1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 39
Текст из файла (страница 39)
а<1<а 0<1<и З "5. Топологичесние линейные пространства 187 В 30-х годах, когда в основном в работах Ванаха была построена теория линейных нормированных пространств, сложилось впечатление,что этот класс пространств достаточно широк для того, чтобы обслуживать все конкретные нужды анализа. Впоследствии, однако, выяснилось,что это не так. Оказалось, что в ряде вопросов важны такие пространства, как пространство бесконечно дифференцируемых функций, пространство всех числовых последовательностей К и другие пространства, в которых естественная для них топология не может быть задана с помощью какой бы тони было нормы.
гакиьс образом, линейные пространства-- топологические, но не нормируемые . — это вовсе не обязательно «экзотика» или «патология». Наоборот, некоторые из этих пространств представляют собой не, менее естественные и важные обобщения конечномерного евклидова пространства,чем, скажем, гильбертово пространство. ГЛАВА ГУ ЛИНЕЙНЫЕ ФЪ'НКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ~ 1.
Непрерывные линейные функционалы 1. Непрерывные линейные функционалы в топологических линейных пространствах. В з 1 гл. П1 мы уже рассматривали функционалы, определенные на линейном пространстве. Если речь идет о функционалах, заданных на топологическом линейном пространстве, то основной интерес представляют н е и р ерывные функционалы; как обычно, функционал |, определенный на пространстве Е, называется непрерывным, если для всякого хо Е Е и для всякого в > О существует такая окрестность 11 элемента хо, что (1) Это определение относится, в частности, и к линейным функционалам. Если Е конечномерное топологическое линейное пространство, то всякий линейный функционал на Е автоматически непрерывен. В общем случае из линейности функционала его непрерывность не вытекает.
Следующее утверждение существенно для дальнейшего, хотя и почти очевидно. Если линейный функционал т" непрерывен в какой-либо одной точке х Е Е, пщ оп непрерывен и всн>ду на .Е. Действителыю, пусть у произвольная точка в Е и пусть ) О. Выберем окростность |Г точки х так, чтобы выполнялось условие (1). Тогда сдвиг втой окрестности Е = О + (у — х) будет искомой окрестностью точки у, так как если г Е Е, то г + т — у Е 11 и, следовательно, ~УФ вЂ” У(у)~ = ~йх — у+ х) — У(х)( < е Таким образом, проверять непрерывность линейного функционала достаточно в одной точке, например, в точке О.
1 1. Иеарерыекые лакеииые функционалы Если Е .. пространство с первой аксиомой счетности, то непрерывность линейного функционала на Е можно сформулировать в терминах последовательностей: функционал 1' называется непрерывным в точке х б Е, если из х„-э х следует у(х„) -+ у(х). Проверка равносильности этого определения непрерывности приведенному выше (при наличии первой аксиомы счетности) предоставляется читатгщю, Теорема 1.
Для тоао чтобы линейный функционал 1" был непрерывен на Е, необходимо и достаточно, чтобы сугнествонааа такая окрестность нуля в Е, на которой' функционал 1" ограничен. Доказательство. Если функционал ( непрерывен в точке О, то для каждого 8 > О существует окрестность нуля, на которой (1'(х)( < щ Обратно, пусть Г -- такая окрестность нуля, .что (у(х)( < С при х б (г, и пусть и > О. Тогда — (1 есть та окрестность нуля, на которой С (((х)( < щ Тем самым доказана непрерывность ( в точке О, а значит, и всюду.
Упражнение. Пусть Е -- топологическое линейное пространство; докажите справедливость следуюн1их утверждений. (а) Линейный функционал )' на Е непрерывен тогда и то.пько тогда, когда существуют такое открытое множество (1 С Е и такое число 1, что 1 ф 1(ГГ), где 1(11) множество значений 1 на ГГ. (б) Линейный функционал 1 на Е непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро (х: 1(х) = 0) замхнуто в Е.
(в) Если всякий линейный функционал на Е непрерывен, то топология в Е совпадает с ядерно-выпуклой топологией (см. упражнение 2 в и. 2 8 5 гл. П1). (г) Если Е бесконечномерно и нормируемо, то на нем существует не непрерывный линейный функционал (воспользуйтесь существованием в Е базиса Гамеля; см. упражнение в п. 3 з 1 гл. П1). (д) Пусть в Е существует опреде.няющая система окрестностей пуля, мощность которой не превосходит алгебраической размерности пространства Е (г. е. мощности базиса Гамаля в Е; см. упражнение в и. 3 8 1 ещ.
П1). Тогда на Е существует не непрерывный линейный функционал. (е) Для того чтобы линейный функционал 1" был непрерывен на Е. необходимо, а в случае, когда Е удовлетворяет первой аксиоме гчетности, и достаточно, чтобы он был ограничен на каждом ограниченном множестве. 2. Линейные функционалы на нормированных пространствах. Пусть рассматриваемое пространство Е нормировано. По теореме 1 всякий непрерывный линейный функционал у ограничен Гл. 1Н. Линейные функционалы и оееераторъ~ 190 в некоторой окрестности нуля. Но в нормированном пространстве всякая окрестность нуля содержит шар и, значит, 1 ограничен на некотором шаре.
В силу линейности функционала это равносильно его ограниченности на любом шаре, в частности, на единичном !!х!! ( 1. Обратно, из ограниченности функционала з" на единичном шаре следует, в силу той же теоремы 1, его непрерывность (ибо внутренность етого шара представляет окрестность нуля). Итак, в нормированном пространстве линейный функционал непрерывен в том и только том случае., когда его значении на единичном шаре ограничены в совокупности.
