1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Допустим теперь, что, кроме построенного нами разложения Х = 6+ 6', существует другое разложение: Х = 6, +6'ы Ь, ~ М, 6', ~ ЛХ'. Тогда п и всех и (Х, ~рп) = сп, З 4. Ивппиоовы провгприпвтвв гтз Следствие 1. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению лияейного подпространства М совпадает с самим ЛХ. Таким образом, можно говорить о взаимно дополнительных подпространствах пространства Н. Если М и ЛХт . два таких дополняющих друг друга подпространства и ~у„), ~р'„) полные (соответственно в ЛХ и ЛХ~) ортогональные системы, то соединение систем (уп) и (р„) дает полную ортогональную систему во всем пространстве Н.
Поэтому имеет место следствие: Следствие 2. Каждая ортогональная нормированная система может быть распшреиа до системы, полной в Н. Если система (дп) конечна, то число входящих в нее элементов равно размерности подпространства ЛХ, порожденного ~рп), и коразмерности подпространства Мт. Таким образом, получаем еще одно следствие; Следствие 3. Ортогональное дополнение к пространству конечной размерности и имеет коразмерность и, и наоборот. Если каждый вектор Х е Н представйм в виде Х = 6+ Ь', Ь б ЛХ, 6' б М (ЛХ ортогональное дополнение ЛХ), то говорят, что Н есть прямая сумма взаимно ортогональных подпространств ЛХ и ЛХ и пишут Н = ЛХ б1 ЛХ~.
Ясно, что понятие прямой суммы может быть непосредственно обобщено иа любое конечное или даже счетное число подпространств; именно, говорят, что Н есть прямая сумма своих подпространств М„..., М„,... Н = М1 е... е ЛХ„е если 1) подпространства ЛХ; попарно ортогональны, т. е. любой вектор из Мв ортогонвлен любому вектору из ЛХь при 1 ф Л'; 2) каждый элемент Х Е ХХ может быть представлен в виде Х=а1+ ..+Лп+ ., ЙпбМп: причем если число надпространств ЛХ„бесконечно, то 2 ~~6пЙа и сходящийся ряд. Легко проверить, что если такое представление элемента Х существует, то оно единственно и что 174 Гл.
Ш. Нормированнъ~е и тополоеичеение проетранепева Наряду с прямой суммой подпространств можно говорить о прямой сумме конечного или счетного числа произвольных гильбертовых пространств. Именно, если Н1 и Н2 — два гильбертовых пространства, то их прямая сумма Н определяется следующим образом: элементы пространства Н вЂ” это всевозможные пары (61, 62), где 61 е Н,, 62 е Нг, а скалярное произведение двух таких пар авно ~~,(71, д.).
и 8. Характеристическое свойство евклидовых пространств. Рассмотрим следующий вопрос. Пусть Н -- нормированное пространство. Каким дополнительным условиям должна удовлетворять норма, определенная в Н, чтобы пространство Н было евклидовым, т.е. чтобы норма в нем определялась некоторым скалярным произведением? Иначе говоря, как охарактеризовать евклидовы пространства в классе всех нормированных пространств? Такую характеристику дает следующая теорема. Теорема 8.
Дпя того чтобы нормированное пространство Л было евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов, 7' и д, выполнялось равенство ()д'+ д))2 -1- ()7 — д/(2 = 2()/Д2 -ь йд()2). (25) Погкольку 7 + д и 7 — д это диагонали параллелограмма, построенного иа сторонах 7" и д, равенство 125) выражает известное свойство параллелограмма в евклидовом пространстве: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех егв сторон. Таким образом, необходимость условия очевидна. Докажем его достаточность.
Положим 1У,д) = — 4И+Ма — !1У вЂ” Ф!'), (26) 11011 62) (61 62)) е'11 ° ~11) + 162 ~~2). В пространстве Н содержатся, очевидно, взаимно ортогонапьные подпространства, состоящие из пар вида 161,0) и (0,62) соответ- ственно; первое из них можно естественным образом отождествить с пространством Н1, а второе -- с пространством Нг. Аналогично определяется сумма любого конечного числа про- стРанств. СУмма Н = 2,' ЗНп счетного числа пРостРанств Н„ ..., Н„,...
определяется так; элементы пространства Н -- это всевоз- можные последовательности нида 6=(61,...,6п,...), Ь, б Нп, такие, что 2,' '06п~(2 < со. СкалЯРное пРоизведение (71,д) элементов и Ь и д из Н равно 5 4. Евнппдовы пространства 17в ()', у) = 4162Лт — !1Х вЂ” Л') =!!П', (27) это и будет то скалярное произведение, которое порождает в пространстве Л заданную там норму.
