1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Указанное предложение представляет собой непосредственное обобшвняв известной теарелгы анализа я Локазывавтея так же, как я зта теорема. и) Этот параграф яе еяязаи с дальнейшим изложением. При желании читатель можЕт вго опуСтить. 1л. П. Метрические и топологические просгпропсгпоа 126 проходятся точки кривой, существен. Одно и то же множество, изображенное на рис. 12, проходимое в направлениях, указанных на рис.
13 и 14, мы будем считать различными кривыми. В качестве другого примера рассмотрим действительную функцию, опредепенную иа отрезке (О, 1), которая изображена аа рис. 15. Она определяет ккривуго», расположенную на отрезке (О, 1) оси р, отличную от этого отрезка, однократно пройденного от точки 0 до точки 1, так как отрезок [А, В) проходится трижды (два раза вверх и один раз вниз).
Рис. 14 Рис. 12 Рис. 13 Однако при одинаковом порядке прохождения точек пространства выбор кпараыетра» 1 мы будем считать несущественным. Например, функции, изображенные иа рис. 15 и 16, определяют одну и ту же ккривукщ, расположенную на оси у, хотя значения параметра 1, отвечающие какой-либо точке кривой, в спучаях рис. 15 и 16 могут быть различными. Например, в случае рис. 15 точке А соответствуют иа оси 1 две изолированныо точки, а в гчучае рис. 16 одна изолированная точка и.лежащий правее нее отрезок (когда 1 пробегает этот отрезок, точка на кривой остается иа месте).
(Допускать такие отрезки неподвижности Р = 1(1) будет удобно в дальнейшем при исследовании компактности систем кривых.) Рис. 15 Рис. 16 Перейдем к формальным определениям. Две непрерывные функции Р=1'(1'), Р=1о(1о), определеаиые соответственно на отрезках Ь 8. Кривые в метрических нространстввк 127 и принимающие значения в метрическом пространстве 77, назовем эквивалентными, если сущесхвуют две непрерывные неубывающие функции 1' = р'[1), Ьв = або[1); определенные на некоторолх отрезке а(1(Ь и обладающие свойствами ло'[а) = а', ло'[Ь) = Ь', сои[а) = ав, лои[Ь) = Ь~~, Х'[р'[1)) = Хи[ри[Ь)) для всех 1 Е [а,Ь). Легко видеть, что так введенное отношение эквивалентности рефлексивно [7 эквивалентно 7), симметрично [если 7' эквивалентно 7",то 7' эквивалентно ) ).
Можно показать, что оно и транзитивно [из эквивалентности 7 и 7 и эквивалентности 7' и 7 вытекает эквивалентность 7 и ут). Поэтому все непрерывные функции рассматриваемого типа разбиваются на классы функций, эквивалентных между собой. Каждый такой класс и определяет непрерывную кривую в пространсхве 77. Для любой функции Р = 7"'[Р), опрх1дгленной на каком-либо отрезке [а', Ь'), найдется эквивалентная ей функция, определанная па отрезке [а,", Ьее) = [О, Ц.
Действитольно, достаточно положить ') 1 =~р[Ь)=[Ь вЂ” а)Ь-Ра, 1 =со [1)=й Таким образом, всякую кривую можно предполагать заданной параметрически прн помощи функции, определенной на охрезке [О, Ц. Поэтому целесообразно ввести в расслютренио простравсхво Сха непрерывных отображений 7' отрезка 7 = [О, Ц в пространство Л с метрикой р[7, у) = зпр р[7 [1), у[1) ). Будем считать, что посьчедовательность кривых ьх, ..., ь„,...
сходится к кривой Б, если кривые Б„»ложно параметрнчески представить в виде Р = 7.[1), 0 < Ь < 1, а кривую Б — в виде Р=~[1), 0<1<1, так что р[7, 7'и) э 0 ори и -э со. Применяя обобщенную теорему Арцела [теорема 7 2 7), легко доказать следуюпхую теорему. ) Мы считаем, что всегда а < Ь. Однако мы не исключаем «кривых», которые состоят из одной-единственной точки н получаются, если на [а, Ь) функция ДП постоянна. Это тоже удобно дчя дальнейшего.
128 Тл. П. Метрические и топологические пространства Теорема 1. Если последовательность кривых Еы...,б„,..., лежащих в компакте Е, можно представить параметричвски при помощи равностепенно непрерывных функций на отрезке [О, Ц, то из вее можно выделить сходящуюся подпоследонательность. Определим теперь длину кривой, заданной параметрически функцией Р=Д1), а(1(Ь, как верхнюю грань сумм нида ;~р(йй — ),У(1 )), *=1 где точки й подчинены лишь условиям а=со<О « й < <Ь„=Ь. Легко видеть, что длина кривой це зависит от выбора ее параметрического представления. Если ограничиться паралеетрическими представлениями посредством функций, заданных на отрезке [О, Ц, то легко доказать, что длина кривой есть полунепрерывиый снизу функционал от 1 (в пространстве Сгв).
На геометрическом языке этот результат можно выразить в виде следующей теоремы о полунепрерывиости. Т е о р е м а 2. Если последовательность кривых Е„сходится к кривой Е, то длина кривой Е не больше нижнего предела длин кривых А„. Рассмотрим теперь специально кривые конечной длины. Пусть кривая определена параметрически функцией Р = Д(1), а ( Ь ( Ь. Функция у, рассматриваемая лишь на отрезке [а, Т], где а ( Т ( Ь, определяет «начальный отрезок» кривой от точки Р„= у(а) до точки Рт = 1(Т). Пусть з = у(Т) -- его длина. Легко устанавливается, что Р=д(з) =1[р '( )] есть новое параметрическое представление той же кривой.
