1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Множество А из Л называется 6-семгою для М, если для любой точки к Е М найдется хотя бы одна точка а б А, такая, что р(к,а) < г. (Множество А не обязано содержаться в ЛХ и может даже не иметь с ЛХ ни одной общей точки, однако, имея для М некоторую г-сеть А, можно построить 26-сеть В С ЛХ.) Например, целочисленные точки образуют на плоскости 1/ьг2-сеть. Множество М называется вполне ограниченным, если для него при любом г ) 0 существует конечная е-сеть. Ясно, что вполне ограниченное множество обязательно ограничено, как сумма конечного числа ограниченных множеств. Обратное, вообгпе говоря, неверно, как показывает приводимый ниже пример 2.

Часто бывает полезно следующее очевидное замечание: если множество М вполне ограничено, то его замьгкание ~М~ также вполне ограничено. Из определения полной ограниченности сразу следует, что если само метри щское пространство Л вполне ограпаченц то оно сепарабельно. Действительно, построим для каждого и в Л конечную 1(п-сеть. Сумма их по всем п представляет собой счетное всюду плотное в Л множество. Поскольку сепарабельное метрическое пространство имеет счетную базу (теорехга 4 З 5) г мы получаем, что всякое вполне ограниченное метрическое пространство имеет счетную базу. Примеры. 1.

В п-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, т.е. с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром 6, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную 1оггпг(2)г-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, любом множество, лежащем внутри этого куба.

2. Единичная сфера В в пространстве )и дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Действительно, рассмотрим в В точки вида е1 = (1,0,0,...,0,0,...), ег = 1г0, 1,0,...,0,0,... ), е„= (Ог0,0,...,1,0,...). 1 7. компактность в метричеспих пространствах 117 Расстояние между любыми двумя такими точками е„и е, (и 7': нл) равно у/2. Отсюда видно, что в 5 пе может быть конечной е-сети ни при каком е < л/2/2.

3. Рассмотрим в 1з множество П точек х = (х1,..., х„,... ), подчиненных условиям (х1( < 1, )хз! < 1/2, ..., )х„( < 1/2п ', ... Это множество называется основным параллелтннедом («гильбертовым кирпичом») пространства (з. Оно служит примером бесконечномерного вполне ограничеяного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом. Пусть е > О задано. Выберем п так, что 1/2п ' < е/2.

Каждой точке — (11 из П сопоставим точку х" = (71,...,х„О,О,...) из того же множества. При этом (2) -Г з в=а-5-1 С;1<1< ° 4л 2" — ' 2' л — — и Множество П' точек вида (2) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в и-мерном пространстве). Выберем в П* конечну.нл е/2-сеть. Ясно, что она будет в то же время е-сетью во всем П. 2. Компактность и полная ограниченность. Теорема 1.

Если метрическое пространство Л счетно-колгпактно, то оно вполне ограничено. Итак, мы показали, что для метрических пространств счетная компактность влечет полную ограничснностьч которая в свою очередь влечет наличие счетной базы. В силу теоремы 10 З 6 отсюда получаем такой важный результат. Доказательство. Предположим,чтоЛневполнеограничено. Это значит, что при некотором ео > О в Л не существует конечной ео-сети.

Возьмем в Л произвольную точку ал. В Л найдется хотя бы оДна такаЯ точка, скажем, аз, что Р(а1, аз) > ео (иначс точка ал была бы ео-сетью для Л). Далее, в Л найдется такая точка аз, что р(ал,аз) > ео и р(аз,аз) > ео, иначе пара точек а1, аз была бы ео-сетью. Если точки ал,..., аь Уже фиксиРованы, то выбеРем точкУ аз+1 Е Л так, что Р(аоа1,. лл) > со (1 = 1,,Й) Это построение дает нам бесконечную последовательность ал, аз,..., которая не имеет ни одной предельной точки, поскольку р(а„аз) > ео при л ~ ~.

Но тогда Л не счетно-компактно. Теорема доказана. 1Л. и. Метрические и топологические прострипства 118 С л е д с т в и е. Всякое счетно-компактное, метрическое пространство компактно. й4ы показали, что полная ограниченность есть необходимое условие компактности метрического пространства. Это условие не достаточно; например, совокупность рациональных точек отрезка ~0, Ц с обычным определением расстояния между ними есть вполне ограниченное, по не компактное пространство: последовательность точек этого пространства 0; 0.4; 0,41; 0,414; 0.4142 т.е.