Прежде всего, из (26) сразу видно, что У:д) = (д,У), т.е. выполнено свойство 1) скалярного произведения. Кроме того, в силу (27) имеет место и свойство 4). Для установления свойства 2) рассмотрим функцию трех векторов ФУ, д, й) = 4[0+ д,1 ) — У, 5) — Ь,1 )), ФХ д 5) = ~!У+ д+ Ч' — !~У+ д — Ч'— — )(~+ Ц + )(~ — Цз — 'йд+ Ц~+ йд — Цз. (28) Покажем, что она тождественно равна нулю. В силу (25) имеем ))~ + д х Цз = 2(( ( ~ Цз -1- 2йд)! — () ( х 5 — д(! . Подставив соответствующие выражения в (28), получим 470,д, Ю = — ~~1+1 — д!!з+ 1!У вЂ” 1 — Ф~ + + йт + Цт — )(,( — Ц вЂ” йд+ Цт + Йд — Чз. (29) Взяв полусумму (28) и (29), имеем Ф(7 д, й) = 1(5д+ 5+ Л'+ )/д+ й — П~)— — -,'(~Ь вЂ” 1 + Лк+ !Ь вЂ” 5 — Л") — !Ь+ Ч'+ Ь вЂ” Ч' В силу (25) первое слагаемое равно Ь+ Ч'+ 1~П', а второе -- равно -Ь вЂ” Ч' — !!Лт ф((,д,1с) = б.
Таким образом, Установим, наконец, свойство 3) — — однородность скалярного произведения. Рассмотрим для этого при любых фиксированных 7' и д функцию р(с) = (с(,д) — с(у,д). и покажем, что если равенство (25) выполнено, то функция (2б) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Поскольку прн 7' = д имеем 176 Гл. 01. Нормированные и тополоеинесние пространства Из (2б) сразу следует., что то(О) = 41(0дн' Ы ) = О и со( — 1) = О, поскольку ( — 7", д) = — ((, д).
Поэтому для .1побого целого п (п~,д) = (вбпп((+... + (),д) = = вбпп((),д) +. + (7',д)) = ~п~зйпп((,д) = п(),д), т. е. де(п) = О. При целых р, д и д ф 0 т. е. у(с) = 0 при всех рациональных с; поскольку функция со непреывна р 1о(с) = О. Тем самым мы показали, что функция (7", д) обладает всеми свойствами скалярного произведения. Примеры. 1. Рассмотрим и-мерное пространство Бра, в котором норма определена формулой При р ) 1 все аксиомы нормы выполнены, однако евклидовым пространством К,", будет только при р = 2.
Действительно, рассмотрим в 2", два вектора: 7' = (1,1,.0,0,...,0); д = (1,-1,0,0,...,0); имеем 7" + д = (2,0,0,...,0), 7" — д = (0,2,0,...,0), откуда ))Л„= )(д))~ = 2'ее, (((+д)(„= '67" — д)(„= 2,. так что тождество параллелограмма (25) при р ф 2 не выполняется. 2. Рассмотрим пространство непрерывных функций на отрезке [О, х/2). Положим 7(г) = совг, д(г) = 61пб 1 4. Евииидивм ври<гарин<гиви 177 Имеем 1!П=Ы=1 'О7" +д(! = п1ах (соз1+зш1( = ъ'2, 0<1<и/З !)( — д!) = гпах (созХ вЂ” зшЦ =1. в<1<и/В Отсюда видно, что 'уд" + д3~ + 31 — УИ~ ф 2(()Д + Йд)! ).
Таким образом, норму пространства С(О, х,72] нельзя задать с помощью какого бы то ни было скалярного произведения. Легко видеть, что и пространство непрерывных функций С[а, 6) на любом отрезке (а,Ь) не есть евклидово пространство. 9. Комплексные евклидовы пространства. Наряду с действительным может быть введено и комплексное евклидово пространство (т.е. комплексное линейное пространство со скалярным произведением в нем). Однако аксиомы 1) — 4), сформулированные в начале этого параграфа, не могут быть в комплексном пространстве выполнены одновременно.
Действитслыю, из 1) и 3) следует (ЛхчЛх) = Лз(х, ), откуда при Л = 1 имеем (1х,гх) = -(х,х), т. е. скалярные квадраты векторов х и 1х пе могут быть одновремен- но положительны. Иными словами, аксиомы 1) и 3) несовместимы с аксиомой 4). Поэтому аксиомы, с помощью которых определяется скалярное произведение, в комплексном случае должны быть не- сколько изменены ио сравнению с действительным. В комплексном пространстве скалярное произведение мы определим как числовую (комплекснозначную) функцию двух векторов, удовлетворяющую следукзщим условиям: 1) (х,у) =(у,х), 2) (Лх, у) = Л(х, у), 3) (х1 + хв, У) = (х1, У) + (хз, У), 4) (х., х) > О, причем (х, х) > О., если х ~ О. (Таким образом, мы внесли поправку в первую аксиому, сохранив три остальные без изменений.) 178 1л.
Н1. Нормированные и топологинесние пространства Из условий 1) и 2) следует, что (х, Лу) = Л(х, у). Действительно, (х, Лу) = (Лу, х) = Л(у, х) = Л(х, у). Хорошо известный пример комплексного евклидова пространства и измерений — это линейное пространство С" (пример 2 8 Ц,. в котором скалярное произведение элементов х = (х>,...,х„) и у = (у>,..., у„) определяется формулой и (х,у) = Х~ хгуь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
