1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

П. Метрические и топологические просгпроистаа 1ог распадается на непересекающиеся классы гомеоморфных между со- бой пространств. Замечание. Следует иметь в виду, что метрические свойства двух гомеоморфных между собой метрических пространств могут быть различны г). Так, одно из них может бьггь полно, а другое нет. НапРимеР, интеРвал ( — пгг2,пгг2) гомеомоРфеп числовой прямой [соответствуюгций гомеоморфизм можно задать функцией х — ~ Гкх, но при этом прямая - - полное пространство, а интервал - -- нет.

6. Аксиомы отделимости. Хотя многие из основных понятий теории метрических пространств легко переносятся на произвольные топологические пространства, все же такие пространства представляют собой об ьект, слишком общий с точки зрения задач анализа. Здесь возникают ситуации, существенно отличающиеся от того, что может иметь место в метрических пространствах. Так, мы видели, что конечное множество точек в топологическом пространстве может быть не замкнутым [пример 4, п. 1, з 5) и т.п. Среди топологических пространств можно выделить пространства, более близкие по своим свойствам к пространствам метрическим. Для этого следует к аксиомам 1' и 2' топологичоского пространства [и. 1, ~ 5) присоединить еще те или иные дополнительные условия.

Такими условиями служат, например, аксиомы счетности; они позволяют изучать топологию пространства на основе понятия сходимости. Другой важный тип дополнительных условий составляют требования иной природы так называемые аксиолгы отделимости. Мы перечислим эту серию аксиом в порядке их постепенного усиления. А ксиома Т, [первая аксиома отделимости): для любых двух различных точек х и у пространства Т существуют окрестность Ок точки х, не содержащая точку у, и окрестность Ов точки у, не содержащая точку т. Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются Т, -пространсщвалгп.

Примером топологического пространства, не являющегося Тг-пространством, может служить связное двоеточие. В Тг-пространстве любая точка есть замкнутое множество. Действительно, если х у. -ры то существует окрестность Ов точки й, не содержащая х, т.е. 6 ф [х]. Поэтому [х) = х. Следовательно, ) уйетрика пространства К однозначно определяет его топологию, но не наоборот: одну и ту же топологию в П =- (Х, р) можно получить, задавая в Х различные метрики. 1 5. Топслссачесппс прсстрапстеа 103 в Тнпространстве замкнуто и любое конечное множество точек.

Более того, квк легко проверить, аксиома Т, в точности равносильна требованию замкнутости всех таких множеств. Выше (и. 1, з 5) мы определили предельную точку х множества ЛХ в топологическом пространстве Т как такую точку, для которой пересечение ХгйЛХ1,(х) непусто. Здесь ХХ " произвольная окрестность точки х. В пространствах, не удовлетворяющих аксиоме Т,, предельные точки могут иметь даже множества М, состоящие только из конечного числа точек. Пусть Т вЂ” связное двоеточие с топологией, состоящей из ю, (Ь) и (а,Ь).

Тогда точка а является предельной для множества М = (Ь). В Тыпространствах такое явление уже не может иметь места. Именно, верно следующее утверждение. Лемма. Для того чтобы точка х была предельной для множе; сгва ЛХ в Тыпространстве, необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность ХХ этой точки содержала бесконечно много точек из ЛХ.

Достаточность этого условия очевидна. Установим его необходимость. Пусть х предельная точка для ЛХ; допустим, что существует такая окрестность Г точки х, которая содержит только конечное число точек из ЛХ. Пусть хы..., х„все эти точки, кроме самой х (если таковая принадлежит ЛХ). Тогда И = ХХ '1 (хы...,х„) окрестность х и г П ЛХ 1 (х) = И. Всякое метрическое пространство заведомо является Т,-пространством. Поэтому за определение предельной точки множества в метрическом пространстве и было принято свойство, указанное в лемме. Усилением первой аксиомы отделимости является аксиома Тз.

Аксиома Тз (вторил, ила хаусдорфова, аксиома огадслимосгаи): любые две различные точки х и р топологического пространства Т имеют непересекающиеся окрестности Ос и Ою Пространства, удовлетворяющие этой аксиоме, называются Тз-пространствами, или харсдорфавмми пространствами.

Всякое хаусдорфово пространство есть Тыпространство, но не наоборот. Примером не хаусдорфова Тыпространства может служить отрезок [О, Ц, в котором открытыми считаются пустое множество и все ьшожества, получающиеся из отрезка выбрасыванием не более чем счетного числа точек. Аксиома Тз (третья аксиома отделимости): любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся Гл. П. Метрические и топологические просгприистео 104 окрестности. При этом окрестностью множества М в топологическом пространстве Т называется всякое открытое множество П, содержащее М. Этой аксиоме можно дать следующую эквивалентную формулировку: Любая окрестность Г произвольной точки х содержит меныпую окрестность той же точки, входящую в бг вместе со своим замыканием. Читатель может доказать это в качестве упражнения.

