1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

У и раж не и я я. 1. Пусть Е тоиологяческое линейное пространство; докажите справедливость следующих утверждений: (а) множество М С Е ограничено тогда и только тогда, когда для любой яоследовательяости 1х ) С М и любой последовательности положительных чисел 1е„), стРемащейса к нУлю, аоследоватетьиость енх„ стремится к нулю; Сб) если 1х ) е С Е и хн -э х, то 1хн) ограниченное множество; (в) если Е локально ограничено, то в яем выполняется первая аксиома счетяости.

Выполнена ли первая аксиома счетяости в пространстве К ? 2. Мы скажем, что множество М в тоаологическом линейном пространстве Е аоглощаееаен окрестностью нуля с?, если существует такое Л > О, что ЛП 1 М. Доказать, что в локально ограниченном яростраш:тве существует фундаментальная система окрестностей нуля, взаиешо поглощающих друг друга. Что можно принять за такую систему в нормированном пространстве? 2.

Локальная выпуклость. Произвольные топологические линейные пространства могут обладать свойствами, слишком уж далекими от привычных свойств евклидовых или нормированных пространств. Важный класс пространств, более общих, чем нормированные, во сохраняющих многие свойства последних, образуют так вазываемые. локально аыирклхяе пространства. 'З 5. Тспслсгвчсссае линейные прост ранствеа Определение 2. Топологическое линейное пространство называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество. Заметим, что если пространство Е локально выпукло, то для любой точки х В Е и любой ее окрестности П найдется такая выпуклая ее окрестность И, что х В И С бг.

Действительно, достаточно проверить справедливость этого утверждения для точки х = О. Пусть бГ какая-нибудь окрестность нуля. Найдется такая окрестность нуля И, что à — И с Г. Так как Е локально вьшукло, то найдется непустое выпуклое открытое множество г ' С Г, пусть у Е И', тогда 1" — у выпуклая окрестность нуля, содержащаяся в Г. Всякое нормированное пространство локально выпукло.

Действительно, в нем любое непустоо открытое множество содержит некоторый шар. Таким образом, всякое нормированное првстрааствв локально ограничено и локально выпукло. Можно показать, что, по существу, норгиированными пространствами и исчерпывается класс пространств, обладающих обоими этими свойствами. Именно, назовем линейное топологическое пространство Е нормируемым, если та топология, которая имеется в Е, может быть задана с помощью некоторой нормы. Имеет место следующая теорема; всякое отделимое локально выпуклое и локально вграпичемнве линейное твпвлвгическве пространство пврмируемв.

Упражнения. 1. Докажите, что открытое множество Г в тополегичвскем линейном пространстве выпуклО тогда н тОлько тогда, когда Г+Г=2Г 2. Пусть Š— линейное пространстве; множество Г С Е называется симмсгпри иным, если нз х Е Г следует — х Е Г. Пусть В семейство всех выпуклых симметричных подмножеств пространства Е, совпадающих со своим ядром (см. З 2). Доказать справедливость следующих утвержденяй. (а) Семействе Б является опредщгяющим семейством окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой отделимой топологии в пространстве Е (зта топология называется ядерно-выпуклойз (б) Ядерно-выпуклая топология является сильнейшей нз локально выпуклых топологий, в которых линейные операции в Е непрерывны. (в) Всякий линейный функционал на Е непрерывен относительно ядерно-выпуклой топо.ногин.

3. Счетно-нормированные пространства. Очень важным для анализа классом линейных топологических пространств оказались так называемые счггпнв-нормированные пространства. Дпя того чтобы сформулировать соответствующее определение, нам понадобится одно вспомогательное понятие. Гл. П1. Нормированные и топвлогические пространства 184 Пусть в линейном пространстве Е заданы две нормы ~К~1 и 8 'йг. Они называются согласованными, если всякая последовательность 1хп1 из Е, фУндаментальнаЯ по каждой из этих ноРм н сходЯщаЯсЯ к некоторому пределу х Е Е по одной из пих, сходится к тому же пределу х н по второй норме.

Говорят, что норма 8 . ))э нг слабее, чем )! . ))г, если суэпествует такая постоянная с > О, что вх!)~ 3 спх))э для всех х б Е. Если первая норма ис слабве второй, а вторая - не слабее первой, то этн две нормы называются эквиваленгпными. Две нормы называются сравнимыми, если одна из инх слабее другой. Определение 3.

Счетно-нормированным просэпрансгпвом называется линейное пространство Е, в котором задана счетная система попаРно согласованных ноРм (~ '8п. ВсЯкое счетно-ноРмиРованное пространство становится линейным топологическим, если за определяюшукэ систему окрестностей нуля принять совокупность множеств С1,г, каждое из которых определяется номером г и положительным числом к и состоит из всех тех элементов х б Е, которые удовлетворяют условиям йх)!1 < г,..., )и1„< щ Мы предоставляем читателю проверить, что такая система окрестностей нуля действительно определяет в Е топологию, в которой операции сложения элементов и умножения их на числа непрерывны.

