Главная » Просмотр файлов » 1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c

1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 30

Файл №824704 1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (Колмогоров А.Н. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа 2004u) 30 страница1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704) страница 302021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

е. з б о'(ЛХ). 1 2. выпуклые множества и выпуклые функционалы 141 Установим следуюп1ее важное свойство выпуклых множеств. Теорема 1. Пересечение, любого числа выпуклых множеств Реть выпуклое множество. Доказательство. Пусть М = ПМа и все ЛХ - - выпуклые множества. Пусть, далее, т, и у -- две произвольные точки из Л1. Тогда отрезок, соединяющий точки х и д, принадлежит каждому Л1, а следовательно, и ЛХ. Таким образом, Л1 действительно выпукло. Заметим, что пересечение выпуклых тел (будучи выпуклым множеством) не обязано быть выпуклым телом (приведите пример). Для произвольного множества А в линейном пространстве Т, существует наименьшее выпуклое множество, которое его содержит; им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих А (по крайней мере одно выпуклое множество, содержащее А, существует это все Л).

Минимальное выпуклое множество, содержащее А, мы назовем выпуклой оболочкой множества А. Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочки. Пусть х1,...,хп+! точки некоторого линейного пространства. Мы скажем, что эти точки находятся в общем положении, если векторы ху — хь,хз — х1,...,х„ч! — х! линейно независимы. (Это рави-!-1 и .)- 1 посильно тому, что из 2 Л,х, = 0 и 2,' Л, = 0 вытекает,. что 1=1 1=1 А! = ...

= Лп+! = 0.) ВыпУклаЯ оболочка точек х1,...,х„41, находящихся в общем положении, называется п-леерныле симплексом, а сами точки х1,..., хп+! его вершинами. Нульмерный симплекс --. это одна точка. Одномерный симплекс - отрезок, двумерный -. треугольник, трехмерный тетраэдр. Если точки х1,..., х„ч! находятся в общем положении, то любые к + 1 из них (к ( и) также находятся в общем положении и, следовательно, порождают некоторый Й-мерный симплекс, называемый И-мерной вранью данного и-мерного симплекса. Например, тетраэдр с вершинами е1, еу, ез, ее имеет четыре двумерные грани, определяемые соответственно тройками вершин (еу,ез, ее), 1е!, ез,е4), 1е!,ез,е.!), 1е1,еу,ез), шесть одномеРных гРаней н четыРе нУльмеР- ных.

Теорема 2. Симплекс с вершинами х1,...,хпт! есть совокупность всех точек, которые можно представить в виде и-!-1 и-' 1 х= 2 оьхы оу>0, ~ !ту=1. (1) ь=! у=! 142 Гл. 1П. Нормированные и тоиолоеииеские пространства Доказательство. Легко проверить, что совокупность Я точек вида (1) представляет собой выпуклое множество, содержащее точки хь,..., хи41.

С другой стороны, всякое выпуклое множество, содержащее эти точки, должно содержать и точки вида (Ц; следовательно, Я является наименьшим выпуклым множеством, содержащим точки хь,..., х„. 1. 2. Однородно-выпуклые функпионалы. С понятием выпуклого множества тесно связано важное понятие однородно-выпуклого функционала. Пусть Е действительное линейное пространство. Определенный на Х функционал р называется выпуклым, осли р( + (1 — а)у) < ар( ) + (1 — а)р(у) (2) длявсех х,убей и О<а<1. Функциоььаы р называется положиьпельпо-однородным, если р(ах) = ар(х) для всех х Е Х, и всех а > О.

(3) Для выпуклого положителыю-однородного функционала выполнено неравенство: р(х + у) < р(х) + р(у). Действительно, ' + ) ск Р( 2 )- .( (-2)+ (-2И - (Х)+ () Легко понятен что условие (2') вместе с усььовььемь (3) обеспечивает выпуклость функционала р. Положительно-однородный выпуклый функционал мы будем называть короче однородно-выпуклым. Укажем некоторые простейшие свойства однородно-выпуклых функционалов.

1. Полагая в равенстве (3) х = О, получаем р(О) = О. (4) 2. Из (2') и (4) следует, что О = р(х+ ( — х)) < р(х) + р( — х) для всех х Е А. (5) Это неравенство означает, в частности, что если р(х) < О, то обязательно р( — х) > О. Таким образом, ненулевой одцородно-выпуклый функционал может быть всюду неотрицателец, по если всюду р(х) < О, то р(х) = О.

3. П и любом а 11 р(ах) > ар(х). При а > О зто следует из (3), при а = Π— — из (4); если же а < О, то в силу (5) получаем О < р(ах) + 11(~сь~х) = р(ах) + )а(р(х), т, е. р(ах) > -~а~р(х) = ар(х). 1 и Выпуклые множества и выпуклые функчиопальс 143 р(т) = впр ~хи( п -- однородно-выпуклый.

3. Функционал Минковского. Пусть Ь произвольное линейное пространство и А выпуклое тело в Ь, ядро которого содержит точку О. Функционал рд(х) = шГ(т: — *,. 6 А,т > 0) (6) называется функционалом Минковского выпуклого тела А. Т е о р е м а 3. Функционал Минковского (6) — однородно-выпуклый и неотрицагелыгый.

