1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Система (ьвь) векторов евклидова пространства Н называется твтальнвб, еглн в Л не существует отличных от О векторов, ортогональных ко всем 1в . Теорема 4 означает, что в полном евклндовом пространстве тотальность системы векторов эквивалентна ее полноте. Показать, что в неполных пространствах могут существовать тотальные,но неполные системы. 6.
Гильбертово пространство. Теорема об изоморфизме. Продолжим рассмотрение полных евклидовых пространств. При этом нас, как и до сих пор, будут интересовать бесконечномерные пространства, а не конечномерные, исчерпывающее описание которых дается в курсах линейной алгебры. По-прежнему мы, как правило, будем предполагать наличие в рассматриваемых пространствах счетного всюду плотного множества. Введем слелующее определение. Определение 2.
Полное евклндово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертооым иространсгпвом1). ') По имени знаменитого яемедкого математика Д. Гвльберта (1862 — 1943), который ввЕл Этв пОнятиЕ. 168 Гл. |йс Нормированные и тополоеииесаие пространства Таким образом, гильбертоным пространством называется совокупность Н элементов 1, д,...
произвольной природы, удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам). 1. Н есть евклидова пространство 1т.е. линейное пространство с заданным в нем скалярным произведением). П. Пространство Н полно в смысле метрики р(1, д) = 61 — дз. П1. Пространство Н бесконечномерно, т.е.
в нем для любого п можно найти и лннейно независимых элементов. Чаще всего рассматривак|гся сепарабельные гильбертовы пространства., т. е. пространства, удовлетворяющие еще одной аксиоме. 1«'. Н сепарабельно, т.е. в нем существует счетное всюду плотное множество.
Примером сепарабельного гильбертова пространства может служить действительное пространство 1т. В дальнейшем мы будем рассматривать только сепарабельный случай. Аналогично определению 2 из 8 1 два евклидовых пространства, Л и Л', называются изоморфнь«леи, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если х «-» х*, х <-> д*, х, д й Л; х*, д" й Л*, то х+д еэ х'+у', ох «э ох' (х, д) = 1х*, д').
Иначе говоря, изоморфизм евклидовых пространств †. это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее как линейные операции, определенные в этих пространствах, так и скалярное произведение. Как известно, любые два п-мерных свклидовых пространства изоморфны между собой и, следовательно, каждое такое пространство изоморфно арифметическому пространству 2" (пример 1, и. 2).
Евклидовы пространства бесконечного числа измерений не обязательно изоморфны друг другу. Например, пространства 1о и Са [а, 6) между собой не изоморфны. Это видно, например, из того, что первое из них полно, а второе нет. З 4. Евклидовы вроыправгтвв 169 Однако имеет место следующий факт. Т е о р е м а 5. Любые два сепарабельных гильбертовых пространства пзоь!орфвы между собой. Доказательство. Покажем, что каждое гильбертово пространство Н изоморфно пространству 19. Тем самым будет доказано утверждение теоремы. Выберем в Н произвольную полную ортогональную нормированную систему (у„) и поставим в соответствие элементУ 1" б Н совокУпность ! 1,..., сь,...
его коэффициентов ФУ- рье по этой системе. Так как 2 с~~ ( оо, то последовательность й=! (с1,...,с„,...) есть некоторый элемент из 19. Обратно, в силу теоремы Рисса — Фишера всякому элементу (г1,..., с„... ) из 19 отвечает некоторый элемент 1" б Н, имеющий числа с1,..., с„,... своими коэффициентами Фурье. Установленное соответствие между элементами из Н в 19 взаимно однозначно. Далее, если у ~-> (с1,...,с„,...), д+! (!!1,...,!4,...), то У + д е! (с1 + !11,..., с + дю... ), юг <-> (ас1,...,ас„,...), т.е, сумма переходит в сумму, а произведение на число — в произведение соответствующего элемента на это же число. Наконец., из равенства Парсеваля следует,что (г,д) = т с„,!1„.
(24) в=- ! Действительно,из того, что (1,1) = ~~! с„, (д,д) = ~! д„, ь=! ь=! (! +д,! +д) = ((,!) +2(т,д) + (д,д) = = ~ (г„+ д„)' = ~ с,'; + 2 ~ с„б„+ ~ б'„ ь=.! ь=! в=- ! ь=! вытекает (24). Таким образом, установленное нами соответствие между элементами пространств Н и 19 действительно является изоморфизмом.
170 Гл. 1П. Норлсировиннъ~е и топологичесние пространспева Доказанная теорема означает, что, с точностью до изоморфизма, существует л и ш ь о д н о (сепарабельпое) гильбертово пространство (т.е. система аксиом 1 — 1й полна) и что пространство 1з можно рассматривать как его «координатную реализацию», подобно тому как и-мерное арифметическое пространство со скалярным произ- и ведением 2 х,де пРедставлЯет собой кооРдинатнУю Реализацию ев1=1 клидова пространства и измерений, задагшого аксиоматически.
Другую реализацию гильбертова пространства можно получить, взяв функциональное пространство Се[а, 6[ и рассмотрев его пополнение. Действительно, легко проверить, что пополнение Н" всякого евклидова пространства Л (в том смысле, как мы определили пополнение метрического пространства в з 3 гл. П) становится линейным евклидовым пространством, если в нем определить линейные операции и скалярное произведение, продолжая их по непрерывности с пространства Л., т.е.
