1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть семейство Ф предкомпактно в С[а, 6). Тогда по предыдущей теореме для каждого положительного е в семейство Ф существует конечная е1гЗ-сеть со1,..., соь. КажДаЯ из фУнкЦий соо квк непРеРывнаЯ фУнкЦиЯ на отрезке, ограничена:[р,(х)[ < Кг. Положим К = 1пах К, + еееЗ. По опРеделению е/3-сетиг длЯ всЯ- кого со 6 Ф имеем, хотя бы для одного ~р„ р(гр,1ое) = щах[1о(х) — р,(х)[ < с/3. Следовательно, [у'(х)[ - [ (*)[ + 3 - К, + 3 < К. Итак, Ф равномерно ограничено.
Далее, так как каждая из функций сон образующих е/З-сеть, непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна на [а, д), то для данного е/3 существует такое б,, что [рг(х1) — ре(хз)[ < с/3, если [х1 — хт[ < б, Положим б = цппб,. Для произвольной функции у е Ф выберем со, так, чтобы р(со, со,) < /3; тогда при [х1 — хг[ < б будем иметь [ЗО1(Х1) гс(Х2)[ ~ ~['Р(Х1) Зсг(Х1)[+ [гсе(Х1) Ра(тз)[+ + [|го,(хт) — фхз)[ < е/3+ е13+ е13 = е. Равностепенная непрерывность Ф также доказана.
Достаточность. Пусть Ф -- равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство функций. В силу теоремы 3 для доказательства его предкомпактности в С[а, 6] достаточно показать, что при любом е > О для него в С[а, 6) существует конечная е-сеть. З 7. Компактность в метрических пространствах 121 Пусть )1о(х)) < К для всех уо Е Ф и пусть б ) О выбрано так, что )зз(хг) — зо(хз)) < е,75 при )хг — хз) < б для всех со е Ф.
Разобьем отрезок [о,Ь) на оси х точками хо = а1 < х1 « - х„= Ь на промежутки длины меньше б и проведем через эти точки вортикальные прямые. Отрезок [ — К, К) на оси р разобьем точкаъ1н йо = — К < у1 « . ут = К на промежутки длины меньше /5 и проведем через точки деления горизонтальные прямые. Таким образом, прямоугольник а < х < Ь, — К < р < К разобьется на ячейки с горизонтальной стороной меньше б и вертикальной стороной меньше с/5.
Сопоставим теперь каждой функции ьо б Ф ломаную ф(х) с вершипамн в точках (хг,у1), т.с. в узлах построенной сетки, и уклоняющуюся в точках хг от функции фх) меныпе, чем на с,75 (существование такой ломаной очевидно). Поскольку по построению [р(хь) — аб(хь)) < с(5, )р(хь.ь1) — 1Ь(хгз.г)) < з/5, )фхь) — Р(хь-;1)) < з/5, то )ф(хь) Йхьаг)) < Зе/5. Так как между точками хь и хьсг функция ф(х) линейна, то )ф(хь) — ф(х)) < Зс/5 для всех х е [хь, хьсг). Пусть теперь х -- произвольная точка отрезка [а, Ь) и хь — ближайшая к х слева из выбранных нами точек деления.
Тогда )р(') — ф(хН < )р(') — р(хь))+ М(х ) — К и))+ М(' ) — И: )) < Следовательно, ломаные ф(х) по отношению к Ф образуют е-сетгь Число их, очевидно, конечно; таким образом, Ф вполне ограничено. Теорема полностью доказана. б. Теорема Пеано. Покажем, как применяется теорема Арцела на примере следующей теорел1ы существования для обыкновенных диффертщнапьных уравнений с ненрерыишй праной частью. Теорема 5 (Пеа но). Пусть дано диффоренцнаньное уравнение — ~ = У(х,й). цх Если функция 7" непрерывна в некоторой ограниченной за гкнутой области С, то через каждую внутреннюю точку (хо, уо) этой' области проходит котя бы одна интегральная кривая данного уравнения.
Доказательство. Так как функция 7" непрерывна в осраниченной замкнутой области, то она ограничена: )7(х, у)) < ЛХ = сопзй Гл. 11. Метрические и тоиологичеекие ироегаракетва 122 Проведем через точку (хо, уо) прямые с уг;ювыми коэффициентами ЬХ и — ЛХ. Проведем, далее, вертикальные прямые х = а и х = Ь так, чтобы отсекаемые ими два треугольника с общей вершиной (хо, уо) целиком лежали внутри области С.