Обратно, если р(х) произвольный однородно-выпуклый неотрицательный функционал на линейном пространстве Л и к положительное число, то А=(х:р(х) <к) (7) есть выпуклое тело, ядром которого служит множество (х: р(х) < Й) (содержагцее точку 0). Если в (7) к. = 1, то исходный функцио- нал р(х) есть функционал Минковского для А. Доказательство. Для всякого х б ь злемент х/т принадлежиг Л, если т достаточно велико; иоотоксу величина рд(х), определяемая равенством (6), неотрицательна и конечна. Проверим положительную однородность функционала (6). Если 1 > 0 и й = йе, то рд(й) = ш1(т > 0: й/г 6 А) = ш1(т > 0: тт/г б А) = = ш((1т' > 0; х/тт б А) =1шГ(т' > 0: х/т б А) = 1рд(х). (8) Проверим выпуклость рд(х).

Пусть хь,хз 6 Е и с > 0 произвольно. Выберем числа т,(к = 1, 2) так, что р4(х;) < т; < рд(х,) + е; тогда х,/т, б А. Положим т = тг+тт, тогда точка (хг+хз)/т = тгхг/(ттг)+ Примеры. 1. Всякий линейный функционал является, очевидно, однородно-выпуклым. Однородно-выпуклым будет и функционал р(х) = Дх) ~, если / линееп. 2. Длина вектора в и-мерном евклидовом пространстве есть однородно-выпуклый функционал. Здесь условие (2') означает, что длина суммы двух векторов не превосходит суммы их длин (неравенство треугольника), а (3) непосредственно следует из определения длины вектора в Б'.и. 3.

Пусть т - пространство ограниченных последовательностей х = (хг,..., х„,.,.), Функционал 144 Гл. 01. Нормированные и тополоеииесаие пространства +гтхз((гга) пРинаДлежит отРезкУ с конЦами х1(г1 и хз(гз. В силУ выпуклости А этот отрезок, а значит, и точка (х1+ хз)/г принадлежат А, откуда РА (х1 + хт) < 1' = г1 + га < РА(х1) + РА(хз) + 2е. Так как е > 0 здесь произвольно, то РА(хе + хз) < РА(х1) + РА(хр 0 Следовательно, РА(х) удовлетворяет условиям (2') и (3), а потому это -- неотрицательный однородно-выпуклый функционал.

Рассмотрим теперь множество (7). Если х,у Е А и о + б = 1, од>0 то Р( + Ю < ор(х) + ВР(д) < ~, т.е. А выпукло. Далее, пусть Р(х) < 1, 1 > 0 и у Е Ь, тогда р(х х гд) < р(х) + 1р(хд). Если Р( — д) = р(д) = О, то х х ту Е А при всех 1; если же хотя бы одно из неотрицательных чисел р(д), р( — д) отлично от О, то х х 1у Е А при 1< Й вЂ” р(х) шах (Р(у), Р(-у)) Непосредственно из введенных определений ясно, что р служит фу.нкционалом Минковского для множества (х: Р(х) < 1). Итак, введя понятие функционала Минковского, мы установили соответствие между неотрицательными однородно-выпуклыми функционш1ами и выпуклыми телами с ядром, содержащим точку О.

Примеры. 1. При А = Ь имеем, очевидно, Рь(х) = О. 2. Пусть А шар с центром 0 и радиусом г в К". Тогда РА(т) = йхн/г, где ()х0 - длина вектора х. 3. Пусть А «слой» вЂ” 1 < х1 < 1 в пространстве 14 последовательностей х = (х1,..., х,,... ). Тогда РА(х) = М Замечания. 1. Иногда удобно рассматривать однородно-выпуклые функционалы, которые могут принимать не только конечные значения, но и значение +ос (но не — оо). Тогда из равенства Р(ох) = пр(х) (где сх > 0) следует, что Р(0) = 0 или Р(0) = оо.

Легко З "2. Вьи<унлые множества и выпуклые фуннционалв< 145 проверить, что в этом последнем случае можно, не нарушая однородной выпуклости функционала, изменить его значение в одной точке, положив р(0) = 0 вместо р(0) = +со. Так обычно и делают. Если р(т) - -- однородно-выпуклый. но не обязательно конечный, функционал, то А = (х: р(х) < й) есть выпуклое множество, по не обязательно выпуклое тело. Обратно, если А произвольное выпуклое множество, содержащее точку О, то для него можно опредсли<ь функционал Минковского формулой (б), но при этом придется для г допускать и значение +ос.

2. Если р< (х) и ру(х) - однородно-выпуклые функционалы, то таковы же р<(х) + ру(х) и ар< (х) при о > О. Далее, если (р,(х)),сз произвольное семейство однородно-выпукль<х функционалов, то таков и функционал р(х) = зпрре(х). В частности, верхняя грань еен Р(х) = зпР 2"е(х) любого непУстого множества линейных фУнкционаеез лов на Е есть однородно-выну.клый функционал.

Воспользовавшись теоремой Хана — Банаха< легко показать, что так можно представить всякий (конечный) однородно-выпуклый функционал. Упражнение. Множество А в линейном пространстве й называется поглощающи, если для всякого х Е б существует такое о > О, что х Е ЛА для всех Л > о. Доказать, что выпуклое множество А поглощающее в том н только том случае, если его ядро содержит точку О. 4. Теорема Хана-Баиаха. Пусть Ь действительное линейное пространство и Ьв .

†. некоторое его подпространство. Пусть, далее, на подпространстве Ев задан некоторый линейный функционал А. Линейный функционал у, определенный на всем пространстве Е, называется продолзюеыием функционала А, если ) (х) = )о(х) для всех х и ьо. Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основную роль во всем этом круто вопросов играет следщощая теорема. Теорема 4 (Хан. Бинах). Пусть р . однородно-выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве Е, и пусть Ео линейное.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,91 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее