1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть Ь вЂ” линейное пространство. Одно- родно-выпуклый функционал р, определенный на Ь, называется нор,мой, если он удовлетворяет следующим дополнительным усло- виям (помимо выпуклости): 1) р(х) = 0 только при х = 0 2) Р(ох) = ~о~р(х) для всех о.
Таким образом, вспоминая определения из п. 2 0' 2, мы можем сказать, что нормой в Ь называется функционал, удовлетворяющий следующим трем условиям: 1) р(х) > О, причем Р(х) = 0 только при х = О, 2) р(х + р) < р(х) + Р(р), х,д Е Е, 3) р(ох) = ~о~р(х), каково бы ни было число о. 1 3. Нормированные ироетранетва 151 Определение 2. Линейное пространство Ь, в котором задана некоторая норма, мы назовем нормированным пространством. Норму элемента х Е А мы будем обозначать символом 5хй. Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести в нем расстояние Справедливость аксиом метрического пространства тотчас же вытекает из свойств 1) -3) нормы.
На нормированные пространства переносятся, таким образом, все те понятия и факты, которые были изложены в гл. П для метрических пространств. Полное нормированное пространство называется банахввым пространством или, короче, В-пространством. Примеры нормированных пространств. Многие из пространств, рассматривавшихся в гл. П в качестве примеров метрических (а в З 1 данной главы линейных) пространств, в действительности могут быть наделены естественной структурой нормированного пространства.
1. Прямая линия К становится нормированным пространством, если для всякого числа х Е К положить йх~~ = 1х~. 2. Если в действительном п-леерном пространстве К" с элементами т = (хы., ., т„) положить и 1=1 то все аксиомы нормы будут выполнены. Формула и р(х,р) = йх — 1А = 'у (х„— у )з определяет в Б'.и ту самую метрику, которую мы в этоле пространстве уже рассматривали. В этом же линейном пространстве можно ввести норму (2) или норму йхй, = шах (хл!.
(3) 1<в<и Эти нормы определяют в Ки метрики, которые мы рассматривали в примерах 4 и б п. 1 5 1 гл. П. Проверка того, что в каждом из этих Гл. !Н. Нормированные и топологические пространства >о2 случаев аксиомы нормы действительно выполнены, не составляет труда. В комплексном и-мерном пространстве С" можно ввести норму н [И[ = ~ ~хаР, а=1 или любую из норм (2) или (3). 3. В пространстве С[а, Ь[ непрерывных функций на отрезке [а, Ь[ определим норму формулой (4) [(Д = шах (Дг)[.
а<1<а Соответствуи>щее расстояние уже рассматривалось в примере 6 и. 1 Ь' 1 гл. П. 4. Пусть т ". пространство ограниченных числовых последовательностей х = (х>,..., хн,... ). Положим (5) 'йх[! = зпр [х„!. Условия 1) — 3) определения нормы здесь, очевидно, выполнены. Х!етрика, которая индуцируется в т этой нормой, совпадает с той, которую мы уже рассматривали (пример 9 п. 1 З 1 гл.
П), 2. Подпространства нормированного пространства. У1ы определили подпространство линейного пространства А (пе снабженного какой-либо топологией) как непустое множество Ео, обладающее тем свойством, что если х, у Е 1о, то ах + 1>у б Ло. В нормированном пространстве основной интерес представляют замкнутгие линейные подпространства, т.
е. полпространства, содержащие все свои предельные точки. В конечномеряом нормированном пространстве всякое подпространство автоматически замкнуто (докажите это!). В бесконечномерном случае это не так. Например, в пространстве С[а, Ь) непрерывных фушсций с нормой (4) мпогочлспы образун>т подпространство, но не замкнутое '). Другой пример: в пространстве >в ограниченных последовательностей последовательности, содержащие лишь конечное число отличных от нуля членов, образуют подпространство. Однако оно не замкнуто по норме (5): в его замыкании содержится, например, последовательность (1,1/2,..., 1/п,...).
) В силу теоремы Вейерщтрасса, гласящей, что всякая непрерывная функдия на отрезке есть предел равномерно сходящейся последовательности много- членов, замыкание подпространства многочленов в С(а, Ь) есть все С(а, Ь). 1 3. Нормированные пространства 153 Как правило, мы будем рассматривать только замкнутые подпространства, поэтому естественно изменить терминологию, которая была установлена в 3 1. Подпроетранстоом нормированного пространства мы будем называть теперь только замкнутое подгйюстранство: в частности, подпространством, порожденным данной системой элементов ~яо), мы будем называть наименьшее замкнутое подпространство, содержащее 1я ). Мы будем говорить о пем, как о лиаейном замыкании системы 1л ).
