1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Действительно,.пусть ~!Уо~!. г, = 1е Ясно, что кЙх)! . однородно-выпуклый функционал. Взяв его в качестве р и применяя общую теорему Хана — Банаха, получим требуемый результат. Эта форма теоремы Хана — Банаха допускает следуюгпую геометрическую интерпретацию. Уравнение уо(х) = 1 (8) определяет в подпространстве Х гиперплоскостгч лежащую на расстоянии 11"ц1вц от пуля. Продолжая функционал 7е боз увеличения нормы до функционала на всем Е, мы проводим через зту частичную гиперплоскость «большую» гиперплоскость во всем Е, причем «не позволяем» ей приблизиться к нулю.

Комплексный вариант теоремы Хана — Банаха (теорема 4а ~ 2 гл. 1П), дает нам комплексный аналог предыдущей теоромы; Пушив Е комплексное нормированное пространство, А линейкый ограниченный функционал, определенный на подпространлпве А С Е.

Тогда существует линейный ограниченный функционал 7", определенный на всем Е и удовлетворяющий условиям 7(х) = 7о(х)., х Е ь, пг цна Ь' — агвана Ь ° 194 Гл. Ге'. Линейные функционалы и операторы Укажем некоторые важные факты, вытекающие из теоремы Хана — Банаха для нормированных пространств. Предварительно сделаем следующее замечание. Выпуклое множество в линейном пространстве мы назвали выпуклым телом, если оно имеет непустое ядро. Можно показать, что в нормированном пространстве ядро выпуклого множества совпадает с совокупностью ого внутренних точек. Таким образом, в нормированном пространстве выпуклое тело зто выпуклое множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку. Отсюда и из теоремы 5 9 2 гл.

П1 вытекает следующий факт. Следствие 1 (первая теорема отделимости). Пусть А и В выпуклые множества в нормированноег пространстве Х, причем хотя бы одно из них, скажем А, является выпуклым телом и его ядро не, пересекается с В. Тогда существует ненулевой непрерывный линейный' функционал, разделяюший А и В. Существование ненулевого функционала, разделяющего .4 и В, обеспечивается самой теоремой 5 9 2 гл. П1. Покажем,.

что соответствующий функционал обязательно непрерывен. Действительно, если зпр11х) < ш1 11х), (9) ееа еен то функционал 1" ограничен на .4 сверху. Пусть хо — -. внутренняя точка множества А и о'(хо) — ее шаровая окрестность, целиком лежащая в А. В силу (9) функционал у ограничен на П(хо) сверху. Но тогда он ограничен на о(хо) и снизу 1проведите доказательство!).

Так как линейный функционал, ограниченный на каком-либо шаре, непрерывен, то наше утверждение доказано. Следствие 2 1вторая теорема отделимости). Пусть .4 замкнутое выпуклое множество в нормированном пространстве Х и хо й Х - точка, не принадлежащая А. Тогда существует непрерывный линейный ф1шкционал, с~рого разделяющий хо и .4. Действительно, достаточно взять некоторую выпуклую окрестность П точки хо, не пересекающуюся с .4, и рассмотреть функционал, разделяющий П и А. (Проведите доказательство того, что ненулевой функционал, разделяющий П и .4, непременно строго разделяет хо и А.) Следствие 3 1лемма об аннуляторе). Для всякого (замкнутого) собственного подпространства В егормнрованпого пространства Х суптествует ненулевой непрерывный линейный функционал 1, равный нулю на В.

1 1. Непрерывные лпнебнме функционалы 195 Действительно, пусть хо 1с Е и у - непрерывный линейный функционал, строго разделяющий хо и А: 1 (хо) > япр у (х). гег. Тогда 11х) = 0 па Е, так как иначо верхняя грань справа была бы равна +ею. Совокупность функционалов, равных нулю на данном подпространстве, называется ияийллтором этого подпространства и обозначается Ь~ '). Следствие 4. Если хо " ненулевой элемент в нормированном пространстве Х, то существует такой непрерывный линейный функционал у на Х, что 110) Действительно, определив сперва функционал у на одномерном подпространстве, состоящем из элементов вида охо, формулой 1" (охо) = о~~хо ~~, а затем продолжив его без увеличения нормы на все Х, мы и получим функционал, удовлетворяющий условиям (10). 3 а м е ч а п и е. Для произвольных локально-выпуклых пространств следствия 1 3 остаются в силе без изменений, а следствие 4 может быть заменено утверждением: для всякого хо ф 0 существует такой непрерывный линейный функционал 1, что у1хо) у.

-О. 4. Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве. Пусть Е --- счетно-нормированное пространство с нормами ~~ . 'йь (к' = 1,2,3,...); не ограничивая общности, можно считать (сы. пример 4 в и. 3 з б гл. 1П), что для всякого х и Е (11) 1!Хй «. ~И1п < Пусть у непрерывный линейный функционал на Е: тогда в Е существует окрестность нуля Г, на которой у ограничен. В силу определения топологии в счетно-нормированном пространстве найдутся такое натУРальное й и такое е > О, что шаР Вге = 1х: 'йхйь < е) целиком лежит в Г; тогда функционал у ограничен на этом шаре и потому ограничен и непрерывен относительно нормы й .

'йь, т. е,. существует такое С > О, что )Д~х)! < Сйхйы х е Е. ~ ) В 1 4 гл. 111 мы обозначили так ортогональное дополнение надпространства в евклидовом пространстве. Как будет видно в следующем параграфе, в евклидовом пространстве понятия ортогонального дополпепвя и аннуляторв равносильны, поэтому совпадение обозначений оправдано. Гл. Ге'. Линейные фкннчнаналы н аееераторы 196 С другой стороны, очевидно, что если линейный функционал ограничен по какой-либо из норм ц ~(л, то он непрерывен на Е. Таким образом, если Е„* запас всех линейных функционалов на Е, непрерывных относительно нормы ~~ . (~„, а Е' — запас в с е х линейных непрерывных функционалов на Е, то (12) Е'= )) Е„*.

