1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ь=> Как известно, всякое комплексное евклидово пространство размерности и изоморфно этому пространству. Примерами бескопечномерных комплексных евклидовых пространств могут служить: 1) комплексное пространство 1т, в котором элементы зто последовательности комплексных чисел х = (х>,..., х„,... ), удовлетворяющие условию (хп(г ( со, п=1 а скалярное произведение орй>еделяется формулой (х У) = ~' хпУпй а=1 2) пространство Сг1п, Ь] комплекснозначных непрерывных функций на отрезке (и, Ь) со скалярным произведением г (.>,у) = / .>"(1)у(1) 4й В комплексном евклидовом пространстве длина (норма) вектора определяется, как и в действительном случае, формулой ~И! = Ь>(,х) Понятие угла между векторами в комплексном случае обычно не вводят (поскольку величина ', вообще говоря, комплекс- ~И Ь!!' ная и может не быть косинусом какого-либо действительного угла); однако понятие ортогонвльности сохраняется; элементы х и у называются взаи но орпсогональнымп, если (х, у) = О.
1 5. Тополоеинеские линейные просп ранстеа 179 Если (уп) -. какая-либо ортогональная система в комплексном евклидовом пространстве В, и 1 произвольный элемент из Л, то, как и в действительном случае, числа ап = е(Леси) 1 Ь4 называются коэффициентами Фурье, а ряд Е апеоп и рядам Фурье элемента 1 по ортогональной системе (:р„). Имеет место неравенство Бесселя: ~~, Ы..1~'!»!е < (7' У).
и Б частности, если система (9о„) ортогональна и нормирована, то коэффициенты Фурье по такой системе определякотся формулами сп = (Д,д„), а неравенство Бесселя имеет вид ~ ~с„(а < (1, Д. и Полное комплексное евклидова пространство бесконечной размерности называется комплексным гильбертоеым пространством. На комплексный случай переносится теорема об изоморфизме гильбертовых пространств: Теорема 9. Все сепарабельныс коъшлексные гильбсртовы пространства изоморфны между собой. Простейшей реализацией комплексного гильбертова пространства является комплексное пространство 19. С другой, функциональной, реализацией комплексного гильбертова пространства мы познакомимся в гл.
17П. Предоставляем читателю проверить, что все теоремы, доказанные выше для действительных евклидовых, в частности гильбертовых, пространств, справедливы (с незначительными изменениями, учитывающими комплексность скалярного производения) и для комплексных пространств. 5. Топологические линейные пространства 1. Определение и примеры. Задание нормы --- лишь один из возможных способов введения топологии в линейном пространстве. Развитие таких областей функционального анализа, как т е о- 180 Гл. П1.
Нормированные и тополоеические пространства рия обобщенных функций (о них будет сказано в следующей главе), показало, что во многих случаях полезно рассматривать линейные пространства с топологией., задаваемой не с помощью нормы, а каким-,либо иным способом. Определение 1. Множество Е 1тзывается топологическим линейным пространством, если 1. Е представляет собой линейное пространство (с умножением элементов на действительныс или комплексные числа). П.
Е является топологическим пространством. П1. Операция сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. Подробнее последнее условие означает следующее: 1) если ео = хо+ уо, то для каждой окрестности П точки ео можно указать такие окрестности И и И' точек хо и уо соответственно, что х+ у е Г при х е Г, у е И"; 2) если оохо = уо, то для любой окрестности Г точки уо су ществуют такая окрестность И точки хв и такое число е > О, что ох Е Г при ~о — оо~ ( е и х Е 1'.
Из связи, существующей в линейном топологическом пространстве между алгебраическими операпиями и топологией, вытекает, что топология в таком пространстве полностью определяется заданием ситпемы окрестпностей нуля. Действительно., пусть х точка линейного топологического пространства Е, и à — некоторая окрестность нуля в Е.
Тогда Г + х «сдвиг» этой окрестности на х — есть окрестность точки х, очевидно,что любая окрестность любой точки х е Е может быть получена таким способом. Из непрерывности операций сложения и уьшожепия на числа в топологическом линейном пространстве Е непосредственно вытекают следующио утверждения.