Эта пара треугольников образует замкнутое множество гл. Построим теперь для данного уравнения так называемые ломаные Эйлера следующим образом: проведем из точки (хо, уо) прямую с угловым коэффициентом 1(хо, уо). На этой прямой возьмем некоторую точку (;еы уг) и проведем через нее прямую с угловым коаффициентом Х(хм уг). На этой прямой возьмем точку (хг, уг), проведем через нее прямую с угловым коэффициентом 1(хг, уг) и т.д. Рассмотрим теперь погчедовательность ломаных Эйлера Х м..., й„,..., проходящих через точку (хо, уо), таких, что длина наибольшего из звеньев ливии Хь стремится к нулю при (е -э оо. Пусть оог -- функция, график которой есть линия Х г.
Функцив:р и..., ~рь,... обладают следующими свойствами: Ц они определены на одном и том же отрезке [а, Ь], 2) они равномерно ограничены, 3) они равностепенно непрерывны. На основании теоремы Арцела из последовательности [уь) можно выбрать равномерно сходящуюся погчедовательность. Пусть это будет последовательность 1о1 1,..., Оо1 1,... Положим у(х) = 1пп ры1(т) при Ь вЂ” э со. Ясно, что 1о(хо) = уо. Остается проверить, что оо удовлетворяет на отрезке [а, Ь] данному дифференциальному уравнению. Д;гя этого требуется показать, что дпя любого е > 0 — Х(х' (х')) < хи х если только величина [х — х [ достаточно мала.
Для доказательства этого в свою очередь нужно установитгь что при достаточно больших Ь Зг~ 1(х ) — |р1 1(х ) х — х если только разность ]х — х ] достаточно мала. 'Гак как Х непрерывна в области С, то для любого е > 0 найдется такое 0>О, что 1(х', у') — е < Х(х, у) < 1(х', у') З- е, у' = 1о(х'), если [х — к[<20 и ]у — у [ <4АХФ Совокупность точек (х, у) Е Сг, удовлетворяющих этим двум неравенствам, представляет собой некоторый прямоугольник 1„1. Пу-сть теперь К настолько велико, что для всех К > К [~ (х) — р~ 1(х)[ < 2ЬХО Ь К Комивнтность в метрачесних пространствах 123 и все звенья ломаной Ео имеют длину меныпе вс Тогда црн ]х — х'] < 2с1 все ломаные Эйлера ум1, для которых Ь > К, целиком лежат внутри Г„с. Далее, пусть (ао, Ьо),..., (ан.ш, Ь„ес) вершины ломаной Кю причем ао~(ос <ос<во< .<а„<х (аоос (мы для определенности считаем х > х; аналогично рассматривается случай хс < х ).
Тогда для соответствующей функции хп имеем зосы(ас) — срсм(х') = К(ао, Ьо)(ас — х'), рс ~(о,,тс) — срсю(а,) = ~(а„Ь,)(а вс — а,), с = 1,....,и — 1, ср1 1(х' ) — усс~ (а ) = К(ан, Ь„)(х — а„). Отсюда при [хсс — х ] < у получаем [)(х, у ) — о](ас — х ) < ср (ас) — х (х ) < [7(х,у ) + г](ас — х ), [)(х,у ) — г](а,~.с — а,) < ср (а.сс) — ос (а,) < < [) (х, у ) + с](а,ос — а,); с = 1,..., и — 1, [7(х,у ) — з](х — ан) < ус (х ) — ср (а ) < [)(х,у ) -се](х — а ).
Суммируя этн неравенства, находим [К(х', у') — с](тв — х') < ус "' (хо) — ос" (х') < [7(х', у') + е](хв — х'), что и требовалось доказать. Разные подпоследовательности ломаных Эйлера могут сходиться к разным решениям уравнения (3). Поэтому решение уравнения у' = 7'(х, у), проходящее через точку (хо, уо), вообще говоря, не единственно. 6. Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения метрических компактов. Для отображений метрического пространства в метрическое пространство, в частности, для числовых функций на метрических пространствах, наряду с понятием непрерывности имеет смысл важное для анализа понятие равномерной непрерывности: отображение Е метрического пространства Х в метрическое пространство Р называется равномерно ненреросвным, если для каждого е>О найдется такое д>О, что рз(Г(хс),г'(хо))<е как только Рг(хс,хо) < Ь (зДесь Рс - РасстоЯние в Х, а Ра Расстояние в У), причем б зависит только от е, но не от хс и хз.