Совокупность элементов (не обязательно замкнутую), .содержащую вместе с я и у их произвольную линейную комбинацию о е+ др, будем называть линейным многообразием. Систему элементов, лежащую в нормированном пространстве Е, мы будем называть полной, если порожденное ею 1замкнутое!) подпространство есть все Е. Например, в силу теоремы Вейерштрасса совокупность всех функций 1,1, Гз,..., Р',... полна в пространстве непрерывных функций С~а, О~. 3. Фактор-пространства нормированного пространства.
Пусть  — . нормированное пространство и М .- - некоторое его подпространство. Рассмотрим фактор-пространство Р = ХсХЛХ. В соответствии со сказанным в п.4 3 1 этой главы Р есть линейное пространство. Определим в нем норму, положив для каждого класса смежности 1~6=1пХЫ (6) Покажем, что при этом выполнены сформулированные в п. 1 аксиомы нормированного пространства. Ясно, что всегда ~Щ > О. Если ~о нулевой элемент фактор-пространства Р (т.е. ~о совпадает с подпространством ЛХ), то в качестве я 6 ~о можно взять нуль пространства Л, и тогда получаем, что Цо(! = О. Обратно, если )Ц = О, то из определения нормы (6) следует существование в классе ~ последовательности, сходящейся к нулю. Но так как ЛХ замкнуто, то замкнут и каждый класс смежности, значит, О Е ~, а это означает, что ~ = ЛХ, т.е.
~ есть нулевой элемент в Р. Итак, )ф! > О и )ф( = О лишь тогда, когда ~ ..- нуль пространства Р. Далее, для всякого х е Хг и всякого о имеем ~! !~=И Ы Беря в обеих частях этого равенства нижнюю грань по х 6 ~, полу- !)стЦ = (о! . )Щ. Наконец, пусть (, О 6 Р и я 6 (, р Е 11. Тогда ~~~+ ~Я < !)я+ у!) < ))х()+ )(д)!. Гл. ЛП. Нормированные и гпополоеииеские пространства 154 Беря в правой части этого неравенства нижнюю грань по всем х Е С, у б «1, получаем, что 1К+«Я<Ы!+Ы Итак, все аксиомы нормированного пространства для Р выполнены.
Покажем тенер«и что если В полно, то и Р = Вл«ЛХ полно. Действительно, согласно ЛбЛ для каждого С Е ЛзгИ найдется такой элемент х Е ~, что Ы1 > —,1~~*~! Пусть 14„1 фундаментальная последовательность в Р. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что ряд ~Ы-з — И п=.« сходится. Добавив к 1сп1 еще со --. нулевой элемент пространства Р, выберем хп Е впал — ~„(п = О, 1, 2,... ) так, что еп~~ г 2~~ шп' Тогда РЯд 2 ))хпй сходитсЯ, а значит., в силУ полноты пРостРанп=о сс ства В сходится и ряд 2" х„. Положив:г = 2 тп и обозначив через п=о п=о и — 1 4 класс, содержащий х, получим (поскольку 2 хл 6 41 при каждом зл) гг Ц вЂ” 4„((<(х — ~ хл( — «О при и — «ж, 1*=О т.
е. 4 = 1лш Сш. Итак: фин«пор-пространен«во банахова пространен«на по любому его (.замкнутому) нодпросплранству есть банахово пространсгпво. Упражнения, 1. Пусть й банахово пространство, Вг д Вз з ... д З В Э ... пес:гедовательлзость вложенных замкнутых шаров в нем. Докажите, что она имеет непустое пересечение Лне предполагается, что радиусы этих шаров стремятся к Рб ср. с упражнением 3 и.
2, 3 3, гл. П). Приведите пример последовательности вложенных пепустых ограниченных замкнутых выпуклых множеств в некотором В-пространствег имезоших пустое пересечение. 2. Пусть В бесконечномерпое В-пространство; тогда его алгебраическая размерность Лсм. упражнение ЗЗ,п. 3 3 Ц несчетна. 3. Пусть Н -- линейное нормированное пространство; доказать справедливость следуюшнх утверждений: Ц всякое конечномерное линейное многообразие в Н замкнуто; 1 4. Евклидова пространства 2) сели М надпространство, а М конечномерное надпространство в Л, то их сумма МтМ=)х:х=у~-з, уеИ, зев) замкнута: привести пример двух (замкнутых) линейных подпространств в Ьл сумма которых не замкнута; 3) пусть Я открытое выпуклое множество в Л, и пусть хе 4 Я; тогда существует гнперплоскость, проходящая через точку ха н не пересекающая Я. 4.
Две нормы> )! )(~ н )( цэ, в линейном пространстве Л называются зкеив леищныхга, если существуют такие постоянные а,Ь > О, что азх()~ ~ <'зхзз <~ Ь!(х)(т, для всех т е Л. Доказать, что если пространство Л конечномерно, то любые две нормы в нем эквивалентны. 2 4. Евклндовы пространства 1. Определение евклидовых пространств. Один из хорошо известных способов введения нормы в линейном пространстве это задание в нем скалярного произведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
