1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Пи Метрические и топологические просгпроистаа те множества, которые мы считаем открытыми. Набор этих множеств должен удовлетворять требованиям 1' и 2' (см. п. 1 6 5). Равносильный этому двойственный способ указать набор замкнутых множеств. Такой набор должен, очевидно, удовлетворять условиям 1 и 2 (п. 1, 6 5). Однако фактически этот способ редко может быть применен. Так, например, даже в случае плоскости вряд ли можно дать непосредственное описание всех открытых подмножеств (как это удается сделать для прямой (теорема 5 6 2)).

Распространенный способ задания топологии состоит в выборе некоторой базы, фактически именно так и вводится топология в метрических пространствах, где мы, опираясь на метрику, задаем базу — совокупность открытых шаров. Еще один из возможных способов задать топологию в пространстве --.

это ввести в нем понятие сходимости. Однако за пределами метрических пространств такой способ не всегда удобен, поскольку, как уже указывалось в и. 4, не всегда переход от множества к его замыканию можно описать в терминах сходящихся последовательностей. Этот способ можно сделать универсальным, обобщив соответствующим образом само понятие сходящейся последовательности (см., например, [29], гл. 2). Можно ввести в пространстве топологию, определив в нем аксиоматически операцию замыкания. Именно, говорят, что в множестве Х задана операция замыкания, если каждому А С Х поставлено в соответствие некоторое множество [.4[ с Х, называемое замьгкаииелг А, причем операция перехода от.4 к [А) обладает свойствами 1) — 4), указанными в теореме 1 6 2. Определив после этого замкнутые множества как те, для которых [А[ = Аг легко показать, что этот класс множеств удовлетворяет условиям 1 и 2 (п.

1 6 5), т.е. действительно определяет в Х топологию. Задание метрики один из важнейших способов введения топологии, хотя и далеко не универсальный. Как мы уже видели, всякое метрическое пространство нормально и удовлетворяет первой аксиоме счетности. В пространстве, лишенном хотя бы одного из этих двух свойств, топологию нельзя задать с помощью какой бы то пи было метрики Определение. Топологическое пространство Т называется лгетирпзуелгм и, .если его топологию можно задать с помощью какой- либо метрики.

В силу только что сказанного нормальность пространства и первая аксиома счетности представляют собой необходимые условия метризуемости пространства. Вместе с тем ни каждое из этих 'г 6. Компактность условий в отдельности, ни даже их совокупность недостаточны для метризуемости пространства. Однако имеет место следующая теорема, принадлежащая П. С. Урысонут Для того чтобы топологичсскос пространство со счетной базой было мстризисмо, необходимо и достаточно, чтобы оно было нормально. Необходимость этого условия ясна; доказательство достаточности имеется, например, в [2[. ~ 6.

Компактность 1. Понятие компактности. Фундаментальную роль в анализе играет следующий факт, известный под названием леммы Гейне †Боре: Из любого покрытия отрезка [а., Ь[ числовой прямой интервалами можно выбрать конечное подпокрытис. Это утверждение останется справедливым, если вместо интервалов рассматривать любые открытые множества: из всякого открытого покрьааия опгрсзка [ао й[ можно выделить конечное подпокрытис.

Отправляясь от этого свойства отрезка числовой прямой., введем следующее важное понятие. Определение. Топологическое пространство Т называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Компактное топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме отделимости Хаусдорфа, называется компактом. Как мы увидим ниже, свойством компактности наряду с отрезками обладают все замкнутые ограниченные подмножества евклидова пространства любой конечной размерности. Наоборот, прямая, плоскость, трехмерное пространство служат простейшими примерами некомпактных пространств.

Назовем некоторую систему подмножеств уАу множества Т цснти рированной, если любое конечное пересечение П А; членов этой сиг=1 степы не пусто. Из сформулированного определения компактности и соотношений двойственности вытекает следующая теорема. 108 Гл. и. Метрические и топологические просгпринстаа Теорема 1. Для того чтобы топологическое пространство Т было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло условию: 1Л) каждая центрированная система его замкнутых подмножесгв имеет нгпустое пересечение. Действительно, пусть 1Г ) - центрированная система замкнутых подмножеств в Т и пусть Т компактно.

Множества С = Т'уГ открыты, причем из того факта, что никакое конечное пересечение и П Е, не пусто, следует, что никакая конечная система множеств г=г С, = Т 1, Гг не покрывает все Т. Но тогда и все С не образуют покрытия (компактность!), а это значит, что П Е ф го. Итак, если Т компактно, то в пем условие (11) выполнено. Обратно, пусть Т удовлетворяет условию (Л) и С„открытое покрытие пространства Т. Положив Е = ТгуС, получим, что П Е = кг. откуда следует (условие (Л)), что система 1го) не может быть центрированной, и т. е.

существуют такие г1,..., Р„, что П Рг = кг. Но тогда соответстг=1 вующие Сг = Т11Е, образуют конечное подпокрытие покрытия (Са). Итак, условие (Л) равносильно компактности. Установим некоторые основные свойства компактных пространств. Теорема 2. Если Т коотактное пространство, токаждоесго бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку. Доказательство. Если Т содержит бесконечное множество Х, не имеющее ни одной предельной точки, то в нем можно взять счетное множество Х, = (яы тю...

