1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Напомниьц что скалярным произведением в действительном линейном пространстве И, называ- ется действительная функция (х, у), определенная для каждой пары элементов х, у Е Л и удовлетворяющая следующим условиям: 1) (",у) = Ь,х), 2) (х~ + хт, у) = (хы у) + (хз, у), 3) (Лх, у) = Л(х, у), 4) (х, х) > О, причем (х, х) = О только при х = О. Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным про- изведением называется ееклидоеым иростраисгаеом. В евклндовом пространстве Л вводится норма с помощью формулы 'йх(! = фх,х).
Из свойств 1) — 4) скалярного произведения следует, что все аксиомы нормы при этом выполнены. Действительно, выполнение аксиом 1) и 3) нормы (и. 1 2 3) очевидно, а выполнение аксиомы 2) (неравенство треугольника) вытекает из неравенства Коши — Бунякоагкоао ((х.,у)( < ()хй ()у((, которое мы сейчас докажем.
Гл. П1. Нормированные и топологипеспие пространства шв Рассмотрим квадратный трехчлен от действительной переменной Л, неотрицательный при всех значениях Л: д(Л) = (Лх + у, Лх+ у) = Л (х, х) + 2Л(х, у) + (у, д) = = )/хбгЛ + 2(х., у)Л+ 6убг. Так как это выражение представляет собой скалярный квадрат некоторого вектора, то ~р(Л) ) О при всех Л. Следовательно, дискриминант этого квадратного трехчлена меньше или равен нулю, т.е. 4(х, р)г — 46хбгбд~~г < О, что и требовалось доказать. Отметим, что в евклидовом пространстве сумма, произведение на число и скалярное произведение непрерывны, т. е.
если хп — г х, дп -1 д (в смысле сходимости по норме), Лп -> Л (как числовая последовательность), то х +д„— ух+у, Л„х„— г Лх, (хпоуп) + (х~р) Доказательство этих фактов основано на использовании неравенства Коши-Буняковского (Ц и предоставляется читателю в качестве упражнения. Наличие в В скалярного произведения позволяет ввести в этом пространстве не только норму (т. е. длину) вектора, но и угол между векторами: именно, угол со между векторами х и у определяется о м лой ф Р у сов во = '6х'6 'рд'6 (2) При этом из неравенства Коши-Буняковского (1) вытекает, что выражение, стоящее в (2) справа, по модулю не превосходит 1 и, следовательно, формула (2) действительно для любых ненулевых х и у определяет некоторый угол р (О < д < я).
Если (х,д) = О., то из (2) получаем, что де = я/2; в этом случае векторы т и у называются ортогояальными. Система пену.левых векторов (х ) из В называется ортиогональной если (х„,дн) = О при о ф В. Если векторы (х ) ортогональны, то они линейно независимы. В самом деле, пусть асхси + агх„, + ... + апх„„ = О: поскольку (х ) ортогональная система, имеем (хо, а1ха~ + ° + стпха„) = ае(ха; хп,) = О 1 4. Евьльдовы пространства 157 что (О прио~б, (х.,хо) =', 11 врио=,б, то она называется ортогональной нормирооавной (короче; ортонормальной) системой. Ясно, что если (х ) - — ортогональная система, то — ортогональная нормированная система.
2. Примеры. Рассмотрим некоторые примеры евклидовых пространств и ортогональных базисов в них. 1. и-мерное арифметическое пространство Ж", элементами которого служат системы действительных чисел х = (х1,...,х„), с обьгшыми операциями сложения и умножения и скалярным про- изведением п («,У) = ~х;1Уп ~,=1 представляет собой хорошо известный пример евклидова простран- ства. Ортогональный нормированный базис в нем (один из беско- ночного числа возможных) образуют векторы е1 = (1, О, О,..., 0) ., ег = (0.,1,0,...,0), е„= (0,0,0,...,1).