Пусть з - - непрерывный линейный функционал в нормированном пространстве Е. Число (2) !Л= пр !П )!, ~И~<1 т. е. точную верхнюю грань значений ! Г(х)! на единичнохи шаре пространства Е, мы назовем нормой функционала 1". Отметим следующие почти очевидные свойства !!З !!: 1) !!з !! !з (х)! еФО !!' !! зто сразу следует из того,что для всякого х у. -О !~(х)! /у~ . ~ 2) Для любого х б Е (3) !!1(х)!! ( !!Л !!х!!.
Действительно, если х ф О, то злемент х принадлежит единично!!х!! му шару, следовательно, по определению нормы функционала, откуда следует (3). Если же х — О, то в (3) справа и слева стоят нули. Упражнение. Пусть С ) 0 -- такое число, что (4) !ф(х)! ( С!!х!! при любом х. Доказать, что !!г"!! = шб С, где шу берется по всем С, удо- влетворяющим неравенству.
(4). Рассмотрим примеры линейных функционалов в нормированных пространствах. Ь 1. Непрерывные линейные функционалы 1. Пусть тьь есть и-мерное евклидово пространство и а - - какой- либо фиксированный вектор в нем. Скалярное произнедение 1(х) = (х,а), где х пробегает все В", представляет собой, очевидно, линейный функционал на й'. В силу неравенства Коши. Буняковского [1(х)[ = [(х,а)[ < [[х[[ [[а[[; (5) следовательно, зтот функционал ограничен, а значит, и непрерывен на И".
Из неравенства (5) получаем, что < [[а[[ [[х[[ Так как правая часть зтого пераненства не зависит от х, то зцр < [[а[[, [[х[[ т. е. [[1 [[ < [[а[[. Но положив х = а, получим [ г(а)[ = (а, а) = [[а[[ , т. е. = [[а[[. [1(н)[ 11оэтому [[1[[ = [[а[[. 2. Интег ап р ь 1(х) = Гх(Ь) 11, где х(ь) . -- непрерывная функция на [а, Ь], представляет собой ли- нейный функционал в пространстве С[а, Ь]. Этот функционал огра- ничен, а его норма равна Ь вЂ” а. Действительно, ь [1(х)[ = /)' х(1) Ф, < шак[х(Ь)[(Ь вЂ” и) = [[х[[(Ь вЂ” а), причем при х = сопз1 достигается равенство.
3. Рассмотрим более общий пример. Пусть уе(ь) - фиксирован- ная непрерывная функция на [а, Ь]. Положим для любой функции х(1) Е С[а, Ь] Г( ) = 1 ' (Ь)ььо(1) Ж. Этот функционал линеен. Оп ограничен, так как ь ь [Р(х)[ = ) ~ х(1)йе(1) 11 < [[х[[ ~ [ие(1)[ 11 (6) Я ь В силу линейности и ограниченности он непрерывен.
Из (6) следует оценка его нормы: [[Г[[< /[ре(Ь)[ьй а (Докажите, что на самом деле здесь имеет место точное равенство!) Гл. 1Н. Линейные функционалы и операторе~ 192 4. Рассмотрим в пространстве С[а, Ь) линейный функционал 51 (х) = х(19), уже у.поминавшийся в п. 5 9 1 гл. П1. Его значение на функции х(1) определяется как значение х(1) в данной точке 19. Ясно, что 1х(10)! < Пхи, причем для х = сопв1 имеет место равенство.
Отсюда сразу следует, что норма функционала бее равна 1. 5. В любом евклидовоьи пространстве Х можно определить линейный функционал так же, как и в екл, выбрав некоторый фиксированный элемент а е Х и положив для любого х е Х г'(х) = (х,п). Как и в случае Би, легко проверить, что при этом 'Ог'(! = 'Оа'О. В дальнейшем мы будем рассматривать только непрерывные линейные функционалы, а слово «непрерывный» будем для краткости опускать.
Понятию нормы линейного функционала можно дать с юду юшую наглядную интерпретацию. Мы уже видели (9 1 гл. 1П), что всякому ненулевому линейному функционалу можно сопоставить гиперплоскость ь, определяемую уравнением Найдем расстояние е1 от эгой гиперплоскости до точки О. По опре- делению, 11 = 1п1П,~ 1'ОхО. В силу оценки У( Н < ~!П. ~И~ на гиперплоскости Дх) = 1 будем иметь ух/! > 1ДД и, значит, д > ЦЛ. С другой стороны, в силу определения нормы 1 для любого е > О найдется такой элемент хе, подчиненный условию Д(х,) = 1, что 1 > ('ОУ'Π— е)ух,'9; поэтогиу д= ш1 'ухО < 1( >=1 УЛ Поскольку е > О произвольно., получаем е1 = 1/)Л, 1 К непрерывные лннеаные функционалы шз т.е, норма линейного функционала 7" обратна расстоянию гипер- плоскости 7'(х) = 1 от точки О.
3. Теорема Хана — Банаха в нормированном пространстве. В з 2 гл. Ш мы доказали общую теорему Хана Банаха, согласно которой всякий линейный функционал 1в, определенный на некотором подпространстве Е линейного пространства Е и удовлетворяющий условию ~УО(х)~ < Хо(х) (7) (р ". фиксировашгый однородно-выпуклый функционал на Е), может быть продолжен на все Е с сохранением этого условия. Применительно к нормированным пространствам эту теорему можно сформулировать следующим образом: Лусгпь Е действительное нормированное пространство, Ь его надпространство и 7е ограниченный линенный функционал на Ь. Этот линейный' функционал мвоесет быть продолжен до некоторого линейного функционала 7" на всем пространстве Е бег увеличения нормы, т. е, так, что йгвйна ь йг йне е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
