1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. з б о'(ЛХ). 1 2. выпуклые множества и выпуклые функционалы 141 Установим следуюп1ее важное свойство выпуклых множеств. Теорема 1. Пересечение, любого числа выпуклых множеств Реть выпуклое множество. Доказательство. Пусть М = ПМа и все ЛХ - - выпуклые множества. Пусть, далее, т, и у -- две произвольные точки из Л1. Тогда отрезок, соединяющий точки х и д, принадлежит каждому Л1, а следовательно, и ЛХ. Таким образом, Л1 действительно выпукло. Заметим, что пересечение выпуклых тел (будучи выпуклым множеством) не обязано быть выпуклым телом (приведите пример). Для произвольного множества А в линейном пространстве Т, существует наименьшее выпуклое множество, которое его содержит; им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих А (по крайней мере одно выпуклое множество, содержащее А, существует это все Л).
Минимальное выпуклое множество, содержащее А, мы назовем выпуклой оболочкой множества А. Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочки. Пусть х1,...,хп+! точки некоторого линейного пространства. Мы скажем, что эти точки находятся в общем положении, если векторы ху — хь,хз — х1,...,х„ч! — х! линейно независимы. (Это рави-!-1 и .)- 1 посильно тому, что из 2 Л,х, = 0 и 2,' Л, = 0 вытекает,. что 1=1 1=1 А! = ...
= Лп+! = 0.) ВыпУклаЯ оболочка точек х1,...,х„41, находящихся в общем положении, называется п-леерныле симплексом, а сами точки х1,..., хп+! его вершинами. Нульмерный симплекс --. это одна точка. Одномерный симплекс - отрезок, двумерный -. треугольник, трехмерный тетраэдр. Если точки х1,..., х„ч! находятся в общем положении, то любые к + 1 из них (к ( и) также находятся в общем положении и, следовательно, порождают некоторый Й-мерный симплекс, называемый И-мерной вранью данного и-мерного симплекса. Например, тетраэдр с вершинами е1, еу, ез, ее имеет четыре двумерные грани, определяемые соответственно тройками вершин (еу,ез, ее), 1е!, ез,е4), 1е!,ез,е.!), 1е1,еу,ез), шесть одномеРных гРаней н четыРе нУльмеР- ных.
Теорема 2. Симплекс с вершинами х1,...,хпт! есть совокупность всех точек, которые можно представить в виде и-!-1 и-' 1 х= 2 оьхы оу>0, ~ !ту=1. (1) ь=! у=! 142 Гл. 1П. Нормированные и тоиолоеииеские пространства Доказательство. Легко проверить, что совокупность Я точек вида (1) представляет собой выпуклое множество, содержащее точки хь,..., хи41.
С другой стороны, всякое выпуклое множество, содержащее эти точки, должно содержать и точки вида (Ц; следовательно, Я является наименьшим выпуклым множеством, содержащим точки хь,..., х„. 1. 2. Однородно-выпуклые функпионалы. С понятием выпуклого множества тесно связано важное понятие однородно-выпуклого функционала. Пусть Е действительное линейное пространство. Определенный на Х функционал р называется выпуклым, осли р( + (1 — а)у) < ар( ) + (1 — а)р(у) (2) длявсех х,убей и О<а<1. Функциоььаы р называется положиьпельпо-однородным, если р(ах) = ар(х) для всех х Е Х, и всех а > О.
(3) Для выпуклого положителыю-однородного функционала выполнено неравенство: р(х + у) < р(х) + р(у). Действительно, ' + ) ск Р( 2 )- .( (-2)+ (-2И - (Х)+ () Легко понятен что условие (2') вместе с усььовььемь (3) обеспечивает выпуклость функционала р. Положительно-однородный выпуклый функционал мы будем называть короче однородно-выпуклым. Укажем некоторые простейшие свойства однородно-выпуклых функционалов.
1. Полагая в равенстве (3) х = О, получаем р(О) = О. (4) 2. Из (2') и (4) следует, что О = р(х+ ( — х)) < р(х) + р( — х) для всех х Е А. (5) Это неравенство означает, в частности, что если р(х) < О, то обязательно р( — х) > О. Таким образом, ненулевой одцородно-выпуклый функционал может быть всюду неотрицателец, по если всюду р(х) < О, то р(х) = О.
3. П и любом а 11 р(ах) > ар(х). При а > О зто следует из (3), при а = Π— — из (4); если же а < О, то в силу (5) получаем О < р(ах) + 11(~сь~х) = р(ах) + )а(р(х), т, е. р(ах) > -~а~р(х) = ар(х). 1 и Выпуклые множества и выпуклые функчиопальс 143 р(т) = впр ~хи( п -- однородно-выпуклый.
3. Функционал Минковского. Пусть Ь произвольное линейное пространство и А выпуклое тело в Ь, ядро которого содержит точку О. Функционал рд(х) = шГ(т: — *,. 6 А,т > 0) (6) называется функционалом Минковского выпуклого тела А. Т е о р е м а 3. Функционал Минковского (6) — однородно-выпуклый и неотрицагелыгый.