2. Пространство 1г с элементами Х = (Х1,...,Хь,...), ГДЕ ~ ~Х < ОО, и скалярным произведением (х:у) — ~ «й~, ~=1 (4) есть евклидово пространство. Действительно, сходимость ряда,. стоящего в (4) справа, следует из неравенства (4) З 1 гл. 11. Свойства но (х,, х„,) ф 0 и, значит, и, = 0 для всех 1, '= 1,..., .и. Если ортогональная система (х ) полна (т. е. наименьшее содержащее ее замкнутое подпространство есть все Л), то она называется ортпогональным базисом. Если при этом норма каждого элемента равна 1, то система (х ) называется ортогоиальным нормированным базисом. Вообще, осли система (х„) (полная илн вет) такова, Гл.
!Н. Нормированные и тополоеииеские пространства 188 1)..4) скалярного произведения проверяются непосредственно. Простейший ортогональный нормированный базис в 12 образуют векторы ез = [1,0,0,...), ез = [0,1,0,...),. (5) ез = [0,0,1,...), Ортогонвльность и нормироваыность этой системы ясны. Вместе с тем система [5) полна; пусть х = (х1,..., хп, .., ) любой вектор из 12 и хбй = [х1,..., хп, О, О,... ). Тогда хы1 есть линейная комбинация векторов е1...., е„и ]]хрй — х]] -+ 0 при и -э оо. 3. Пространство Сз[а, 6], состоящее нз непрерывных на [а, 6] действительных функций со скалярным произведением [б) также является евклидовым, Среди различных ортогональных ба- зисов, которые можно указать в нем, важнейшим является тригоно- метрическая система, состоящая из функций сова —, зши —, и = 1,2,...
1 2кт ., 2п.1 2' Ь вЂ” а' Ь вЂ” а' [7) Ь вЂ” „' Ь Ортогонвльность этой системы проверяется непосредственно. Если рассматриваются непрерывные функции на отрезке длины 2х, скажем, на [ — я, к], то соответствующая тригонометрическая система есть: 1/2, соз и1,8ши1 [и = 1,2,...). Система [7) полна. Действи- тельно, согласно теореме Вейер- 1 штрасса всякая непрерывная на 1 отрезке [а,Ь] функция ер, принимающая в точках а и Ь одинако- 11 1 1 1 вые значения, может быть пред- 1 ставлена как предел равномерно сходящейся последовательности Рис. 17 тригонометрических многочле- нов, т.е.
линейных комбинаций элементов системы [7) . Такая последовательность и подавно сходится к во по норме пространства Сз[а,Ь]. Если же 7 . произвольная функция из Сз[а, Ь], то ее можно представить как предел [по норме пространства Сз[а, 6]) последовательности функций у„, каждая из которых совпадает с 7 на отрезке [а, Ь вЂ” 1/и], линейна на [6 — 1]и, 6] и в точке Ь принимает то же значение, что и в точке а 1 4. йааладоом пространства 159 (рис.
17). Следовательно, каждый элемент из Се~а, Ь) можно приблизить сколь угодно точно (в метрике этого пространства) линейными комбинациями элементов системы (7), а это и означает ее полноту. 3. Существование ортогональных базисов, ортогоналнзацня. На протяжении оставшейся части этого параграфе мы ограничимся сепарабольными евклидовыми пространствами (т.
е. содержащими счетное всюду плотное множество). Каждое из пространств, указанных в предыдущем пункте, сепарабельно (докажите это!). Пример несепарабельного евклидова пространства можно построить так. Рассмотрим на прямой всевозможные функции к, для каждой из которых множество точек 11, 19,, .., в которых она отлична от нуля, не более чем счетно., а сумма ~ хг11), взятая по всем таким точкам, конечна. Операции сложения и умножения на числа определим в этом пространстве как обычные сложение и умножение функций, а скалярное произведение определим формулой где сумма берется по множеству тех точек 1, в которых т1г) р1г) ф О. Доказательство того, что в этом пространстве нет счетного всюду плотного подмножества, мы предоставляем читателю.
