1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Действительно, пусть фактор- пространство А/1,' имеет размерность п. Выберем в этом фактор- пространстве ба:зис ~1,...,с„и из каждого класса ~ь выберем по представителю ты Пусть теперь х любой элемент из Т и ~ тот класс в 1 /Е', который содержит х. Тогда ( = о1Е1+... + о„~„. По определению это значит, .что каждый элемент из ~, в частности х, отличается лишь на элемент из А' от такой же линейной комбинации элементов хы...,х„, т.е.

х = о1х1 +... -~- о„х„+ у. Однозначность такой записи предоставляем доказать читателю. 5. Линейные функттноналы. Нисловую функцию у, определенную на некотором линейном пространстве 1, мы будем называть функционалом. Функционал 1 называется аддитивным, если 1(к+ у) = 11,х) +1(1у) для всех х,у й А; Гл. П1. Нормированные и типологические пространства 136 он называется однородным, если 1(ах) = аД(х) (а - — произвольное число). Функционал у, определенный в комплексном линейном пространстве., называется сопряженно-однородным, если 1(ах) =ау(х), где а — число, комплексно сопряженное а.

Аддитивный однородный функционал называется линейным функционилом. Аддитивный сопряженно-однородный функционал называется сопряженно-линейным, а иногда полулпнейным. Укажем примеры линейных функционалов. 1. Пусть Ки есть и-мерное арифметическое пространство с элементами х = (х1,..., х„) и а = (а1,..., а„) произвольный набор из п фиксированных чисел. Тогда и у(х) = ~ ~ах; — — линейный функционал в К". Выражение л Д(х) = ~ ~а;х, представляет собой сопряженно-линейный функционал в С". 2. Интегралы представляют собой' соответствонно линейный и сопряженно-линейный функционалы в пространстве С[а, Ь]. 3.

Рассмотрим более общий пример. Пусть уо - некоторая фиксированная непрерывная функция на [ои Ь]. Положим для любой функции х Е С[а, Ь] ь Р (х) = / х(Г)уо(1) пг а Линейность этого функционала следу.ет из основных свойств операции интегрирования. Функционал будет сопряженно-линейным (в комплексном пространстве С[аз Ь]). 4. Рассмотрим в том же самом пространстве С[а,.Ь] линейный функционал другого типа, а именно, положим ды = х(то), так что 1 1. Линейные прастранстпва 137 значение функционала бы на функции х равно значению этой функции в фиксированной точке Со. Этот функционал обычно записывают в виде дм(х) = / х(С)б(С вЂ” Со) сСС, понимая под б «функцию», которая равна нулю всюду, кроме точки С = О, и интеграл от которой равен единице (д-функция Дирака).

Такие «функции» получили строгое определение в рамках теории обобщенных функций, элементы которой будут изложены в з 4 следующей главы. 5. Приведом пример линейного функционала в пространстве Ст. Пусть й — — фиксированное целое положительное число. Для каждого х: (хг ~ ~ хп1 ° ) из Сз положим ага (х): хг ° пйинейность та кого функционала очевидна. Эти функционалы допускагот «распространенно» на др1тие пространства последовательностей, например, на со, с., т, й~ (примеры 5 -8, п. 1). 6. Геометрический смысл линейного функционала. Пусть С --- некоторый отличный от тождественного нуля линейный функционал на линейном пространстве б.

Совокупность тех элементов х из А, которые удовлетворяют условию 1(х) = О, представляет собой подпространство пространства Ь подпростропстоо нулей нли ядро функционала С. Действительно, если 1(х) = 1(гд) = О, то С(стх+,Зд) = н7(х) + ~~У(у) = О. Это подпространство обозначается Кег 7" 1) .

Подпространство Кегу" имеет коразмерность 1. Действительно, возьмем какой-либо элемент хо, не входящий в Кег С, т. с. такой элемент, что С(хо) Р О. Такой элемент найдется, поскольку 7(х) ф О. Без ограничения общности можно считать, что )'(хо) = 1, ибо в противном случае мы заменили бы хо на — '.

