1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2. Доказать., что в нолном евклидовом пространстве (не обязатеяаьно сепарабельном) всякая последовательность ненустых вложенных выпуклых замкнутых ограниченных множеств имеет ненустое пересечение 1ср. с упражнениями я. 2 1 3 гл. П я я. 3 3 3 отой главы). 4. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Выбрав в п-мерном евклидовом пространстве ортогональный нормированный базис с1,..., с„, можно каждый вектор х Е Кв записать в виде и х = ~~~ сьев, 1=1 (10) где са = (х,е1,-). (11) Действительно, пусть арз,...,ы„,... счетное всюду плотное множество в зт. Выберем из него полную систему линейно независимых элементов 11а). ДлЯ этого достаточно из последовательности 1а11а) исключить все те элементы фа, кажДый из котоРых может быть представлен как линейная комбинация ий с 1 ( 1ч Применив к полученной таким образом полной системе линейно независимых элементов процесс ортогоналнзацни, мы и построим ортогональный нормированный базис.
162 Гл. П1. Нормигооаипме и тополоеииеспие пространстоа Выясним, как обобщить разложение (10) на случай евклидова бес- конечномерного пространства. Пусть (12) 1Р1,. ~'Рп, . и Яи еи ~п,ра (15) 1=1 было минимальным. Вычислим это расстояние. Так как система (12) ортогональна и нормирована, то и и '61 — о'„'ц = (У вЂ” ~ о. р,) — ~ о р.) = Ь=1 ьи1 и П п = (1,Д вЂ” 2(~,~~1 оь1рь) + (~ оь1ры~ оэр ) = 1=1 Ь=1 1=1 и П и П = ٠— 2~~~ 111сь+ ~~ от~ — — )Л вЂ” ~~~ сь + Я(оь — сь) .
Ь=1 1=1 1=1 1=1 Ясно, что минимум этого выражения достигается тогда, когда последнее слагаемое равно О,т.е.при (16) оь=сы 1=1,... В этом случае п !)~ — о„'цз = ()Д~ — ~~1 сь. Ьи1 (17) —. ортогональная нормированная система в евклидовом пространстве В и 1 произвольный элемент нз Л. Сопоставим элементу ,? е В последовательность чисел сь = 11", рь), й = 1, 2,...; (13) числа са мы будем называть коордпнптами, илн коэффициентами Фурье элемента 1 по системе 1рь), и ряд (пока формальный) ~ се Зов (14) который мы назовем рядом Фурье элемента ?' по системе 11р„). Естественно возникает вопрос: сходится ли ряд (14), .т.
е, стремится ли последовательность его частичных сумм (в смысле метрики пространства 1?) к какому-либо пределу, и если он сходится, то совпадает ли его сумма с исходным элементом 12 Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим предварительно следующую задачу: при заданном и подобрать коэффициенты оь (к = 1,..., п) так, чтобы расстояние между 1 и суммой 1 4. Евхзиамм вростривсгзва ьзз Мы показали, что среди всех сумм вида (15) при данном и наил~енее уклоняется от 1 частичная сумма ряда Фурье элемента 7'.
Геометрически этот результат можно пояснить следующим образом. Элемент ортогонален всем линейным комбинациям вида ~'. дьчъ, т. е, ортогопален подпространству, порожденному элементами ~ры... ..., у„, в том и только том случае, когда выполняется условие 116) (проверьте это!). Таким образом, полученный нами резулгп ат пред- ставляет собой обобщение известной теоремы элементарной геомет- рии: длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямук~ или плоскость, меньше, чем длина любой наклонной, проведенной из той же точки. Так как всегда ~(7" — 5„(~з > О, то из равенства (17) следует, что ~сь < ()Д . ь=1 Здесь н произвольно, а правая часть не зависит от и; следовательно, ряд ~ сз сходится и ь=1 ~сь < ()Д .
(18) ь=1 Это неравенство называется неравенством Бесселя. Геометрически оно означает,что сумма квадратов проекций вектора 1 на взаимно ортогональные напранления не превосходит квадрата длины самого вектора 7. Введем следующее важное понятие. Определение 1.
Ортогональная нормированная система (12) называется зимкнрщой, если для любого 7' Е Л справедливо равенство (19) сь — — ()Д, й — 1 называемое равенством Парсевиля. Из тождества (17) следует. что замкнутость системы (12) равносильна тому, что для каждого 7 Е В частичные суммы ряда Фурье си~Р„схоДЯтсЯ к 7'. а=1 Гл. !П. Нормированные и тополоеииеские пространен!ва 164 Понятие замкнутости ортогональной нормированной системы тесно связано с введенным выше понятием полноты системы. 'т сор ем а 2. В сепарабельном евклидовом пространс:тве Х всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой, и обратно. До к аз а тел ьот в о.
Пусть система (!р„) замкнута; тогда, каков бы ни был элемент ! й Л, последовательность частичных сумм его ряда Фурье сходится к т". Это означает, что линейные комбинации элементов системы 1!Рп) всюлУ плотны в Л, т.е. система )!Рп) полна. Обратно, пусть система )р„) полна, т. е. любой элемент у Е Л можно сколь угодно точно аппроксимировать линейной комбинации и ей 2 ое!ео! элементовсистемы 1!рп); частичнаясумма 2, сь1ро ряда ь=! Ь=1 Фурье для 2 дает не менее точную аппроксимацию. Следовательно, ряд 2 с!сов сходится к г, и равенство Парсеваля имеет место.