Заметим, что всякое счетно-нормированное пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, поскольку систему окрестностей нуля сг„г можно заменить (не изменяя топологии) счетной подсистемой, в которой г цринимает лишь значения 1,1/2,1/3,... ...Дгг..... Более того, топология в счетно-нормированном пространстве может быть задана при помощи некоторой метрики,например, такой: р(х,эу) = ~~ 2 " '*, х,у б Е. 1+ пх — у)~„' и=1 Предлагаем читателю проверить, что функция р(х, у) удовлетворяет всем аксиомам расстояния и инвариантна относительно сдвигов (тге, р1х -Ь г,у + з) = р1х, у), х,у,з Е Е) и что порождаемая ею топология совпадает с исходной. Таким образом.

мы получаем возможностыоворить о полноте счетно-нормированного пространства, понимая под этим полноту относительно введенной выше метрики. Заметим еще, что последовательность (хь ) фундаментальна относительно метрики (1) тогда и только тогда, когда она фундаментальна 1 5. Тополоеинесние линейные пространстаа 185 относительно каждой из норм й '5„, и сходится (в этой метрике) к элементу я Е Е тогда и только тогда, когда она сходится к я по каждой из норм 5 (~„. Иными словами, полнота счетно- нормированного пространства означает, что в нем всякая последовательностаи фУнцалеентальнал по кажцой из ноРм (~ '5п, схоДитсЯ. Примеры.

1. Важным примером счетно-нормированного пространства служит рассмотренное выше пространство К~а, Ь) бесконечно дифференцируемых функций на отрезке, если считать, что норма й '5 в этом пространстве определяется формулой !!Л = р !У1'111)!. а<с<о О<о<т Очевидно, что все эти нормы согласованы между собой и что они определяют в 1<сп, Ь] ту самую топологию, которая была описана выше. 2.

Пусть Я,, пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на прямой, стремящихся на бесконечности к нулю вместе со всеми своими производными быстрее, чем 1ф~ в любой степени (т, е, удовлетворяющих условию 111сос1с) -э 0 при ~1~ -э оо при любых фиксированных 1с и д). В этом пространстве определим счетную систему яорм, положив ()П = зпр /Ь~~~о1(1)), т = 0,1,2, й,о<т — оо<1<т Нетрудно проверить, что эти нормы согласованы между собой.

'1"аким образом.,  —. счетно-нормированное пространство. 3. Важный частный случай счетно-нормированных пространств так называемые счетно-гильбертовы пространства. Пусть Н линейное пространство, в котором задана счетная система скалярных пРоизведений (1о, 15)п, пРичем пРедположнъи что ноРмы ()1о()п = = фр,оо)п, отвечающие чтим скалярным произведениям, согласованы между собой. Если такое пространство полно, то оно называется счетио<еильбертовым пространством. 4. Конкретным примером счетно-гильбертова пространства может служить следующое пространство. Пусть Ф вЂ” совокупность всех таких числовых последовательностей 1я„), для которых при каждом целом Ь ) 0 ряд ~ полз 186 Гл.

П1. Нормированные и тополоеииесаие пространства сходится. Зададим в этом пространстве счетную систему норм, по- пожив ]]х]]ь = 2' 11ьх2 Нетрудно проверить, что эти нормы согласованы между собой и что Ф полно в указанном выше смысле. Ясно, что каждую из норм ]] ]]1. можно задать с помощью скалярного произведения (Х,У)Ь = ~ 11 Хпйе„, п=.1 т.е. Ф есть счетно-гильбертово пространство. Оно называется простаранетвом быстро убывающих последовательностей.

Если Е -- счетно-нормированное пространство, то заданные в нем нормы ]] ]]ь можно считать удовлетворяюШими условию ]]Х]]Ь < ]]Х]]1 при й < 1, (2) так как иначе мы могли бы пармы ]]х]]ь заменить нормами ]] ]]1= 1И] ]]1:.:]]х]]1.), определяюшими в Е ту же самую топологию, что и исходная система норм. Пополнив пространство Е по каждой из норм ]] .

]]ь, мы получим систему полных нормированных пространств Еы При этом из соотношения (2) и согласованности норм следует, что имеются естественные вложения Еь ~ Е| при Й < Е Таким образом, каждому счетно-нормированному пространству Е можно сопоставить убывающую цепочку полных нормированных пространств Е ~ .. ~ Еь ~ . ' П Еь ~ Е. 1.=1 Можно показать, что пространство Е полно тогда и только тогда, когда Е = П Е1, (докажите это!). Так, например, пространЬ=1 ство К~а, Ь] бесконечно дифференцируемых функций на отрезке 1а, Ь] есть пересечение полных нормированных пространств С" ]а, Ь] (п = О, 1,2,...), где С"[а, Ь] состоит из функций, имеющих непрерывные производные до и-го порядка включительно, а норма в нем определяется формулой ]]Д = авр ]11 ~(1)].

Характеристики

Список файлов книги