Упраж не я ие. Показать, что числовая функция г (сс) = зцр х(с) равномерно непрерывна на пространстве С[а, Ь]. <с<в Для непрерывных отображений метрических компактов имеет место следующая теорема, обобщающая хорошо известную из элементарного курса анализа теорему о непрерывных функциях на отрезке. Рл. 1б Метрические и топологические простринстаа 124 Теорема 6. Непрерывное отображение метрического коъгнакта в метрическое пространство равномерно непрерывно. Доказательство.
Пусть отображение Е метрического компакта К в метрическое пространство ЛХ непрерывно, по пе равномерно непрерывно. Это значит,что для некоторого е > О и каждого натУРальпого п найДУтсЯ в К такие точки хп и х'„, что Р1(х„,х'„) < < 1)п и в то же время рз1Е(х„),Е(х'„)) > е (рг -- расстояние в К, рз расстояние в М). Из последовательности )х„) в силу компактности К можно выбрать подпоследовательность (х„о), сходящуюся к некоторой точке х 6 К. Тогда и 1сс'„„) сходится к х; но при этом для каждого й должно быть выполнено хотя бы одно из неравенств рггр гх), Е(х„„)) > ег2; рз(р(х),Г(хл)) > е/2, что противоречит непрерывности отображения г' в точке х.
7. Обобщенная теорема Арцела. Пусть Х и б' два метрических компакта и пусть Схг множество всех непрерывных отображений 7' компакта Х в т'. Введем в Схг расстояние при помощи формулы РХЫ = ' РР11'( ) Ых)) Легко проверить, что таким образом Схг превращается в метрическое пространство. Последнее означает, что для любого е > О должно существовать такое д > О, что из р(х', хо) < б (4) вытекает РО'( '),У"1хо)) <, каковы бы ни были 7" из Р и т' и хи из Х. (б) Доказательство.
Необходимость доказывается так же, как и в теореме 4. Докажем достаточность. Для этого погрузим Сх к в пространство ЛХхт. всех отобралсений компакта Х в компакт т' с той же самой метрикой рЦ, р) = зпр рЦ(х), д(х)), кех Теорема 7 (обобщенная теорема Арцела). Для пред- компактности множества Р С Сх1. необходимо и достаточно, чтобы входящие в Р функции 7' были равностеленпо непрерывны. Ь и Кривые в метрических ирветринетвих 12б которая была введена в Схк, и докажем предкомпактность множества Р в Мку. Так как Схг за»|кнуто в Мху '), то из предкомпактности множества Р в Мху следует его предкомпактность в Сху.
Зададим е > О произвольно и выберем б так, чтобы из (4) вытекало 15) для всех 2 из Р и всех х', хи из Х. Легко видеть, что Х можно представить как сумму конечного числа непересекающихся множеств Е„таких, що из х', хи б Е„следует р1х',хи) < б. Действительно, для этого достаточно выбрать точки хг,..., хи так, чтобы они образовали бгг2-сеть в Х и положить, например, Е; = Вгх„дгг2) г, О Вгхгб)2), 4<г где В1х„б,г2) шар радиуса бгг2 с центром х,. Рассмотрим теперь в компакте 1' некоторую конечную юсеть Уг,...,гдио и преть А совокУпность фУнкций д1х), пРинимающих на множествах Е, значения ую Число таких функций, .очевидно, конечно.
Покажем, что они образуют 2е-сеть по отношению к Р в Мху, Действительно, пусть у б Р. Для всякой точки хг из Х1,...,Х„НайДЕтСЯ таКаЯ тОЧКа У ИЗ Уг,...,У„„ЧтО Р®жг),У ) < е. ПУсть фУнкциЯ д б Е выбРана так, .что д1хг) = У . Тогда р12гх),д1х)) < рЦ1х),)'(хг)) + р()'(хг),д(хг)) + р1д1х,),д1х)) < 2е, если г выбрано так, что х б Ег. Отсюда вытекает, что конечное множество А действительно есть 2юсеть для Р и, таким образом., Р предкомпактно в Мху, а следовательно, и в Скг . З 8.
Непрерывные кривые в метрических пространствахи) Пусть задано непрерывное отображение Р = Дг) отрезка и ( 1 ( Ь в метрическое пространство Н. Когда г «пробегает» отрезок от а до Ь, соответствугощая точка Р «пробегает» некоторую «непрерывную кривую» в пространстве В. Нам предстоит дать строгие определения, связанные с изложенной сейчас грубой идеей. Порядок, в котором ) Поскольку предел равномерно сходящейся последовательности яепрерыяяык отображений есть также яеирерыяяое отибражвяяе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