(Ясно, что 7'( — ') = 1 ) ха ! ха 1(ха) 1(ха) Для каждого элемент~ х положим д = х — У(х)хо', тогда С(д) = = ) (х — С(х)хо) = О, т.е. д Е Кег,(. Представление элемента х в виде х = охо + у, где д Е Кегт, при фиксированном элементе хо единственно. В самом деле, пусть х=пхо С-у, уЕКег,С, х=о'хо+у~; д'ЕКсгт. Тогда (о — о')хо=у~ — у ') От английского слова Сегпе1 - ядро. 138 Гл. П1. Нармирвваннив и твг>ававинеснис пространства Если здесь о = о', то очевидно, что у' = у.

Если же о ф о', то хо = У У и Кегг", что противоречит выбору хо. Отсюда следует, что два элемента х> и х> тогда и только тогда принадлежат одному классу смежности по подпространству Кег 1, когда 1 (х>) = 1 (хг ). Действительно, нз х> = ((х>)хо + У>, х> = ((хг)хо + Уг вытекает, что х> — хз = ®х>) — 1(хз)) то + (у> — Уз). Отсюда видно, что х> — х> е Кег > тогда и только тогда, когда коэффициент при хо, т.е. 1(х>) — 1(хз), равен О. Всякий класс б по подпространству Кег 1" определяется любым из своих представителей. В качестве такого представителя можно взять элемент вида с>хо.

Отсюда видно, что подпространство Ь>> Кету действительно одномерно, т, е, Кету имеет коразморность 1. Подпространство Кету определяет линейный функционал, обра>цающийся на нем в нуль, с точностью до постоянного множителя. В самом деле, пусть функционалы 1 и д имеют одно и то же ядро: Кег 1 = Кегд. Выберем элемент хо так, чтобы 1" (хо) = 1. Мы утверждаем, что д(хо) у- О. Действителыю, х = 1(х)хо+ у у е Кета' = Кегд, д(х) = 1(х)д(хо) + д(У) = ~(х)д(хо). Если бы значение д(хо) равнялось О, то функционал д был бы тождественным нулем. Из равенства д(х) = д(хо)((х) и вытекает пропорциональность функционалов д и 1.

Для всякого подпространства В' коразмерности 1 можно указать такой функционал г", что Кег г' = Л'. Достаточно выбрать произвольный элемент хо 1с Л' и пРедставить каждый элемент х Е Ь в виде х = охо+у. Такое представление единственно. Положив г(>г) = о, мы получим линейный функционал 1, для которого Кег 1 = 1' (проверить это.

') . Пусть Ь' - - какое-нибудь подпространство коразмерности 1 в линейном пространстве Ь; тогда всякий класс смежности пространства А по подпространству 1,' называется гиперплоскостью, параллельной подпространству А' (в частности, само подпространство А' является гиперплоскосп>ью, содержащей О, т.е. «проходящей через начало координат»), Иш>ми словами, гиперплоскость И', параллельная подпространству 1,', - это множество, получающееся из Ь' параллельным переяосом (сдвигом) на какой-нибудь вектор хо Е Е: М = В +хо = (у: у = х+ хо>х Е Т ).

Ясно, что если хо е Ь', то ЛП = Т', если же хо Ф А', то ЛХ' ф А'. Если 1 нетривиальный линейный функционал на пространстве Ь, у 2. Выпуклые множества и выпуклые функаноналы 139 то множество ЛХХ = 1х; Х(х) = Ц является гиперплоскостью, параллельной подпространству Кег Х (действительно, фиксируя какой- нибудь элемент хв, для которого Х(хв) = 1, мы можем всякий вектор х б ЛХХ, представить в виде х = хв + у, где у б Кег Х).