А=.1 В предыдущем пункте мы доказали существование полных ортогональных нормированных систем в сепарабепьнор! евклидовом пространстве. Поскольку для ортогональных нормированных систем понятия замкнутости и полноты совпадают, существование замкнутых ортогональных систем в Л не нуждается в новом доказательстве, а приведенные в предыдущем пункте примеры полных ортогональных нормированных систем являются в то же время примерами замкнутых систем. Выше мы все время предполагали рассматриваемые ортогональные системы нормированными. Можно переформулировать понятия коэффициентов Фурье, ряда Фурье и т.д.
и для любых ортогональных систем. Пусть (!рп) произвольная ортогональная система. По ней можно построить нормированную систему, состоящую из элементов срп = ~рпД!р„,(~, Для любого г' Е Х имеем с = 1У", !!!и) = — (~, !Р„), С„ф„= ~~! — а!Со„= ~ ~ап!Еоп, !!ч~.1~ и=! и.=1 о,=1 где с. У, р-) (20) Ь-~! 1!з' ~!' Коэффициенты ап, определяемые формулой (20), мы назовем коэффициентами Фурье элемента ! по ортогональной (ненормирован- ной) системе ~д„). Г1одставив в неравенство (18) вместо с их выражения с„= а„)~р„~~ из (20), получаем (21) — неравенство Бесселя для произвольной ортогональной системы.
5. Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса— Фишера. Начиная с и. 3 мы рассматривали сепарабельные евклидовы пространства; с этого момен"га мы будем, кроме того, предполагать, что рассматриваемые пространства полны. Итак, пусть В - - полное сепарабельное евклидово пространство и (р ) некоторая ортогональная нормированная система в нем (не обязательно полная). Из неравенства Бесселя следует, что для того, чтобы числа с1 ....., с„,...
служили коэффициентами Фурье какого-либо элемента 1 Е Л, необходимо, чтобы ряд с„ сходился. Оказывается, что в полном пространстве это условие не только необходимо, но и достаточно. Именно, справедлива следующая теорема. Теорема 3 (Рисе — Фишер). Пусть ~р„) произвольная ортогональная нормированн л система в полном евклндовом пространстве Л, и пусть числа сы...,с„, таковы, что ряд (22) ь=1 сходится. Тогда суздествует такой элемент 1 Е Л, что Доказательство.
Положим ~„= Яс.л ь=1 166 Гл. ~1. Нормированные и тпополоеинесние простпранстпва Тогда и-' р 0 1п-~-р 1п 6 еспьт зопт1 + . + сттертктт;р 6 й=п-71 Так как ряд 122) сходится, то отсюда в силу полноты Л вытекает сходимость последовательности )уп) к некоторому элементу у Е Л. Далее О' 'Р ) = 17'.
'Рт) + 17' — 1 'Рт) (23) причем справа первое слагаемое при н, ) 1 равно с„а второе стремится к нулю ири и, -7 оот так как ИУ вЂ” У., Р)! ~ !!У вЂ”.7' 1! !!К!! Левая часть равенства (23) от и ве зависит", поэтому, переходя в нем к пределу при и -+ сют получаем, что (у,тр,) = с,. Так как, по определению ), '6 7 — зтт(6 — 7 О при 71 — + со, то ~ сг — — (У', ~). Ь=1 Действительно, и, и и (~ — ~ сь рь, ) — ~ сь<рг) = 1у, Г) — ~ се — 7 О тт= 1 1=1 В=1 при и — > со.
Установим в заключение следующую полезную теорему. Теорема 4. Для тоге> чтобы ортогональная нормированная система )т77„) в полном сеиарабельиом евклидовом пространстне была полна, необходимо и достаточно, чтоб>ы в В ие сушествонало ненулевого элемента, оРтогонального всем элементам системы 177777).
Доказательство. Пусть система )тр„) полна и, следовательно, замкнута. Если у ортогонален всем элементам системы (тто„), то все его коэффициенты Фурье равны нулю. Тогда из равенства Парсеваля получаем т. е. у = О. З 4. Еввввдввм прввгвриявтва 167 Обратно, пусть система (9вв) не полна. Тогда в Л существует такой элемент д ф О, что (д,д) > ~~ сь, где сь = (д,921). 9=1 На основании теоремы Рисса Фишера существует такой элемент 1ЕН что ф9вь) = сы 0,1) = ~~ сь. 1=1 Элемент у — д ортогонален всем 9в,. Из неравенства (1', 1) = ~ сг < (д, д) Ь=.1 следует, что 1 — д ф О. Упражнения.
1. Пусть Н -- полное евклндово пространство (не обязательно сепарабельное); тогда в нем существует полная ортогональная нормированная система (у ) (см. упражнение 1 в п. 3). Доказать, что для всякого вектора 1 Е Н справедливы разложения где в суммах, стоящих справа, имеется не более счетного числа отличных от О слагаемых. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
