1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 42
Текст из файла (страница 42)
С Ф1 С Фй С Ф 1 С . С Ф 1 С в которой Ф' = Ф ь при каждом й = О, ~1, ~2,... 6 2. Сопряженное нроеенрвнетво 205 4. Второе сопряженное пространство. Так как непрерывные линейные функционалы на линейном топологическом пространстве Е сами образуют линейное топологическое пространство, сопряженное к Е пространство (Е*, 6), — то можно говорить о пространстве Е** непрерывных линейных функционалов на Е', т.е. о виюром сопряженном к Е и т. д. Заметим, что всякий элемент хо из Е определяет некоторый линейный функционал на Е'. Действительно, положим ,(У) = ~(яо), (5) где ло - - фиксированный элемент из Е, а 2" пробегает все Е*. Равенство (5) ставит в соответствие каждому Г" некоторос число фо,(Г"), т.е.
определяет функционал на Е*. Так как при этом Юео(оЛ + ~дЫ = оЛ(ло) + еда(ко) = офео(Л) + дуоев(Ь), то этот функционал линеен. Далее, всякий такой функционал непрерывен па Е*. В самом деле, пусть е ) О и А .. ограниченное множество в Е, содержащее яо. Рассмотрим в Е' окрестность нуля Г(г, А). По определению Г(е, А), имеем ~феей~ = ~,((ко)~ ( е при ( с П(е, А). Но это означает, что функционал ф„непрерывен в точке О, а следовательно, и на всем простраистве Е'. Мы получили, таким образом, отображение всего пространства Е на некоторое подмножество пространства Е"'. Это отображение, очевидно, линейно.
Такое отображение Е в Е" называется естественпым отпображением пространстоа Е во второе сопряженное. Обозначим его к. Если на Е есть достаточно много линейных функционалов (например, если Е нормировано или хотя бы локально выпукло и отделимо), то зто отображение взаимно однозначно, так как тогда для любых двух различных х', кн б Е существует такой функционал (' е Е', что ((к') ф ((яо), т.е. ф, и фе» -.
различные функционалы на Е*. Если к тому же к(Е) = Е", то (отделимое локально выпуклое) пространство Е называется полурефлексивнмм. В пространстве Е'* (как сопряженном к (Е*, 6)) можно ввести сильную топологию, которую мы обозначим 6*. Если пространство Е полурефлексивноиотображениегс Š— > Е* непрерывно, тоЕназывается рефлексивным пространством. Можно показать, что отображение к ' всегда непрерывно, поэтому если Е рефлексивно, то еетесгпввнное отображение рл Š— э Е*" представляет собой изоморфизм между линейными топологическими пространствами Е и Е** = (Е"*, 6).
Гл. 1П. Линейные финкиианалы и аиератаоры 206 Поскольку мы можем теперь каждый элемент из Е рассматривать еще и как элемент пространства Е**, удооно для значений линейного функционала 7' Е Е' вместо записи Дх) ввести более симметричное обозначение: 2'тх) = О',х). При фиксированном 7' Е Е' мы можем рассматривать (~,х) как функционал на Е, а при фиксированном х . — как функционал на Е* (при этом уже х выступает в роли элемента нз Е*'). Если Е нормированное пространттво (следовательно, нормированы и пространства Е*, Е*' и т.д.), то естественное отобраокение пространства Е в Е"* есть изометрия.
Действительно, пусп х — элемент нз Е. Обозначим его норму в Е символом 6х6, а норму его образа в Е" символом 6х62. Покажем, что ((х)( = ))х()2. Пусть 7" произвольный ненулевой элемент из Е*. )(~,х)! ( )Я '6х)(, т.е. ((х)( > и, поскольку левая часть последнего неравенства не зависит от 7, !И! > тр ~~~~~ =~И! НХ хН С друтой стороны (следствие 4 теоремы Хана — Папаха для нормироващтых пространств), для каждого хо Е Е найдется такой ненулевой линейный фУнкционал 76, что ~(Уа,хо)~ = ~~Уе!~ ~~хо!~, 1ех62 = знр ~~ ~~ >~ йхй НХ хН У 6ь'* (7) поэтому т. е. ~6х~~ = '6х62, что и требовалось доказать. Таким образом, нормированное пространство Е изометрично (вообще говоря, незамкнутому) линейному многообразию к(Е) в Е"; отождествляя Е с к(Е), можно считать, что Е С Е"*.