а=1 Кроме того, из условия (11) следует, что Е, с. сЕ„с Если 1' непрерывный линейный функционал на Е, т.е. 1 Е Е*, то его порядком называется наименьшее из чисел и, для которых ф Е Е„*; в силу равенства (12) казюдый непрерывный линейный функционал на Е имеет конечный порядок. 9 2. Сопряженное пространство 1. Определение сопряженного пространства. Для линейных функционалов можно определить операции сложения и умножения их на числа. Пусть ф1 и 19 два линейных функционала на некотором линейном пространстве Е. Их суммой 11 + 19 называется линейный функционал ~(х) = 11(х) + 11(х), х б Е.

Произведением оуе линейного функционала ф1 на число о называется функционал Д~х) = оу1(х), х б Е. равенства, определяющио ф1 + фз и оф1, можно записать и так: (т1 + т2)(х) = 11(х) + т2(х), (оз1)(х) = еез1(х Ясно, что сумма ф1 + 19 и произведение нф1 представляют собой линейные функционалы. Кроме того, если пространство Е топологическое, то из непрерывности функционалов 11 и 5 следует, что ф1 + Зз и оф1 тоже непрерывны на Е Легко проверить, что так определенные операции сложения функционалов и умножения их на числа удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства.

Иначе говоря, совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором 1 2. Сопряженное пространство 197 топологнческом линейном пространстве Е, образует линейное пространство. Оно называется пространством, соиряжениыле с Е, и обозначается Е*. Упражнение. Совокупность всех линейных функционалов на Е, ве обязательно непрерывных, называется алгебраичеспи сопряженным пространством и обозначается Еп. Привести пример топологического векторного пространства Е такого, что В сопряженном пространстве Е' можно различными способами ввести топологию.

Важнейшие из цих зто сильвия и слабая топо- логии. 2. Сильная топология в сопряженном пространстве. Нач- нем с того простейшего случая, когда исходное пространство Е нор- мировано. Для непрерывных линейных функционалов, заданных на нормированном пространстве, мы ввели понятие нормы, поло- ~~Л,„~Х(х) ~ хД Этв величина удовлетворяет всем требованиям, содержащимся в оп- ределении нормированного пространства. Действительно, 1) ~ Я > О для любого ненулевого линейного функционала 1, 2) ~И~1 = М ~~Л, !У х+1" х~ З) И+Я=в р ~~ ~ < о х~ < ~~'~ )~+ ~~'~ )~ =~~я+или Фо схп Фо Пхв Таким образом, пространство Е*, сопряженное к нормированно- му, можно наделить естественной структурой нормированного про- странства.

Топология в Е*, отвечающая введенной норме, называ- ется сильной гиоиологией в Е*. Желая подчеркнуть, что Е* рассма- тривается как нормированное пространство, мы будем вместо Е' писать (Е', 'й 'й). Установим следующее важное свойство пространства, сопряжен- ного к нормированному. Т е о р е м а 1. Сопряженное пространство 1Е', ~~ ~~) полно. Доказательство. Пусть ~1„) -. фундаментальная последовательность линейных функционалов. Тогда для каждого е > О 198 Гл. 1У. Линейные фунпчионалы и оееерапеоръ~ найдется такое Х, что !!1„— (ю!! < г для всех п, гп > Х.

Отсюда для любого х е Е получаем !Уп(х) 1т(х)! ~ ~/)уп Уеп/! ' !/т'!! < г!!х!!~ т. е. при любом х б Е числовая последовательность (д,(х)) сходится. Положим 1(х) = 1пп у„(х). Проверим, что 1" представляет собой непрерывный линейный функционал. Линейность проверяется непосредственно: у(етх+11у) = 1ш1 у„(ох+пей) = 1пп [оу„(х)+)1рп(у)! = ету(х)+тоу(у). Для доказательства непрерьпыюсти функционала 1 вернемся к неРавенствУ !1п(х) — (еп(х)! < е!!х!! и пеРейдем в нем к пРеделУ при т -1 со1 получим !У( ) — У ( )! < г!! !!. Отсюда вытекает, что функционал у — уп ограничен. Но тогда ограничен и, значит, непрерывен и функционал 1 = уп+ (1 — у„).

Кроме того, отсюда же следует, что !!у — у„!! < е для всех н > Х, т. е. что (у„) сходится к 1. Подчеркнем еще раз, что зта теорема справедлива независимо от того, полно или нет исходное пространство. Замечание. Если нормированное пространство Е не полно, а Š— его пополнение, то пространства Е* и (Е)* изоморфны.

Действительно, если Е вложено в Е в качестве всюду плотного подмножества, то всякий линейный непрерывный на Е функционал 1 продолжается но непрерывности с Е на все Е. Обозначим зто (единственное!) продолжение (. Ясно, что ~ е (Е)', !!Д = !!Д!, и что всякий функционал из (Е)' служит продолжением некоторого функционала из (Е)* (а именно, своего сужения на Е). Следовательно, отображение у — р 1' щ>едставляет собой изоморфное отображение пространства Е* на все пространство (Е)*. Определим теперь сильную епонологию в пространстве, сопряженном к произвольному линейному топологическому. В пространстве, сопряженном к нормированному., мы определили окрестность нуля как совокупность функционалов, удовлетворяющих условию !!Л<е Иначе говоря, за окрестность нуля в пространстве Е', сопряженном к нормированному, принимается совокупность функционалов, для 1 2.

Характеристики

Список файлов книги