При этом з пробегает отрезок О ( з ( Я, где Я длина всей рассматриваемой кривой. Это предствапение удовлетворяет требованию р(д(зс), д(зз)) ч [зе — зз] (длина дуги не меньше хорды). Переходя к отрезку [О, Ц, получим параметрическое представление Р = Г(т) ь д(з), т = з/о, удовлетворяющее условию Липшица р(Г(гз), Р(тз) ) ( Ъ]гз — тЦ. й(ы видим, таким образом, что для всех кривых длины о ( йХ, еде 1И некоторал константа, возмозюяо парамегприческое представление равностспенно непрерывными фднкц лми, заданными на отрезке [О, Ц.
К ним, следовательно, применима теорема 1. Покажем силу полученных обшвх результатов на примере доказатель- ства следующего важного предложения. З 8. Кривые в метрическая прсстранстввя 129 Т е орем а 3. Если в комплекте К две точкщ А и В, можно соединить непрерывной кривой конечной длины, то среди таких кривых существует кривая наименьшей длины. В самом деле, пусть У есть нижняя грань длин кривых, соединяющих А и В в компакте К. Пусть длины кривых ьм..., ь„,..., соединяющих А н В, стремятся к У. Из последовательности Е„по теореме 1 можно выбрать сходящуюся цодпоследонатечьносгь. По теореме 2 предцпьная кривая этой подпоследовательности ие может иметь длину больше У.
Отметим, что даже в случае, когда К является замкнутой гладкой (надлежащее число раз дифференцируемой) поверхностью в евклидовом трехмерном пространстве, эта теорема не вытекает непосредственно из результатов, устанавливаемых в курсЕ дифференциальной геометрии, где ограничиваются обычно случаем достаточно близких друг к другу точек А и В. Все изложенное выше приобрело бы ббльшую празрачносттч если бы мы наделили множество всех кривых данного метрического пространства В структурой метрического пространства. Это можно сделать, определяя расстояние между кривыми Вм Ез формулой р(Тн, Лз) = 1пг р(~м уз), где нижняя грань берется по всем возможныъе парам параметрических представлений кривой Ь1 при помощи функции Р = 21 ф (О ( ~ ( 1) и кривой Ез при помощи функции Р = 2е(1) (О ( 1 ( Ц.
Доказательство того, что это расстояние удовлетворяет обычным аксиомам, очень просто, за исключением одного пункта: представляет некоторые трудности доказать, что из р(ЬО Лз) = О вытекает тождество кривых 1 е, Ьв. Этот факт является непосредственным следствием того обстоятельства, что нижняя грань в формуле, которой мы определили расстояние у(Лм Лг), достигаотся при надлежащем выборе параметрических представлений 2 М 22. Но доказательство этого последнего утверждения тоже не очень просто. ГЛАВА П1 НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИЧКСКИК ЛИНКИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА з 1.
Линейные пространства Понятие линейного пространства относится к числу самых основных в математике. Оно будет играть важную роль не только в этой главе, но и во всем дальнейшеги изложении. 1. Основные опрепеления и примеры линейных пространств. Определение 1. Непустое множество Ь элементов х,у,з,... называется линейным, или векторным, проетпранетвом, если оно удовлетворяет таким условиям: 1. Для любых двух элементов х, у б Ь однозначно определен тре- тий элемент з Е Ь, называемый их суммой и обозначаемый х + у, причем 1) х+ у = у+ х (коммутативность), 2) х+ (у+ з) = (х+ у) Ч- з (ассоциативность), 3) в Е существует такой элемент О, что х+ О = и для всех х Е 1 (существование нуля), 4) для каждого х е Е существует такой элемент — х, что х + ( — х) = О (существование противоположного элемента). П.
Для любого числа а и любого элемента х Е Ь определен эле- мент ах Е 1, (произведение элемента х на число а), причем 1) -Ох) = ~-) )х, 2) 1 х = х, 3) (а+ /д)х = ах+ дх, 4) а(х + у) = ах + ау. В зависимости от того, какой запас чисел (все комплексные или только действительные) используется, различают комплексные и действительные линейные пространства ). Всюду, где не оговорено противное, наши построения будут верны как для действительных, так и для комплексных пространств. ') Можно было бы рассматривать и лииейиыс пространства иад ироизиольиым полем. 1 П Линейные пространстпеа 1З1 Заметим, что всякое комплексное линейное пространство можно рассматривать как некоторое действительное пространство, если ограничиться в нем умножением векторов на действительные числа.
Рассгаотриы некоторые примеры линейных пространств, предоставив читателю проверить для каждого из них сформулированные выше аксиомы. 1. Прямая линия К, .т.е. совокупность действительных чисел, с обычными арифметическими операциями сложения и умножения, представляет собой линейное пространство. 2. Совокупность всевозможных наборов п действительных чисел Х = (Х1,..., Хп), ГДЕ СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ На ЧИСЛО ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ формулами (Х1,...,Х„) + [У1,...,йп) = [Х1 + УЫ ...,Х„ + д„), о(хы..., тп) = (охы...., охп), также является линейным пространством.
Оно называется действительным п-мерным~) арифметическим пространстпвом и обозначается символол1 И". Аналогично, коьшлексное п-мерное арифметическое пространство С" определяется как совокупность наборов п комплексных чисел [с умножением на любые комплексные числа). 3. Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке [а, Ь) с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство С[а, 6), являющееся одним из важнейших для анализа. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
