1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пространство 11, в котором элементами служат последовательности чисел [действительных или комплексных) Х = [Х1,.,,,Хп,,.,), удовлетворяющие условию [ха [э < со, п=1 с операциями [Х . Х: . )+Ь1 . й, .)=(Х +й1. Хп+й ) о[х1,...,х„,...) = (ох1,...,ох„,...), является линейным пространством.
Тот факт, что сумма двух последовательностей, удовлетворяющих условию (1), также удовлетворяет этому условию, вытекает из элементарного неравенства [п1-ь аз)з < 2аз + 2пз~. ~) Этот термин будет разъяснен в дальнейшем. Гл. «П. Нормированные и тоиолоеические пространства «зг 5. Сходящиеся последовательности т = (ты та,...) с покоординатными операциями сложения и умножения на числа образуют линейное пространство.
Обозначим его с. 6. Последовательности, сходящиеся к О, с теми же операциями сложения и умножения, также образуют линейное пространство. Обозначим его св. 7. Совокупность пл всех ограниченных числовых последовательностей с теми же операциями сложения и умножения на числа, что и в примерах 4 — 6, тоже представляет собой линейное пространство. 8. Наконец, совокупность 2 всевозможных числовых последовательностей с теми же самыми операциями сложения и умножения на числа, что и в примерах 4. 7, тоже является линейным пространством. Поскольку свойства линейного пространства. - - это свойства операций слои«ения элементов и умножения их на числа, естественно ввести следующее определение.
Определение 2. Линейные пространства 1, и 1* называются изоморфными, если между их алел«ентами можно установить взаимно однозначное соответствие, .которое согласовано с операциями в Е и А'. Это означает, что из х«>т, у«чу (т, у Е Е; т', у* Е Ь*) следует «л «лт «э ат' 1а произвольное число). Изоморфные пространства люжно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства. Примерами изоморфных линейных пространств могут служить арифметическое и-мерное пространство (действительное или комплексное) и пространство всех многочленов степени < п — 1 (соответственно с действительными или комплексными коэффициентами) с обычными операциями сложения многочленов и ул«ножения их на числа 1докажите изоморфность!).
2. Линейная зависимость. Элементы я, у,...,т линейного пространства Ь называются линейно зависимыми, если существу.— ют такие числа а, Д,..., Л, не все равные О, что (2) ая + Ду +... + Лю = О. 1 П Линейные нйаатранмааа 1ЗЗ В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Иначе говоря, элементы х, у,..., ш линейно независимы, если из равенства (2) вытекает, что о = 13 =... = Л = О. Бесконечная система элементов х,,у,... пространства 1, называется лннейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.
Если в пространстве 1, можно найти 11 линейно независимых элементов, а любые п + 1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что пространспьо 1, имеет размерность п. Если же в 1 можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство 1 бескомечномеуно. Базисом в и-мерном пространстве А называется любая система из п линейно независимых элементов. Пространства К" в действительном случае и С" в комплексном имеют, как легко проверитгч размерность и, оправдывая тем самым свое название.
В курсе линейной алгебры рассматриваются линейные пространства конечной размерности. Наоборот, мы, как правило, будем запиматься пространствами бесконечного числа измерений, представляющими основной интерес с точки зрения анализа. Мы предоставляем читателю проверить, что каждое из пространств, указанных в примерах 3 — 8, имеет бесконечную размерность. 3. Подпространства. Непустое подмножество Ь' линейного пространства А называется подпросг11ранством, если оно само образует линейное пространство по отношению к определенным в А операциям сложения и умножения на число. Иначе говоря, А' С 1, есть подпространство, если из х Е 1,', у Е 1' следует, что ох + 13у Е 1,' при любых о и Д. Во всяком линейном пространстве Б имеется подпространство, состоящее из одного нуля, нулевое подпространство. С другой стороны, все 1, можно рассматривать как свое подпространство.
Подпространство, отличнос от Б и содержащее хотя бы один ненулевой элеменщ называется собственньам. Приведем примеры собственных подпространств. 1. Пусть Б какое-либо линейное пространство и х некоторый его ненулевой элемент. Совокупность элементов (Лх1, где Л пробегает все числа (соответственно действительные или комплексные), образует, очевидно, одномерное подпространство. Оно является собственным, если размерность 1, больше 1. 2. Рассмотрим пространство непрерывных функций С[а, Ь~ (пример 3 п. 1) и в нем совокупность всех многочленов Р~а. Ь]. Ясно, что многочлены образуют в С~а, Ь~ подпространство (имеющее, как Гл.