1. Если Г, И открылеые множесчвва в Е, то и множество П+1с (т.е. совокупность всех элементоввидах+у,х е Г,у й И) открыто. 2. Если Г открыто, пю и мнорюесепво ЛГ (т.е. совокупность всех элементов вида Лх, х Е Г) пра любом Л у': О опркрыпео.
3. Если Е замкнутое множество в Е, то и ЛГ замкнуто при любом Л. Примеры. 1. К топологическим линейным пространствам относятся прежде всего все нормированные пространства. Действительно, из свойств нормы сразу следует, что операции сложения векторов и умножения их на числа в нормированном пространстве непрерывны в той топологии, которая определяется нормой. 1 5.
Тополоепчесвпе линейные проетранетеа 2. Зададим определяющую систему окрестностей нуля в пространстве В~ всевозможных числовых последовательностей х = [хт,...,х„,...) так. Каждая окрестность 77(кы..., Й„;е) определяется целыми числами кт ....., кт и числом е > О и состоит из всех тех х Е ве, которые удовлотворяют условиям: [хм] < е, 7 = 1,.,.,г, Легко проверить, что задание этой системы окрестностей превращает К в линейное топологическое пространство. [Наряду с кт можно рассматривать пространство С всех комплексных последовательностей.) 3. Пусть К[а, й] пространство бесконечно дифференцируемых1) функций на отрезке [а, Ь].
Топологию в К[а, 6] определим с помощью следующей системы окрестностей нуля. Каждая такая окрестность П . — определяется номером ш и числом е > О и состоит из всех функций ео, удовлетворяющих неравенствам [~р7 Э[х)] <, й = О, 1,...,тп, где 1о7~7 — производная Й-го порядка от функции ео. Тот факт, что в топологическом линейном пространстве топология связана с линейными операциями, определенными в нем, накладывает на его топологию довольно жесткие ограничения.
Именно, в топологи 1еском линейном пространстве Е точка х и не содержагйее ее замкнутое множество имеют, непересекающиеся окрестности. При доказательстве этого утверждения достаточно рассмотреть точку х = О и любое не содержащее ее замкнутое множество Е. Положим П = Е 1 Е. В силу непрерывности операции вычитания в Е найдется такая окрестность нуля И'., что И' — И' С 77. В качестве И' можно взять пересечение окрестностей нуля И'1 и И'з таких, что х — у Е П, если х й И'1 и у й Иа.
Проверим, что замыкание окрестности И' содержите я н 71. Пусть у Е [И']. Тогда кяж1тяя окресттюсть точки у, в частности, у + И', содержит какую-либо точку г из И'. Следовательно, г — у Е И', г. е. у Е И' — И' с 77, что и утверждалось. При этом Ит и Е11[Ит] " искомые окрестности точки О и множества Е соответственно. Топологическое пространство называется Тт-пространством, если оно удовлетворяет аксиоме отделимости Т„ т.е.
если любое его одноточечное подмножество замкнуто; очевидно, что линейное топо- логическое пространство есть Т1-пространство тогда и только тогда, ) То есть, имеющих производные всех порядков. Рл. 1П. Норинровоннь~е н тонолоеннеенне пространства 182 когда пересечение всех окрестностей нуля ие содержит ненулевых элементов. Топологические пространства, удовлетворяющие аксиомам отделимости Т1 и Тз, мы назвали в гл. П регулярными; из доказанвого в предыдущем абзаце следуега что тоиологи веское линейное Т, -аространсгаво регуляряо. В нормированных пространствах важную роль играет понятие ограниченного множества. Хотя там это понятие вводится ири помощи нормы, оцо может быть естественно сформулировано и для любых линейных тоиологических пространств. Множество М, лежащее в тоцологическом линейном цростравство Е, назовем ограниченным, если для каждой окрестности нуля Г существует такое и > О, что Л?? З М при всех Л ) п.
Ясно, что для иормироваввых пространств это понятие ограниченности совпадает с ограпичеииостью во норме (т.е. с возможностью поместить даииое множество внутрь некоторого шара 8х~~ < Й). Прострацство Е вазывается локальна ограяичеяным, если в целе существует хотя бы одно иецустое открытое ограниченное множество. Всякое нормированное пространство локально ограничено. Примером пространства, це являющегося локально ограииче1шым, может служить пространство К, указанное в примере 2 (доказките это!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