Из нзометричности естественного отображения тп Е э Е" для нормированных пространств следует, что по лт л ттолррефлексивностаи и рефлективности для нормированных пространств совпадатот. Поскольку пространство, сопряженное к нормированному, полно, всякое рефлексивное нормированное пространство Е полно. Конечномернтяе евклидовы пространства и гильбертово пространство представляют собой простейшие примеры рефлексивных пространств (дня них даже Е = Е*). 1 3. Слабая гяог>ология и слабая сходимость 207 Пространство со сходящихся к нулю последовательностей представляет собой пример полного нерефлексивного пространства. Действительно, как мы показали выше (пример 2 2 2), сопряженным к со является пространство (> всех абсолк>тно сходящихся числовых рядов, которому в свою очередь сопряжено пространство т всех ограниченных последовательностей.
Пространство С[а, Ь) непрерывных функций на покотором отрезке [а, Ь] тоже нерефлексивно. Мы, однако, не будем здось приводить доказательства этого утверждения ). Примером рефлексивного щ>остранства, не совпадающего со своим сопряженным, может служить |р при 1 < р ф 2 (так как 7,* = 7ю где 1/Р+ 1/г) = 1, то 1** = 1* = 7г). Упражнение. Докажите, что замкнутое надпространство рефлексивного пространства рефлексивно. 3.
Слабая топология и слабая сходимость 1. Слабая топология и слабая сходимость в линейном топологическом пространстве. Рассмотрим линейное топологическое пространство Е и совокупность всех непрерывных функционалов на цем. Если />,...,/о произвольный конечный набор таких функционалов и е положительное число, то множество открыто в Е и содержит то~ку О, т.е. представляет собой некоторук> окрестность нуля. Пересечение двух таких окрестностей всегда содержит множество вида (1), иг следовательно, в Е можно ввести топологию, для которой совокупность множеств вида (1) будет о>>редедя>ощгй системой окрестностей нуля.
Г)гга начывяетгя слабой тополокпеб пространства Е. Слабая топология в Š—. это самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства. Ясно, что всякое множество в Е, открытое в смысле слабой топологии, открыто и в исходной топологии пространства Е, однако обратное, вообще говоря, неверно (множества вида (1) не обязаны г) Можно доказать даже сяедуюкгее более сильное утверждение: яе сущесгьует к к какого яормироьаикого оросграясгягь для которого С[а,,б) было бы содряжояяым пространством. Гл.
е'е'. Линейные фкннинаналы и аеееранеоры 208 образовывать определяющую систему окрестностей нуля в исходной топологии). По терминологии, принятой нами в 8 5 гл. П, это означает, что слабая топология пространства Е с л а б е е, чем его исходная топология. Тем самым оправдывается принятое для нее название.
Если в Е существует достаточно много непрерывных линейных функционалов (например, если Е нормировано), то слабая топология в Е удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. Легко также проверить, что операпии сложения и умножения ца числа, определенные в Е, непрерывны относительно слабой топологии этого пространства. Даже в случае нормированных пространств слабая топология в Е может не удовлетворять первой аксиоме счетности.
Следовательно, эта топология, вообще говоря, не описывается на языке сходящихся последовательностей. Тем не менее сходимость в Е, определяемая этой топологией, представляет собой важное понятие. Она называется слабой сходимостью. В отличие от нее, сходимостгн определяемую исходной топологией пространства Е (нормой, если Е нормировано), называют сильной сходимоспеью. Понятие слабой сходимости можно сформулировать следующим образом:последовательность 1х„) элементов из Е называется слабо сходящейся к хо б Е, если для любого непрерывного линейного функционала уе(х) на Е числовая последовательность ~уе(х„)) сходится к ео(хо). Действительно, считая для простоты хо = О, предположим, что Р(хн) — ~ О пРи всЯком уе Е Е'.
Тогда длЯ всЯкой слабой окРестности е2 =1х: )р,(х)( <е, 1=1,...,к) точки О, найдетсЯ такое йе, что хн Е 1е' пРи всех и > ее (дли этого достаточно выбрать еее так, что ~р,(х„) ~ < е при и > Ж, и затем положить Рее = п1ах Рее).
Обратно, если дпя каждой слабой окрен тногти нуля П существует такое ете, что хн Е 11 для всех и > еч, то условие р(х„) е О при и — ~ оо, очевидно, выполнено для каждого фиксированного 8е й Е'. Из того, что слабая топология пространства Е слабее его сильной топологии, следует, что всякол сильно сходящаяся иос.ледовательноеть сходится и слабо. Обратное, вообще говоря, неверно (см.
примеры ниже). 2. Слабая сходимость в нормированных пространствах. Рассмотрим подробнее понятие слабой сходимости применительно к нормированным пространствам. 1 3. Слабая ьпьпологил и алабая схобимаспьь 209 Теорема 1. Если (х„) ". слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве, то существует такое постоянное число С, что [[х„[[ < С. Иначе говоря, всякая слабо сходящаяся последовательность в нормированном проглпранстве ограничено,. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