последовательность десятичных приближений числа ч/2 — 1, не имеет в нем предельной точки. Однако имеет место следующая теорема. Теорема 2. Для того чтобы метрическое пространство Л было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было одновременно: 1) вполне ограниченным, 2) полным.

До к аз а тел ь от в о. Необходимость полной ограниченности уже отмечалась. Необходимость полноты очевидна: в самом деле, если 1х„) фундаментальная последовательность в Л, не имеющая предела, то эта последовательность не имеет в Л ни одной предельной точки. Покажем теперь,что если Л вполне ограничено и полно, то оно компактно. В силу следствия из теоремы 1 для этого достаточно установить, гто Л счетно-компактно, т, е, что всякая последовательность 1х,) точек из Л имеет хотя бы одну предельную точку.

Построим вокруг каждой из точек, образукгщих 1-сеть в Л, замкнутый шар радиуса 1. Так как эти шары покрывают все Л, а число их конечно, то по крайней мере один из них, назовем его В1, содержит некоторую бесконечную подпоследовательность х, ..., х„,... последовательности 1х„). Далее, выберем 1112-сеть в В1, <1) и вокруг каждой из точек этой сети построим замкнутый' шар радиуса 1/2. По крайней мере один из этих шаров, назовем его Вз, содержит бесконечную подпоследовательность х,,..., х„,... после- (2) (21 довательности 1хп ). Далее, найдем замкнутый шар Вз с центром (11 в Вз радиуса 1/4, содержащий бесконечную подпоследовательцость х ',..., х„',... последовательности 1х„) и т, д, Рассмотрим теперь 00 , 00 00 наряду с каждым шаром В„замкнутый шар А„с тем же центром, 1 К Квмивнтнвсть в мстрнчссних нрвстрвнствах 119 но в два раза болыпего радиуса.

Легко видеть, что шары А„вложены друг в друга. В силу полноты пространства В пересечение П А„ и=-1 не пусто и состоит из одной точки хв. Эта точка . предельная для исходной послодовательности 1х„), так как каждая ее окрестность соДеРжит некотоРый шаР В1ч а значит, и бесконечнУю поДпослеДовагельность (х„ ) последовательности )хн). рй 3. Предкомпактиые подмножества в метрических пространствах. Понятие предкомпактности, введенное нами в предыдущем параграфе цля подмножеств произвольного топологического пространства,. применимо., в частности, .к подмножествам метрическо1 о пространства. При этом, очевидно, понятие счетной предкомпактности совпадает здесь с понятием предкомпактности.

Отметим следующий простой, но 1зажный факт. Теорема 3. Для того чтобы множество М, лежащее и полном метрическом пространстве Лв было предкомпактным, необходиъю н достаточно, чтобы опо было вполне ограниченным. Доказательство сразу следует из теоремы 2 и того очевидного факта, что замкнутое подмножество полного метрического пространства само полно.

Значение этой теоремы состоит в том, что, как правило, легче установить полную ограниченность того или иного множества, чем непосредственно доказать его предкомпактность. Вместе с тем для применений в анализе важна обычно предкомпактность. 4. Теорема Арцела. Вопрос о компактности того или иного множества в метрическом пространстве — довольно распространенная в анализе задача. Х1ежду тем, попытка непосредственно применить теорему 2 сталкивается с трудностями.

Поэтому для множеств в конкретных пространствах полезно дать специальные критерии компактности [или предкомпактности), более удобные на практике. В п-мерном евклидовом пространстве предкомпактность множества равносильна, как мы видели, его ограниченности. Однако для более общих метрических пространств это уже неверно. Одним из важнейших в анализе метрических пространств является пространство С[а, 6). Для его подмножеств важный и часто используемый критерий предкомпактности доставляет так называемая теорема Арцела.

Чтобы ее сформулировать, нам понадобятся следующие понятия. Семейство Ф функций ус, определенных на некотором отрезке [а,6), называется равномерно огринссченнмм, если существует такое Гл. Па Метрические и топологические протлраиства 120 число К, что [уг(х)[ < К для всех х й [а,д)и всех со е Ф.

Семейство Ф = (уг) называется равностепенно непрерывным, если для каждого " > О найдется такое б > О, что [гс(Х1) Р(Х2)[ < Е для всех х1 и хт из [а, 6) таких, что р(х1, хт) < бг и для всех со е Ф. Теорема 4 (Арцела). Для того чтобы семейство Ф непрерывных функций, определенных на отрезке [а, 6), было прецкомпактно в С[а, 6), необходимо и достаточно, чтобы зто семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Доказательство. Необходимость.

Характеристики

Список файлов книги