1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 17
Текст из файла (страница 17)
[Здесь [11) означает, естественно, замыкание пространства Л в Л'.) Например, пространство всех действительных чисел является пополнением пространства рациональных чисел. Теорема 3. Каждое метрическое пространство Л имеет пополнение, и зто пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей' неподвижными точки из Л. Доказательство. Начнем с единственности. Нам нужно доказать, что если Л* и Л** два пополнения пространства Л, 1 3. Полные метрические простронство 79 то существует такое взаимно однозначное отображение 97 пространства Л' на Л'*, что 1) 97(х) = х для всех х б Л; 2) если х" = 9о(х') и д*' = 9о(д'), то рс(х', д') = рз(х'*, д**), где р7 — расстояние в Л*, а рз — расстояние в Л". Отображение х определим следующим образом.
Пусть х' произвольная точка из Л'. Тогда по определению пополнения существует последовательность (хп) точек из Л, сходящаяся к х". Точки (хп) входят и в Л". Так как Л'" полно, то (х„) сходится в Л'" к некоторой точке х**. Ясно, что х*' ве зависит от выбора последовательности (хп), сходЯщейсЯ в точке х'. Положим 97(х') = х**.
Отображение р и есть искомое изометрическое отображение. Действительно, по построению 9о(х) = х для всех х Е Л. Далее, пусть (хп) -р х* в Л" и (хп) -э х" в Л*', (д ) †> д в Л и (д ) -э д * в Л тогда в силу непрерывности расстояния Рг(х*,д*) = 1йп Р7(х,од„) = 1йп Р(хп.,дп) и — е оо и — 1 се и, аналогично, рз(х"',д'*) = 1ш1 рз(хп,дп) = 1цп р(х„,дп).
п — есо и — есе Следовательно, Рык д ) = Рз(х* д ). Докажем теперь существование пополнения. Идея этогодоказательства та же, что и в капторовой теории действительных чисел. Положение здесь даже пропге, чем в теории дейсгвительных чисел, так как там для вновь вводимых объектов иррациональных чисел требуется еще определить все арифметические операции.
Пусть Л -- произвольное метрическое пространство. Назовем две фундаментальные последовательности (х„) и (х'„) из Л эквивалентными (обозначение (хн) (хп)), если 1пп р(х„„х'„) = О. Название «эквивалентность» оправдано, поскольку это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отсюда следует, что все фундаментальные последовательности, которые можно составить из точек пространства Л, распадаются на классы эквивалентных между собой последовательностей. Определим теперь пространство Л'.
За его точки мы примем всевозможные классы эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей, а расстояние между ними зададим следующим образом. Пусть х' и д* два таких Гл. Рн Метрические и тополоеические пространства 80 класса. Выберем в каждом нз зтих классов по одному представи- телю, т. е. по некоторой фундаментальной последовательности (хп) и (уп), Положим' ) р(х*,у*) = 1пп р(х„,уп). (3) Докажем корректность этого определения расстояния, т.е.
дока- жем, что предел (3) существует и не зависит от выбора представи- телей (хп) Е х" и (уп) й у*. В силу неравенства ~Р(Хп~ Уп) Р(Хт Ут) ~ < Р(Хп > Хп1) + Р(У|о Ут) (4) получаем, что для всех достаточно больших и н т МХ„, Уп) — Р(Хп„У ) ~ < 8, так как последовательности (хп) и (уп) фундаментальные. Таким образом, последовательность действительных чисел яп = = р(хп, у„) удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел. Этот предел не зависит от выбора (хп) Е х* и (уп) Е у'. Дейст- вительно, .пусть (хп), (х'„) Е х' и (Уп), (Уп) б У*.
Выкладка, в точности аналогичная (4)., дает ~р(х,,у„) — р(х„,у„)~ < р(хп,х„) + р(уп,у„). Поскольку (хп) (х'„) и (у„) (у„'), отсюда следует, что 1ш1 р(хп, уп) = 1пп р(~„, у„'). Докажем, что в Л' выполнены аксиомы метрического простран- ства. Аксиома 1) непосредственно вытекает нз определения зквива- лентности фундаментальных последовательностой. Аксиома 2) очевидна. Проверим аксиому треугольника. Так как в исходном простран- стве В аксиома треугольника выполнена, то Р(хи~ хо) ~ ~Р(хп~ Уп) + Р(усеяв). Переходя к пределу при и -уоо, получаем 1ии р(хп,яп) < 1пп р(хп, у„) + 1пп р(уп, хп), т. е. ') Чтобы не усложнять записм мы обозначаем расстояние в ет* тем же символом р,что и расстояние в исходном пространстве М. 1 4.