Отметим, что это пространство полное. Итак, пусть Л сепарабельное евклидово пространство. Покажем, что в таком пространстве всякая ортогональная система не более чем счетнщ Действительно, без ограничения общности можно считать рассматРиваемУю системУ 19оо) не только оРтогональной, по и ноРмированной (иначе мы заменили бы ее системой 19о,/~~9о„~~). При этом ~!У 9ове = хг2 если а ф 19 Рассмотрим совокупность шаров В(чо, 1/2). Эти шарь1 пе пересе- каютсЯ. Если счетное множество )фа) вск1дУ плотно в В, то в каждом таком шаРе есть по кРайней меРе один элемент из 191а). Следовательно, число таких шаров (а значит, и элементов ао ) не более чем счетно. В каждом из приведенных выше примеров евклидовых пространств мы указали по ортогональному базису. Докажем теперь следующую общую теорему, а~алогичную теореме о существовании ортогонального базиса в н-мерном евклиповом пространстве.
Теорема 1 (об ортогонализации). Пусть (8) 160 1п. 1Н. Нормированные и тополоеичесние пространства - - линейно независимая система элементов в евклидовом простран- стве, В. Тогда в В существует система элементов (9) Ф1 . Рп .. удовлетворяющая с тедующим условиям: Ц система (9) ортогональная и нормированная; 2) каждый элемент иоп есть линейная комбинация элементов Л,",У: оп = ап111 + ° ° ° + Опп1п~ причем а„„ф О; 3) каждый элемент )„представляется в виде = Ь 1Р1 +... + ЬппР„, пРичем Ь„„~ О.
Каждый элемент системьс (9) определяется условиялп| 1)--3) однозначно с точностью до множителя т1. Доказательство. Элемент со1 ищется в виде со1 = о1111, .при этом аы определяется из условия (0о1, зо1) = а„( 11, 11) = 1, откуда а т/Е Ю Ясно, что со1 определяется этим однозначно (с точностью до знака).
Пусть элементы соь(6 ( и), удовлетворяющие условиям 1) 3), уже постРоены. ТогДа 1п можно пРеДставить в виДе 1п = Ьпс'Рс + . + Ьп,п,— 1ерп — с + 6п (6п зоа) =О при 6(п. Действительно, соответствующие коэффициенты Ььь, а значит, и элемент 6п, однозначно определяются из условий (6п, Рь) = 1,1п — Ь„, Р, —... — Ь„,„,д„„Р,) = = (1„,Р,) -Ьп,(Р„Р,) =О. Очевидно, что 16п, 1сп) > О (пРедположение (Ьп, 6п) = О пРотиворечило бы линейной независимости системы (8)). Положим 6„ ф) „,Ьп)' г 4. Квавидовм проогпринатва Из индУктивного постРоениЯ Ясно, что йю а значит, и 3оа, вы- РажаЮтСЯ ЧЕРЕЗ 11,...,~х, т.с,, Р„= Оа1Л+...+О ~ ., ГДЕ Ов 1 ф О.
Кроме того, ,4ь..й.) (Ря, ~Д„) = 1, (Р„, 1оь) = 9, й < и, ~а = 1ов у1+...+Ьав«рв, Ьив = Гй:й ) ~9: т. е. ир„удовлетворяет условиям теоремы. Переход от системы (8) к системе (9), удовлетворяющей условиям 1)-3), называется процессом орглогона,лизации.
Ясно, что подпространства, порожденные системами (8) и (9), совпадают между собой. Следовательно, эти системы полны или не полны одновременно. Следствие. В сепарабельном евклидовом пространстве В существует ортогональный нормированный базис. Упражнения. 1. Привести нрнмер (несонарабельного) евклидова пространства,в котором нет ни одного ортогонального базиса. Доказать, что в нолном евклндовом пространстве 1не обязательно сенарабельном) существует ортогояалыняй нормированный базис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
