 1п = О, то считаем, что ' = 0). в=1~И " 1Х.! Тогда х1 1 Е со, йх1 1)/ < 1 и Д(х~ ~) = ~ ~" Деп) = ~ !У„,/, п=1 и=1 таК ЧтО 1ПП Д(Х1~1) = 2,' ((е,! = йД. СЛЕдОВатЕЛЬНО, ()Д ) 2,' )Я; п=1 п=1 сопоставляя это с доказанным выше противоположным неравен- ством, заключаем, что ))Д = 2 )(и! = ()Д.
п=.1 Таким образом, мы построили линейн ое изометрическое отображение ( — > 7 пространства 11 в пространство св, оста- ется проверить, что образ пространства 11 при этом отображении совпадает со всем с„*, т. е. что всякий функционал 1 Е се представим В ВИДЕ (2), Гдс 1 = ((п) Е 11.
ДЛя ВСЯКОГО Х = (Хп) Е СВ ИМЕЕМ х = ) х„еп, причем ряд, стоящий справа, сходится в св к элеменп=1 Х ту х, ибо х — 2 х„е,( = зпр )х„( -1 0 при Х -э со. Так как п=1 ' пм1С функпионал 1 е св непрерывен, то 1(х) = 2, хп,((еп); поэтому до- СтатОЧНО ПРОВЕРИТЬ, ЧтО 2,' ~ДЕп)~<Ос. ПОЛаГаЯ Х1~1=~ Еп =1 ~Т(е Н и замечая, что хй 1 Е св, (~х1 1'О < 1, имеем М и „, 1У(~'4 !Де„)/ = ~ ~" 1(е„) = 1(х ) < Цл, Гл.
1Ье. Линейные фяникионалы и оььераьпоръь 202 3. Нетрудно доказать, что пространство 1;, сопряженное к пространству 1ь,изоморфно пространству ьп, состоящему из всех ограниченных последовательностей т, = (хп) с нормой /!х!/ = зпр!хп/. и 4. Пусть р > 1 и 1р —. пространство всех последовательностей х = (хп), для которых п=ь можно доказать, что сопряженное к нему пространство 1„* изоморфно пРостРанствУ 1, 1ььР+ 1ььо = 1. Общий вид линейного непРеРывного функционала па 1р. 1(х) = ~~' 1пхьб х = (хп) 6 1р 1 = (уьь) Е 1о. п.=ь Доказательство основано на применении неравенства Гельдера.
5. Выясним структуру пространства, сопряженного к гильбертову. Теорема 2. Пусть Н --. действительное гильбертово пространство. Для всякого непрерывного линейного функционала 7' на Н существует единственный элемент хй Е Н такой, что (3) ©(х) = (т,, тв), х й Н, причем ~л = '0хй~~. Обратно, если хэ 6 Н, то формула (3) определяет такой' непрерывный линейный функционал 1, что рл = 'эх00. Таким образом, равенство (3) определяет изоморфизм 7' — ь хй рьежду пространстпамн Н* н Н. Доказательство. Очевидно, что для всякого хй Е Н формула (3) определяет линейный функционал на Н.
Так как ~Д(х)~ = = ~(х, тв) ~ < ~~х0 . йх00, то этот функционал непрерывен, а так как У(хо) = ~~хо~~, то ~Д = ~~хо!~. Покажем, что всякий непрерывный линейный функционал 7' на Н представим в виде (3). Если 7' = О, то полаьаем хо = О. Пусть теперь У ф О и Но = (х: У(х) = О)-- ядро функционала у; так как у непрерывен, то Нй замкнутое линейное подпространство в Н. В и. 6 2 1 гл. П1 было показано, что кора.ьмерность ядра любого линейного функционала равна 1. Поэтому, учитывая следствие 3 теоремы 7 из з 4 гл.