Принцип оживающих отображений Докажем теперь, что Л можно рассматривать как подпространство пространства Л'. Каждой точке я Е Л отвечает некоторый класс эквивалентных фундаментальных последовательностей, именно, совокупность всех последовательностей, сходящихся к точке х. Этот класс пепуст, поскольку он содержит стационарную последовательность, все члены которой равны х. При этом, если х = 1ш1 хп и у = 11ш у„то и-пж и-оео Р1х у) = 11ш Р1хп:уп).
и-оее Следовательно, соотнеся каждой точке х Е Л класс х' сходящихся к ней фундаментальных последовательностей, мы изометрически отобразим Л в пространство Л'. В дальнейшем мы можем не различать само пространство Л и его образ в Л* и рассматривать Л как подпространство в Л'.
Покажем теперь, что Л всюлу плотно в Л'. Действительно, пусть х" некоторая точка из Л" и в > О произвольно. Выберем в х* представителя, т.е. некоторую фундаментальную последовательность 1хп). ПУсть Х таково,что Р(хп, х,п) < е длЯ всех и, т > Х. Тогда имеем Р1хп~ х ) — 11ш Р~хп; хт) при п > 4х', т.е.
произвольная окрестность точки я" содержит некоторую точку из Л. Таким образом, замыкание Л в Л* есть все Л". Остается доказать полноту Л*. Заметим, прежде всего, что по построению Л* любая фундаментальная последовательность хы..., тп,... точек из Л сходится в Л* к некоторой точке, а именно, к точке я* Е Л*, определяемой самой этой последовательностью. Далее, так как Л плотно в Л', то для любой фундаментальной последовательности я*„..., я„",... точек из Л' можно построить эквивалентную ей последовательность яы..., хп,... точек из Л. Для этого достаточно в качестве х„взять любую точку из Л, такую, что р(х„,я,'„) < 1/и.
Построенная последовательность 1х„) фундаментальна в Л и, по определению, сходится к некоторой точке х* Е Л*. Но тогда к я* сходится и последовательность 1х,*,). з 4. Принцип сжимающих отображений и его применения 1. Принцип сжимающих отображений. Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствую- Гл.
П. Метрические и тополоеические пространстоа 82 щего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один из простейших и в то же время наиболее важных так называемый принцип сжимающих отображсвий. Пусть В --метрическое пространство. Отображение А пространства Л в себя называется сжимающим отображением, или короче, сжатием, если существует такое число о < 1, что для любых двух точек хе у е Л выполняется неравенство р(Ах, Ау) < ор(х,у) Всякое сжимающее отображение непрерывно. Действительно, если х„— + х, то в силу (1) и Ахп -+ Ах.
Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если Ах = х. Иначе говоря, неподвижные точки это решения уравнения Ах = х. Теорема 1 (принцип сжимающих отображений). Всякое, сжимающее отображение., определенное в полном метрическом пространстве В, имеет одну и только одну неподвижную точку. Доказательство. Пусть хо произвольная точка в Л. Положим х1 = .4хо, хз = .4х1 = .4' то и т.дц вообще, х„= Ах„1 = А" хо. Покажем., что последовательность (х„) фундаментальная. Действительно, считая для определенности пе > п, имеем р(хп, х„,) = р( 4пхо, -4 хо) < опр(хо, х — и) < ь о (Р(хо)х1) + Р(х1 хз) + + Р(хт — и — 1 хт — и)) < о р(хо,х~)(1+о+о + .
+о ) < < о Р(хо,х1) 1 Так как о < 1, то при достаточно большом и эта величина сколь угодно мала. В силу полноты Л последовательность (хп), будучи фундаментальной, имеет предел. Положим х= 1ппх„. и — есо Тогда в силу непрерывности отображения А .4х = А 1пп х„= 1пп Ахп ее 1пп х„т = х. и-Еоо и — есс п- с Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Если Ах=х, Ау=у., 1 4. Принцип еж моющих отображений то неравенство (1) принимает вид так как о < 1, отсюда следует, что р(х,у) = О, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