Поскольку в произвольном топологическом пространстве точка может не быть замкнутьгм множеством, третья аксиома отделимости интересна только для пространств, .удовлетворяющих аксиоме Т,. Пространства, удовлетворяющие обеим аксиомам Т1 и Тз, называются регулярными. Всякое регулярное пространство, разумеется, хаусдорфово.

Примером хаусдорфова пространства, не являющегося регулярным, может служить отрезок [О, 1], в котором окрестности всех точек, кроме точки О, определяются обы шым способом, а окрестностями нуля считаются всевозможные полуинтервалы [О, о), из которых выкинуты точки вида 1/и [тг = 1, 2,... ). Это хаусдорфово пространство, но в нелг точка О и не содержащее ее замкнутое множество [1/п) не отделимы друг от друга непересекающимися окрестностями, т. е. аксиома Тз не выполнена. Обычно в анализе не приходится встречаться с пространствами более общими, чем регулярные. Более того, как правило, интересные с точки зрения анализа пространства удовлетворяют и следующему более сильному требованию, тэк называемой нормальн о с т и пространства.

Аксиома Тг [аксиома нормальности): Т1-пространство называется нормальным, если в нем всякие два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности. К нормальным пространствам относятся, в частности, все метрические пространства. Действительно, пусть Х и У два непересекающихся замкнутых ьпюжества в метрическом пространстве Л.

Каждая точка х б Х имеет окрестность Ок, не пересекающуюся с У и, следовательно, находится от У на некотором положительном расстоянии р... Аналогично расстояние каждой точки у е У от Х есть положительная величина рю Рассмотрим открытые множества ) 1 П = [) В(х,ре/2) и 1г = [) В[у,р„/2), тех уег г) Здесь, как обычно, В(х,т) .

открытый шар радиуса г с центром т.. 5 5. Тополоеическпе пространства 105 содержащие Х и У соответственно, и покажем, что их пересечение пусто. Допустим, что е б Г Г1 'г». Тогда в Х существует такая точка хо, что р1хо,а) < р„/2, а в 1» такая точка уо, что Р1з, йо) < Рк„1'2. ПУсть длЯ опРеделенности Р,„< Ри,. Тогда р1хо, йо) ( р(хо, е) + р(е,хо) < р.,(2 + рв,(2 < рк„ т.е. хо б В1уо,рк,), но зто противоречит определении~ р„,. Наше утверждение доказано. Всякое подпространство метрического пространства само является метрическим пространством и поэтому всегда обладает свойством нормальности.

Это, вообще говоря, неверно для произвольных нормальных пространств: подпространство нормального пространства не обязано быть нормальным. Таким образом, нормальность пространства не есть наследственное свойство ). Наследственным свойством является так называемая ггвлзоа рееуллрноеьно топологических пространств, представляющая собой важное усиление свойства регулярности. Топологическое Т,-пространство называется вполне регулярным, если д.чя каждого замкнутого множества Е С Т и каждой точки хо Е Т'1г существует непрерывная на Т действительная функция 1, равная нулю в точке хо, единице на г и удовлетворяющая условию О < 1"1х) < 1.

Всякое нормальное пространство вполне регулярное), но не обратно. Любое подпрострацство вполне регулярного (в частности, нормального) пространства само вполне регулярно. А. Н. Тихонов, которому принадлежит и само понятие вполне регулярного пространства. показал, что класс вполне регулярных пространств совпадает с классом всех подпространств нормалыгых пространств. С точки зрения анализа вполне регулярные пространства важны потому, что на всяком таком пространстве имеется «достаточно много» непрерывных функций, именно, для любых различных точек х, у вполне регулярного пространства Т существует определенная на Т непрерывная вещественная функция, принимающая в зтих точках различные значения. Т.

Различные способы задания топологии н пространстве. Метризуемость. Самый прямой способ задать топологию в некотором пространстве состоит в том, чтобы непосредственно указать ~) Свойство Р называется наследствснныак если из того, что им обладает данное топологическое пространство Т, следует, что им обладают и все его подпростравства. ) Этот (совсем не очевидный) факт вытекает из следующей теоремы И. С. Урысона: если Т нормальное пространство и 1'г, 1а два его непересекающихся замкнутых подмножества, то на Т су~нествует непрерывная функция, 1 (О ( Лх) ( Ц равная нулю на йг и единице на йв. 106 Гл.

Характеристики

Список файлов книги