1П. Нормнровиннъ~е и топплогпческне просщрангпгга и все С(а, Ь], бесконечную размерность). В то же время само пространство С(а, Ь] можно рассматривать как подпространство более обширного пространства всех, непрерывных н разрывных, функций на ]а, Ь]. 3. Рассмотрим, наконец, пространства 1г,се,с,т и В (примеры 4 — 8 и.
1). Каждое из них является собственным подпрострапством последующего. Пусть (х ) произвольное непустое множество элементов линейного пространства Е. Тогда в Е существует наименьшее подпространство (быть может, совпадающее с Е), которое содержит (х ). Действительно, по крайней мере одно подпространство, содержащее (х ), в А существует: это все Х. Далее ясно, что пересечение любогв множества (Е,) надпространств есть снова надпространство. В самом деле, если Т* = () 1., и х,у б Х*, то и ох+ Ггу б Ь* при н всех о, 13. Возьмем теперь все нодпрострапства, содержащие систему векторов (х„), и рассмотрнъг их пересечение. Это и будет наименьшее подпространство, содержащее систему (х ). Такое минимальное надпространство мы назовем нвдпрвстранстввм, пврозюденнъгм лгнвоюестввм х„, или линейной оболочкой .иножеслва (х„).
Х1ы бу.— дем обозначать это подпространство Л((х )). Упражнение. Линейно независимая система (х ) элементов линейного пространства А называется базисом Гамелл, если ее линейная оболочка совпадает с б. Доказать следующие утверждения: Ц В каждом линейном пространстве существует базис Гаме тя.
Указание. Использовать лемму Церна. 2) Если (х ) базис Гаме.чя в б, то каждый вектор х б А единственным образом представляется в виде конечной линейной комбннапии некоторых векторов системы (х„). 3) Любые два базиса Гампля в линейном пространстве равномощны; мощность базиса Гамеля линейного пространства иногда называют алгебраической уагмгрнощпъю этогв пространства. 4) Линейные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую алгебраическую размерность. 4. Фактор-пространства. Пусть Т линейное пространство, и А' некоторое его подпространство.
Скажем, что два элемента х и у из Т, зквив ленпгнм, если их разность х — у принадлежит А'. Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. определяет разбиение всех х б Е на классы. Класс эквивалентных элементов называется классом смежности (по подпространству х,'). Совокупность всех таких классов мы назовем фактор-пространством Т, по Е' и обозначим Л/А'.
1 Ь Линеанме аространсктва В любом фактор-пространстве, естественно, вводятся операции сложения и умножения на числа. Именно, пусть ( и у два класса, представляк1щих собой элементы из А/Т'. Выберем в каждом из этих классов по представителю, скажем, х и у соответственно, и назовем суммой классов ( и у тот класс, который содержит элемент х+у, а произведением класса ( на число о тот класс (, который содержит элемент ох. Легко проверить, что результат не изменится от замены представителей х и у какими-либо другими представителями х' и у' тех же классов ( и йс Таким образом, мы действительно определили линейные операции над элементами фактор- пространства й/1.'.
Непосредственная проверка показывает, что эти операции удовлетворяют всем требованиям, содержащимся в определении линейного пространства (проведите эту проверку!). Иначе говоря, каждое фактор-пространстоо 1 ) 1,' (с теми операциями сложения и уьшожения на числа, которые мы сейчас в нем определили) представляет собой линейное г1ространсгпво. Если Ь --. пространство п измерений, а его подпространство Ь' имеет размерность Й, то фактор-пространство 1,/А' имеет размерность и — Й (докажите зто!). Пусть Ь . - произвольное линейное пространство и 1' - некоторое его подпространство.
Размерность фактор-пространства Ь/1,' называется коразмерностью надпространства 1,' в пространстве Ь. Если подпространство Ь' С А имеет конечную коразмерность и, то в 1 можно выбрать элементы х1,..., х„так, что всякий элемент х Е 1, будет (однозначно) представим в виде Х = О1Х1 +... + ааХ„+ У, где о1,...,о„- числа и у е ь'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