П1, заключаем, что ортогональное дополнение Не к подпространству Не одномерно,т.е. существует такой (ненулевой) вектор де, ортогональный к Не, что всякий вектор х й Н однозначно предстаььим в виде т = у + Лйе, где й й Нэ. Очевидно, можно считать, что Од00 = 1; 1 2. Сопряженное пространство 203 положим хо = У(уо)уо Тогда для любого х Е Н имеем х=у+Луо, рЕНо, Д(х) = Л1(уо); (х,хо) = Л(уо,хо) = ЛУ(уо)(уо, уо) = ЛХ(уо). Таким образом, у(х) = (х, хо) для всех х Е Н.
Если 2(х) = (х, х'), х Е Н, то (х, хо — хд ) = О, откуда, полагая х = хо — х', получаем, ! что хо = то. Замечания. 1. Пусть Е - неполное евклидово пространство, а Н гильбертово пространство, являющееся его пополнением. Так как пространства Е' и Н* изоморфны (см. замечание в и. 2), а Н' изоморфно Н., то справедливо следующее утверждение: пространство Е', сопряженное к неполному еоклидооу пространству Е, изоморфно пополнению Н пространства Е, 2. Теорема 2 справедлива и для комнлекспого гильбертова пространства (доказательство в то шости то же, с заменой лишь хо = У(уо), уо на хо = У(уо)уо). Единственное отличие комплексного случая от действительного состоит в том, что теперь отображение Н в Н*, сопоставляющее элементу хо Е Н функционал Д(х) = (х, хо), является сопряженно-линейным изоморфизмом, т.е.
элементу Лхо отвечает функционал Лу. 6. В примерах 1-5 рассматривались нормированные пространства. Рассмотрим теперь пространство счетно-нормированное. Пусть Ф -- действительное счетно-гильбертово пространство, состояшее из всех последовательностей х = (хп), для которых н 1!2 ~~х~~ь = (~~ пах~) < со при всех й = 1,2,. Скалярные произведения в Ф суть (х у)ь '~, пах„уп, й = 1,2, и=-1 Пространство Ф со скалярным произведением (, )ь является евклидовым; пусть Фь его пополнение. Легко видеть, что Фь можно отождествить с гильбертовым пространством всех последовательностей х = (хп), у которых )(х))ь < оо.
В силу теоремы 2 пространство Ф*,, сопряженное к Фы изоморфно пространству Фь; при этом изоморфизме каждому непрерывному линейному функциона- Гл. (и. Линейные фуниаионалы и оееераторы 204 лУ (' Е Ф*„ сопоставлЯетсЯ такаЯ последовательнОсть 2" = 42п),что Х(Х) = )Х, У)й = ~ 11ЬХе1Хп, Х ее )Х ) Е ФЫ п=1 и обратно, каждая такая последовательность определяет элемент из Фь. ОпРеделим тепеРь фУнкционал 2" й Фь не последовательностью )Уп), а последовательностью )дп), где ди = пь)„. Тогда 1 2 ~)х) =~;хпдп и ((П=(~;п-йд,',) и=-1 п=-1 Таким образом, Ф„*можно отождествить с гильбертовым пространством последовательностей )дп), удовлетворяющих условию ~п ьд„( (4) и=! и со скалярным произведением (11 (21) х — ь (Ц (21 Так как Ф* = О Ф„*, то Ф' пространство всех последователь1=.1 ностей )дп), для каждой из которых существует свое (е, такое, что выполняется условие (4).
Значение каждого такого функционала определено на любом элементе х = )х„) Е Ф и РавнЯетсЯ 2 хидп. п=1 Итак, если пространство Ф есть пересечение убыва ющей цепочки гильбертовых пространств Ф= П Фь, Ф1З ЗФьЭ. е=~ то Ф* есть сумма возрастающей цепочки гильбертовых прост аиста р ео Ф*= () Ф*„, Ф,*С. СФ„",С . Ь=1 Удобно ввести обозначение Ф*„ = Ф 1. Если еще обозначить пространство (2 через Фи, то мы получим такую бесконечную в обе стороны цепочку гильбертовых пространств . С Фь С ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