С другой стороны, если ЛХ' какая-нибудь гиперплоскость, параллельная подпространству Х,' (коразмерности 1) и не проходящая через нача.то координат, то существует е д и н с т в е н н ы й линейный функционал Х такой, что ЛХ' = 1х; Х(х) = Ц. Действительно, пусть ЛХ~ = Х,~ + хо,хо Е Хл, тогда всякий элемент х Е Х однозначно представим в виде х = охв+у, где у Е Ху. Полагая, как и вьппе, Х1х) = о, ыы получим искомый линейный функционал; единственность следует из того, что если д(х) = 1 при х 6 ЛХ', то д(у) = О при у б Х', так что д(охв + у) = о = Х(охо + у) Таким образом, установлено взаамяв однозначное свогпвппсгавие между всеми нетривиальными ликейными функционалами, определенными на Х,, и всеми гиперплвскостями в Хс не преходящими через начало координат. Упраж не нее.

Пусть Х, Хы..., Х„--. такие линейные функционалы на линейном пространстве Ь, что из Хс1х) = - = Х„1х) = О вытекает Х1х) = О. Тогда существуют такие постоянные аы...,а, что Х1х) = 2 аьХу(х) для всех х Е Х. 9 2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана-Банаха 1. Выпуклые множества и выпуклые тела. В основе многих важных разделов теории линейных пространств лежит понятие вьтуклвсти. Оно опирается на наглядные геометрические представления, но вместе с тем допускает и чисто аналитическую формулировку. Пусть Х, —.

некоторое линейное действительное пространство и х,, у .— две его точки. Назовем замкнутым отрезком в Хч соединяющим точки х и у, совокупность всех элементов вида ох+;Зу, где о,,З ) О, о -1- 3 = 1. Отрезок без концевых точек х и у назынаетгя открытым отрезком.

Гл. 1Н. Нормированные и тополоеииеские просспрвнство 140 Множество ЛХ с Ь называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками х и у содержит и соединяющий их отрезок. Назовем ядром Х(Е) произвольного множества Е с Х, сонокупность таких его точек х, что для каждого у б Ь найдется такое число е = г(у) > О, что х+ 1д б Е при ~1~ < к. Выпуклое множество, ядро которого не пусто, .называется выпуклым шелом. П р и м е р ы. 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве выпуклые множества, но не выпуклые тела.

2. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на отрезке (а, о) множество функций, удовлетворясощих условию ~/(1) ~ ( 1. Это множество выпукло; действительно, если ~/(1)~ < 1 и ~д(1)~ < 1, то ирна+О=1,а,д>О ~а/(1) + дд(1) ~ < се +,3 = 1.

У и р а ж н е н н е. Проверить, является ли зто множество выпуклым телом. 3. Единичный шар в 1з т, е. совокупность таких точек х = (хы..., хп, .., ), что 2, х~, < 1, есть выпУклое тело. Его ЯдРо состоит из точек х, удовлетворяющих условию 2 х-„< 1. 4. Основной параллелепипед П в 12 выпуклое множестно, но не выпуклое тело. В самом деле, пусть х е П:, зто означает, что ~х,„~ < 1/2" ' для всех п = 1,2,...

Положим ув = (1,1/2,..., 1/и,...). Пусть х + 1ув б П, т е. ~х„+1/н~ < 1/2п '; тогда и . *- + п + ~.-! - =-, + †. , = †. е, откуда 1 = О, т, е, ядро множества П пусто. Упражнения. 1. Пусть Ф совокупность точек х = (хь..., хн,... ) из 1м удовлетворяющих условию 2 похе ( 1. Доказать, что Ф вЂ” - выпуклое множество, но ве выпуклое тело. 2.

Доказать то же самое пля множества точек в 1з, каждая из которых имеет лишь конечное число отличных от нуля координат. Если ЛХ - — выпуклое множество, то его ядро Х(ЛХ) тоже выпукло. Действительно, пусть х, у Е д(ЛХ) и з = ах+,Зу, а,,д > О, а+ /3 = 1. Тогда для данного а с Ь найдутся такие ес > О и ез > О, что при ~П~ < еы ~10~ < вз точки х+Па и у+1за принадлежат множеству ЛХ, следовательно, ему принадлежит и точка а(х+1а)+/4(д+1а) = х+1а при ф < е = гшп(ем ез), т.

Характеристики

Список файлов книги