Обратно, если р(х) произвольный однородно-выпуклый неотрицательный функционал на линейном пространстве Л и к положительное число, то А=(х:р(х) <к) (7) есть выпуклое тело, ядром которого служит множество (х: р(х) < Й) (содержагцее точку 0). Если в (7) к. = 1, то исходный функцио- нал р(х) есть функционал Минковского для А. Доказательство. Для всякого х б ь злемент х/т принадлежиг Л, если т достаточно велико; иоотоксу величина рд(х), определяемая равенством (6), неотрицательна и конечна. Проверим положительную однородность функционала (6). Если 1 > 0 и й = йе, то рд(й) = ш1(т > 0: й/г 6 А) = ш1(т > 0: тт/г б А) = = ш((1т' > 0; х/тт б А) =1шГ(т' > 0: х/т б А) = 1рд(х). (8) Проверим выпуклость рд(х).
Пусть хь,хз 6 Е и с > 0 произвольно. Выберем числа т,(к = 1, 2) так, что р4(х;) < т; < рд(х,) + е; тогда х,/т, б А. Положим т = тг+тт, тогда точка (хг+хз)/т = тгхг/(ттг)+ Примеры. 1. Всякий линейный функционал является, очевидно, однородно-выпуклым. Однородно-выпуклым будет и функционал р(х) = Дх) ~, если / линееп. 2. Длина вектора в и-мерном евклидовом пространстве есть однородно-выпуклый функционал. Здесь условие (2') означает, что длина суммы двух векторов не превосходит суммы их длин (неравенство треугольника), а (3) непосредственно следует из определения длины вектора в Б'.и. 3.
Пусть т - пространство ограниченных последовательностей х = (хг,..., х„,.,.), Функционал 144 Гл. 01. Нормированные и тополоеииесаие пространства +гтхз((гга) пРинаДлежит отРезкУ с конЦами х1(г1 и хз(гз. В силУ выпуклости А этот отрезок, а значит, и точка (х1+ хз)/г принадлежат А, откуда РА (х1 + хт) < 1' = г1 + га < РА(х1) + РА(хз) + 2е. Так как е > 0 здесь произвольно, то РА(хе + хз) < РА(х1) + РА(хр 0 Следовательно, РА(х) удовлетворяет условиям (2') и (3), а потому это -- неотрицательный однородно-выпуклый функционал.
Рассмотрим теперь множество (7). Если х,у Е А и о + б = 1, од>0 то Р( + Ю < ор(х) + ВР(д) < ~, т.е. А выпукло. Далее, пусть Р(х) < 1, 1 > 0 и у Е Ь, тогда р(х х гд) < р(х) + 1р(хд). Если Р( — д) = р(д) = О, то х х ту Е А при всех 1; если же хотя бы одно из неотрицательных чисел р(д), р( — д) отлично от О, то х х 1у Е А при 1< Й вЂ” р(х) шах (Р(у), Р(-у)) Непосредственно из введенных определений ясно, что р служит фу.нкционалом Минковского для множества (х: Р(х) < 1). Итак, введя понятие функционала Минковского, мы установили соответствие между неотрицательными однородно-выпуклыми функционш1ами и выпуклыми телами с ядром, содержащим точку О.
Примеры. 1. При А = Ь имеем, очевидно, Рь(х) = О. 2. Пусть А шар с центром 0 и радиусом г в К". Тогда РА(т) = йхн/г, где ()х0 - длина вектора х. 3. Пусть А «слой» вЂ” 1 < х1 < 1 в пространстве 14 последовательностей х = (х1,..., х,,... ). Тогда РА(х) = М Замечания. 1. Иногда удобно рассматривать однородно-выпуклые функционалы, которые могут принимать не только конечные значения, но и значение +ос (но не — оо). Тогда из равенства Р(ох) = пр(х) (где сх > 0) следует, что Р(0) = 0 или Р(0) = оо.
Легко З "2. Вьи<унлые множества и выпуклые фуннционалв< 145 проверить, что в этом последнем случае можно, не нарушая однородной выпуклости функционала, изменить его значение в одной точке, положив р(0) = 0 вместо р(0) = +со. Так обычно и делают. Если р(т) - -- однородно-выпуклый. но не обязательно конечный, функционал, то А = (х: р(х) < й) есть выпуклое множество, по не обязательно выпуклое тело. Обратно, если А произвольное выпуклое множество, содержащее точку О, то для него можно опредсли<ь функционал Минковского формулой (б), но при этом придется для г допускать и значение +ос.
2. Если р< (х) и ру(х) - однородно-выпуклые функционалы, то таковы же р<(х) + ру(х) и ар< (х) при о > О. Далее, если (р,(х)),сз произвольное семейство однородно-выпукль<х функционалов, то таков и функционал р(х) = зпрре(х). В частности, верхняя грань еен Р(х) = зпР 2"е(х) любого непУстого множества линейных фУнкционаеез лов на Е есть однородно-выну.клый функционал.
Воспользовавшись теоремой Хана — Банаха< легко показать, что так можно представить всякий (конечный) однородно-выпуклый функционал. Упражнение. Множество А в линейном пространстве й называется поглощающи, если для всякого х Е б существует такое о > О, что х Е ЛА для всех Л > о. Доказать, что выпуклое множество А поглощающее в том н только том случае, если его ядро содержит точку О. 4. Теорема Хана-Баиаха. Пусть Ь действительное линейное пространство и Ьв .
†. некоторое его подпространство. Пусть, далее, на подпространстве Ев задан некоторый линейный функционал А. Линейный функционал у, определенный на всем пространстве Е, называется продолзюеыием функционала А, если ) (х) = )о(х) для всех х и ьо. Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основную роль во всем этом круто вопросов играет следщощая теорема. Теорема 4 (Хан. Бинах). Пусть р . однородно-выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве Е, и пусть Ео линейное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
