1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 31
Текст из файла (страница 31)
подпространство в Ь. Если ув линейный функционал на Ев, подчинешиый на Ьо функционалу р(х), т.е, если на Ьо Уо(х) ~~ Р(х) то уе к<ожет быть продолжен до линейного функционала у' на Е, подчинены<по р(х) на всем Е. 146 Гл. Нг. Нормированные и твпвлвеичесние пространства Доказательство. Покажем, что если Хо ф.
Е, то функционал уо можно продолжить с Ло на некоторое большее подпространство 1,' с сохранением условия (9). Действительно, пусть х произвольный элемент из Ь, не принадлежащий Ьо, и пусть А' -. подпространство, порожденное То н ж Каждый элемент из В' имеет вид 1х + х,, где х б Ьо. Если Г' - искомое продолжение функционала уо на Ь', то Г(1- +х) = Ч'(з)+Уо(х), или, если положить (п(з) = с, т' (13 + х) = 1с+ то(х). Теперь выберем с так, чтобы сохранить на Ь' условие подчинения (9), т.е. так, чтобы при всех х Е Ао и всех действительных 1 выполнялось неравенство )о(х) + 1с < р(х -1-1т). При 6 > О оно равносильно условию а при 1 < О условию или Покажем, что всегда существует число с, удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть р' и рн произвольные элементы из Т,о.
Тогда -16Ю+Ма+ ) > -1оЮ вЂ” р(-р' — х). (10) Это вытекает из неравенства Уо(У ) — уо(9 ) < Р(У вЂ” 9 ) = Р((9 +х) — У+Я)) < Р(У +х)+Р( — М вЂ” а). Положим с 1п1( 16(р ) +р(р + е)), ' = ' р( — 16Ь') — р( — р' — кИ. у' Из (9) в силу произвольности р' и уа следует, что сн > сУ. Выбрав с так, что сн > с > с', определим функционал ~' на 1' формулой Г(1х+х) = 1с+ Л(х).
Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (9). В "2. Вьтунлые множества и выпуклые фуннпионалы 147 Итак, мы показали, что если функционал Уе определен на некотором подпространстве Ае с Ь и удовлетворяет на Ье условию (9), то А можно продолжить с сохранением этого у.словия на некоторое болыпее подпространство П. Если в Т, можно выбрать счетную систему элементов х1,..., х„,..., порождающую все Л, то функционал на Т, строим по индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпрострапств ~"' = ЕТе,х ): Т"'=1ТЛ"," )," (здесь 11с"з,ху41) означает минимальное линейное подпространство в Е, содержащее 1 " и хьл1).
Тогда каждый элемент х Е Ь 111 войдет в некоторое тг"1 и, следовательно, функционал будет продолжен на все Ь. В общем случае (т.е. когда счетного множества, порождающего Л, не существует) доказательство заканчивается применением леммы Цорна. Совокупность У всевозможных продолжений функционала )е, удовлетворяющих условию подчинения (9), частично упорядочена, и каждое ее линейно упорядоченное подмножество Уи обладает верхней' гранью: этой верхней гранью служит функционал, определенный па объединении областей определения функционалов 7' Е Уе и совпадающий с каждым таким У' на его области определения.
В силу леммы Цорна во всем У существует максимальный элемент у. Этот максимальный элемент У и представляет собой искомый функционал. Действительно, он является продолжением исходного функционала уе, удов.четворяет условию (9) на своей области определения и задан на всем А, так как иначе мы продолжили бы его описанным выше способом с того собственного подпростравства, на котором ов определен, па ббльшее подпространство, и У не был бы максимальным.
Теорема доказана. Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана — Банаха. Неотрицательный функционал р на комплексном линейном пространстве А называется однородно-выпуклым, если для всех х, р е Ь и всех комплексных чисел Л р1хч-й) <р1: )+р19), р(Лх) = !Л/р(х). Т е о р е м а 4а. Пусть р однородно-выпуклый функционал на комплексном линейном пространстве Е, а те линейный функционал, определенный на некотором линейном подпространстве Ае С Ь и удовлетворяющий на нем условию ~Уо(х) ~ ~ р(х), х Е бо.
1И. 1Н. Нормированные и тополоеические пространства 148 Тогда существует линейный функционал 1, определенный на всем Е и удовлетворяющий' условиям ~.Г(хИ < р(х), х ~ ~; 1(х) = 18(х), х ~ Т . До к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Е и и Лен пространства Л и Ав, рассматриваемые как действительные линейные пространства. Ясно, что р - - однородно-выпуклый функционал на Ьн, а (вн(х) = = Не)е(х) действительный линейный функционал на Лен, удовлетворяющий условию ~Уон(х)~ < р(х) и, тем более, условию 1он(х) < р(х). В силу теоремы 4 сун1ествует действительный линейный функционал тн, определенный на всем Ен и удовлетворяющий условиям 1н(х) < р(х), х Е Ьн(= Х,), (н(х) = (он(х), х Е Тон(= То) Ясно, что — (н(х) = (и( — х) < р( — х) = р(х), так что ~Лч(х)~ < р(х), х Е Йн(ке Т). (11) Определим функционал 1 на А, полагая т' (х) = тн(х) — ет'н(гх) (здесь мы пользуемся тем, что А комплексное линейное пространство, так что в нем определено умножение на комплексные числа).