полагая Х+ У = 1Ш1 (Хп + Уп), ПХ = 11Ш ОХп, и — есо и 'оо [х,у) = 1пп (х„,уп), где хп — л х и уп — л у, хп, уп е Л. (Существование всех этих пределов и их независимость от выбора последовательностей (хп) и (уп) легко устанавливается.) Тогда пополнение пространства Се[а, о[ будет полным евклидовым пространством, очевидно, бесконечномерным и сепарабельным, т.
е. гильбертовым пространством. В главе ЪП мы вернемся к этому вопросу и покажем, что те элементы, которые нужно присоединить к Сз[а, 6[, чтобы получить полное пространство, тоже можно представить как функции, но только уже не непрерывные (а именно, как функпии, квадрат которых суммируем в смысле Лебега). 7. Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма. В соответствии с общими определениями з 3 линейным многообрагиелс в гильбертовом пространстве Н мы назовем такую совокупность А элементов из Н, что если 7', д Е А, топ)+13д Е А для любых чисел о и о. Замкнутое линейное многообразие называется подпроешрансшоом.
Приведем некоторые примеры надпространств гильбертова пространства. 1. Пусть 6 произвольный элемент из Н. Совокупность всех элементов 1 Е Н, ортогональпых к 6, образует в Н подпространство. 2. Пусть Н реализовано как 17, т. е. его элементы суть такие последовательности [х1,..., х„,... ) чисел, что 2 х- ( оо. Элементы, л подчиненные условию х1 = х, образуют надпространство.
1 4. Квввидовм вооотровотво 171 3. Пусть снова Х реализовано как пространство 17. Элементы х = (лы...,т„,...), у которых я„= О при п = 2,4,6,... (и хв произвольны при п = 1, 3, 5,... ), образуют надпространство. Читателю рекомендуется проверить, что указанные в примерах 1-3 совокупности векторов действительно являются подпространствами. Всякое надпространство гильбертова пространства либо является конечномерным евклидовым пространством, либо само представляет собой гильбертово пространство.
Действительно, справедливость аксиом 1-П1 для каждого такого надпространства очевидна, а справедливость аксиомы 1Ъ вытекает из следующей леммы. Д е м м а. Дкобое подмножество Н' сепарабельного метрического пространства Н само сепарвбельно. Доказательство. Пусть б, .,1в, --- счетное всюду плотное множество в Н и а„= 1пХ Р(~о,77). вел' ДлЯ любых натУРальных п и т найДетсЯ такаЯ точка 77в Е Н', что р(~,ой„) < а„+ 1/ьь Пусть е ) О и 1/га < е/3; для любого 77 6 Н' найдется такое и, что Р(~о,77) < Е/3 И, СЛЕДОВатЕЛЬНО, рЯ~в, йв ) < а„+ 1/ка < е/3+ е/3 = 2е/3; НО тОГДа Р(77,77„т) < Е, т.
Е. ПЕ бОЛЕЕ ЧЕМ СЧЕТНОЕ МНОжЕСтВО (77„ (и, тп = 1,2,...) всюду плотно в Н'. Подпространства гильбертова пространства обладают некоторыми специальными свойствами (не имеющими места для надпространств произвольного нормированного пространства). Эти свойства связаны с наличием в гильбертовом пространстве скалярного произведения и основанного ца пгм попятив ортогопалыюсти.
Применив процесс ортогонализации к какой-либо счетной всюду плотной последовательности элементов произвольного надпространства гильбертова пространства, получаем следующую теорему. Теорема 6. В каждом подпространстве. М пространства Н содержится ортогональная нормированная система 1~рв), линейное замыкание которой совпадает с ЛХ. Пусть ЛХ надпространство гильбертова пространства Н. Обозначим через М~ =НЭЛХ ыг Гл. Ой Нормированные и тополоеииеспие пространства множество элементов д е Н, ортогональных ко всем элементам Х Е ЛХ, и докажем, что ЛХ~ тоже есть подпространство пространства Н.
Линейность ЛХ~ очевидна, так как из (ды Х) = (дг, Х) = О вытекает 1овдв + о дг, Х) = О. Для доказательства замкнутости допустим, что элементы дп принадлежат ЛХз- н сходятся к д. Тогда для любо~о Х е М (д, Х) = 1пп (д„, Х) = О, и потому д тоже входит в Мз.. Подпространство ЛХ~ называется ортогональным дополнением подпространства М. Из теоремы 6 легко получается следующая теорема. Теорема 7. Если ЛХ (замкнутое1) линейное подпространство пространства Н, то любой элемент Х е Н единственным образом представим в виде Х = 6+ 6', где 6 Е ЛХ и 6' Е ЛХ~. Доказательство. Докажем сначала существование такого разложения. Для этого найдем в М полную ортогональную нормированную систему )уоп) и положим 6 = ~, сп'Рп сп = Т уз в и п=в Так как (по неравенству Бесселя) ряд Л сг сходится, то элемент 6 п=1 существует и принадлежит М.
Положим 6'= Х вЂ” 6. Очевидно, что для всех п (6', ув„) = О и, поскольку произвольный элемент ~ из ЛХ представим в виде потоп п=1 имеем (6~, Д = ~ а„16,ув„) = О, Р (61 воп) = откуда следует, что 61 =6,. 6', = 6'. Из теоремы 7 вытекают некоторые полезные следствия. т. е. Ь' Е ЛХз .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