), также не имеющее ни одной пРедельной точки. Но то.да хпюжества Хп = (хпгп„г1.....) обРазуют центрированную систему замкнутых множеств в Т, имеющую пустое пересечение, т.е. Т не компактно. Теорелга 3. Замкнутое подгоюжество компактного пространства компактно. До к а з а т е л ь с т в о. Пусть Е замкнутое подмножество компактного пространства Т и 1го) .- произвольная центрированная система замкнутых подмножеств подпространства Г С Т.

Тогда каждое Р' замкнуто и в Т, т.е. 1г' ) центрированная система замкнутых множеств в Т. Следовательно, ПЕо ~ а. В силу теоремы 1 отсюда следует компактность Е. Поскольку подпространство хау.сдорфова пространства само хаусдорфово, отсюда получаем: 'з а Компактность 109 Следствие. Замкнутое подмножество компакта есть компакт. Теорема 4. Компакт замкнут в любом содерхсап1ем его хаусдорфовом пространстве. Доказательство. Пусть К вЂ” компактное множество в хаусдорфовом пространстве Т и пусть у ф К. Тогда для любой точки х е К существуют окрестность Гк точки х и окрестность 1; точки у такие,что Г,Г11; =Я.

Окрестности Гк образуют открытое покрытие множества К. В силу компактности К из него можно выделить конечное подпокрытие Гк,,..., Г,„. Положим 1' = ь;, Гз . Гз 1",„. Тогда 1: -- окрестность точки у, не пересекающаяся с Г„О О Г,„З К. Следовательно, у ф ~К' и, значит, К замкнуто. Теорема доказана. Теоремы 3 и 4 показывают, что в классе хаусдорфовых пространств компактность есть внутреннее свойство пространства, т. е. всякий компакт остается компактом, в какое бы более широкое хаусдорфово пространство мы его ни включали. Теорема 5. Всякий компакт представляет собой нормальное прас:транство. Доказательство. Пусть Х и У вЂ” — два непересекающихся замкнутых подмножества компакта К.

Повторив рассуждения, проведенные в доказательстве предыдущей теоремы, легко убедиты:я в том, что для каждой точки у Е У существуют такая ее окрестность Го и такое открытое множество Оо э Х, что Го П Оо — — Я. Тем самым доказано, .что всякий компакт регулярен. Пусть теперь у пробегает множество У. Выберем из покрытия (Го) множества У конечное подпокрьггие Го,,..., Го„. Тогда открытые множества О~1~ = Гю Л" П Г„. и О"~ = Го, и" и Г„. будут удовлетворять условиям О"' ЗХ, Обй Зу и О"~ ОО"' =а, а зто и означает нормальность. 2. Непрерывные отображения компактных пространств.

Непрерывные отображения компактных пространств, в частности, компактов, обладают рядом интересных и важных свойств. Гл. П. Метрические и тоиологические просглриистаа 110 Теорема 6. Непрерывный образ компактного пространства есть компактное пространство. До к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х вЂ” компактное пространство и 7— его непрерывное отображение в топологическое пространство т'.

Рассмотрим какое-либо покрытие у'г' ) образа 1" (х) открытыми в 7'(х) множествами. Положим Г = 7' 1(И ). Множества Н открыты (как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении) и образуют покрытие пространства Х. Из этого покрытия можно выбрать, в силу компактности Х, конечное подпокрытие Н1, ..., Вт Тогда множества 11,..., 1'„, где 1г, = 71Г;), покрывают весь образ 7'1Х) пространства Х. Т е о р е м а 7. Взаимно однозначное и непрерывное.

отображение р компакта Х на хаусдорфово пространство И есть гомеоморфизм. Доказательство. Нужно показать, что из условий теоремы вытекает непрерывность обратного отображения „о '. Пусть Е замкнутое множество в Х и Р = фг ) --. его образ в И, В силу предыдущей теоремы Р—.. компакт и, следовательно, Р замкнуто в у'. Таким образом, прообраз при отображении х ' всякого замкнутого множества Р с Х замкнут. А это и означает непрерывность отображения уг 3. Непрерывные и полунепрерывные функции на компактных пространствах. В предыдущем пункте речь шла о непрерывных отображениях компакта в хаусдорфово пространство. Частным случаем таких отображений являются отображения компактов в числовую прямую, т.е.

числовые функции па компактах. Для таких функций сохраняются основные свойства функций на, отрезке, известные из анализа. Теор е. м а 8. Пусть Т вЂ” компактное пространство и 7' . -. непрерывная на пем числовая функция. Тогда 7' ограничена ца Т и достигает на Т верхней и нижней граней. До к а з а т е л ь с т в о. Непрерывная функция есть непрерывное отображение Т в числовую прямую К.

Образ Т в К в силу общей теоремы 6 компактен. Но, как читателю известно из курса анализа (сы. также п. 2 0 7), компактное подмножество числовой прямой замкнуто и ограничено и потому не только имеет конечные верхнюю и нижнюю грани, но и содержит эти грани. Теорема доказана. Упражнение. Пусть К компактное метрическое пространство и А —.

Характеристики

Список файлов книги