Непосредственная проверка показывает, что 1 комплексный линейный функционал на Е, причем ,((х) = )в(х) при х Е Ло, НеГ(х) = тн(х) при х Е К. Осталось показать, что Д(х)~ < р(х) для всех х б Ь. Допустим противное, тогда для некоторого хо е Ь имеем ~У(хо) ~ > р(хо) Представим комплексное число Г(хи) в виде т(хи) = ре'л, где р > О, и положим ро = е 1охо. Тогда (н(уо) = КеГ(ро) = Не!е 'лт" (хо)) = р > > р(хо) = р(ув), что противоречит условию (11). Теорема доказана. Упражнение.
Покажите, что условие конечности функционала р в теореме Хана — Банаха можно опустить. 5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве. Пусть Ь вЂ” действительное линейное пространство, а ЛХ и йе два его подмножества. Говорят, что определенный на Е ли- г 2. Вьтуклые множества и выпуклые функционалы 149 нейный функционал Х разделяет эти множества, если существует ~а~ос ~~с~о С,что Х(х) ) С при х б ЛХ и Дх) ( С при х Е Х, т. е. если шХ Х1х) > зпр Х1х).
кнге Функционал Х называется строго разделяющим множества М и 19, если выполнено строгое неравенство шХ Дх) > зпр Дх). лем лем Следующие два утверждения непосредстненцо вытекают из определения разделимости. 1) Линейный функционал Х разделяет множества ЛХ и Лс в том и только том случае, когда он разделяет множества ЛХ вЂ” Ж и 10) 1т. е. множества всех элементов вида х — у, где х Е ЛХ, у Е Л1, и точку 0). 2) Линейный функционсещ Х разделяет множества ЛХ и Лс в том и только том случае, когда при каждом х Е Х он разделяет множества ЛХ вЂ” х и Ю вЂ” х.
Из теоремы Хана Банаха легко получается следующая теорема об отделимости выпуклых множеств в линейном пространстве, имеющая многочисленные применения. Теорема 5. Пусть ЛХ иХу — выпуклые множества в действительном линейном пространстве Хч причем ядро хотя бы одного из них, скажем ЛХ, пе пусто и не пересекается с другим ъшожсством.
Тогда существует ненулевой линейный функционал на Хч разделяющий' ЛХ и Л'. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что точка 0 принадлежит ядру ЛХ множества М. (Иначе мы рассмотрели бы множестна ЛХ вЂ” хо и 1У вЂ” хо, где хп Е М.) Пусть уо Е Лс, тогда точка — уо нривадлг жвт ядру множества ЛХ вЂ” Л1, а О принадлежит ядру К множества К = ЛХ вЂ” Лс + ув.
Так как ЛХ Х1 Лс = О, то 0 не принадлежит ядру ЛХ вЂ” 1У и уп ~ К. Пусть р функционал Минковского для К. Тогда р(уо) > 1, поскольку ув ф К. Введем линейный функционал Хо(оув) = оР(уо). Он определен на одномерном пространстве, состоящем из элементов вида оуо, и удовлетворяет условию Хо(сууо) ( р1оуо), Гл. П1.
Нормированные и монологические просепранепева 150 поскольку р(орв)в нр(рв) при о)0, и 10(оув)=о 10(ув)<0<Р(се110) при о < О. По теореме Хана. Банаха функционал 10 можно продолжить до линейного функционала у, определенного на всем А и удовлетворяющего на А условию 1(р) < Р(у). Отсюда следует, что 1(у) < 1 при р Е К и в то же время Д(ув) > 1.
Таким образом, 1 разделяет множества К и (ув), а следовательно, 1 разделяет ЛХ вЂ” Х и (0); но тогда 1 разделяет множества ЛХ и йе. Теорема доказана. 'з 3. Нормированные пространства В главе П мы занимались топологическими и, в частности, метрическими пространствами., т. е. множествами., в которых введено, тем или иным способом, понятие близости элементов, а в предыдущих параграфах данной главы мы имели дело с линейными пространствами. До сих пор каждое из этих понятий стояло особняком.
Однако в анализе приходится иметь дело с пространствами, в которых введены как операции сложония элементов и уршожепия их на числа, так и некоторая топология, т. е. рассматривать так называемые топологические линейные пространства. Среди последних важный классобразуют нормированные пространства. Теория этих пространств была развита в работах С. Банаха и ряда других авторов. 1. Определение и примеры нормированных пространств. Определение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
