1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Сумма любого (конечного или бесконечного) числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые лиюжества. Множества, принадлежащие о-алгебре, порожденной всеми открытыми и замкнутыми подмножествами пространства Л, называются борелевскими мнвжестпвами. 5. Открытые и замкнутые множества на прямой. Структура открытых и замкнутых множеств в том или ином метрическом пространстве может быть весьма сложной. Это относится к открытым и замкнутым множествам даже евклидова пространства днух или большего числа измерений. Однако в одномерном случае, т.е. на прямой, исчерпывающее описание всех открытых множеств (а следовательно, и всех замкнутых) не представляет труда.

Оно дается следующей теоремой. Теорема 5. Всякое открытое множество на числовой прямой представляет собой сумму конечного или счетного числа попарно непересекаюгнихся интервалов ~). Доказательство. Пусть С открытое множество на прямой. Введем для точек из С отношение эквивалентности, считая, что х у, если существует такой интервал (о,,б), что х, у с (о, Уз) С С. Очевидно, это отношение рефлексивно и симметрично, оно и транзитивно, так как если х - у и у х, то существуют такие интервалы (о,~З) и (у, д), что х,. у к (о„З) С С и у, х Е ( у, Б) С С.

Но тогда Т < д и интервал (о, б) лежит целиком в С и содержит точки х и ж Следовательно, С распадается на непересекающиеся классы 1, эквивалентных между собой точек: Докажем, что каждое 1 есть интервал (а,6), где а=1п(1,6=вир1 . Включение 1„С (а, 6) очевидно. С другой стороны, если х, у Е 1„, то по самому определению 1, интервал (х, у) содержится в 1,. В любой близости от а справа и в любой близости от 6 слева есть точки из 1,. Поэтому 1 содержит любой интервал (а', Ь'), концы которого принадлежат (а, 6), откуда 1, = (а, 6). Система таких непересекающихся интервалов 1, не более чем счстна; действите.чьно, выбрав ) Множества вида ( — оо,со), (о, со) и ( — оо„д) иы нри этом также включасы в чио тс интервалОв.

!И. 10 Метринесние и тополоеинесние пространства 7О в каждом из этих интервалов произвольным образом рациональ- ную точку, мы установим взаимно однозначное соответствие между этими интервалами и некоторым подмножеством множества рацио- нальных чисел. Теорема доказана. Е= Пг„. =о Множество г' замкнутое (как пересечение замкнутых): оно получается из отрезка [О, 1[ выбрасыванием счетного числа интервалов. ро ъз 1 ъз — р 7/9 8/9 о пз О 113 09 2/9 Рис. 8 Рассмотрим структуру множества Е. Ему принадлежат, очевидно точки 1 2 1 2 7 8 3' 3' 9' 9' 9' 9'''' (1) концы выбрасываемых интервалов. Однако множество Р не исчерпывается этими точками.

Действительно, точки отрезка [0,1[, Так как замкнутые множества что дополнение открытых, то из теоремы 5 следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается выбрасыванием из прямой конечного или счеттюсо числа интервалов. Простейшие примеры замкнутых множеств ". отрезки, отдельные точки и суммы конечного числа таких множеств. Рассмотрим более сложный пример замкнутого множества на прямой так называемое каншорово леножестоо. Пусть го отрезок [О, 1]. Выбросим из него интервал р, — ), /1 21 а оставшееся замкнутое множество обозначим Гы Затем выбросим из г'1 интервалы ~ —, — ) и ~ — — ), а оставшееся замкнутое множество 1,9' 9) 1,9' 9)' (состоящее из четырех отрезков) обозначим гш В каждом из этих 7113 четырех отрезков выбросим средний интервал длины [-) и т.д.

' [3) [рис. 8). Продолжая этот процесс, получим убывающую последовательность замкнутых множеств Ги. Положим 1 2. Сходимость. Открытые и сомкнутые мноесестее 71 которые входят в множество Е, можно охарактеризовать следующим образом. Запишем каждое из чисел я, О < х < 1, в троичной системе счисления Х= — + —.+ . + — о+ ае аг и„ 3 Зг 3" где числа ан могут принимать значения О, 1 и 2. Как и в случае десятичных дробей, некоторые числа допускают двоякую запись. Например, — = — + —.

+ . + — о+ . = — + —. + — + .. + — + .. 1 1 О О О 2 2 2 3 3 Зг 3" 3 Зг Зг 3 Легко проверитгч что множеству й' принадлежат те и только те числа х, О < щ < 1, которые могут быть записаны хотя бы одним способом в виде троичной дроби так, чтобы в последовательности аг,..., а„,... нн разу не встретилась единица. Таким образом, каждой точке х Е Е можно поставить в соответствие последовательность аг; Гсо ~ [2) где ан равно О нли 2. Совокупность таких последовательностей образует множество мощности континуума. В этом можно убедиться, поставив в соответствие каждой последовательности [2) последовательность Ь,...,ьн,..., [2') где Ь„= О, если а„= О, и Ь„= 1, если а„= 2. Последовательность [2') можно рассматривать как запись некоторого действительного числа р, О < д < 1, в виде двоичной дроби.

Таким образом, мы получаем отображение множества Г на весь отрезок [О, Ц. Отсюда вытекает, что Г имеет мощность континуума '). Так как множество точек [1) счетно, то эти точки не могут исчерпывать все Г. У и р а ж н е н и я. 1. Доказать непосредственно, что точка 1/4 принадлежит множеству Г, не являясь концом нн одного нз выбрасываемых интервалов. Указание. Точка 174 делит отрезок [О, 1[ в отношении 1: 3. Отрезок [О, 173[, остающийся после первого выбрасывания, она долит также в отношении 1: 3 н т.д. Точки [Ц называются точками первого рода, множества с, остальные его точки называются точками второго рода.

~1Уставоелевеюе соответствие между Р н отрезком [О, Ц однозначно., ео не взаимно однозначно [нз-за того, что одно н то же число иногда может изображаться различными дробямну Отсюда следует, что Р имеет мощность не ыеныее, чем мощность континуума. Но Р часть отрезка [0,1Ь следовательно, его мощность не может быть больша, чем мощность континуума. Рл. В. Метрические и тоиолоеические простраистоо 72 2.

Доказать, что точки первого рода образуют в Г всюду плотное множество. 3. Показать, что числа вида Ег -> Ею где ХмЕг б Г, заполняют весь отрезок [О, 2]. Мы показали, что множество Г имеет мощность континуума, т.е. содержит столько же точек, сколько и весь отрезок [О, 1[.

С этим фактом интересно сопоставить следующий результат: сумма длин — + — + — +... всех выброшенных интервалов составляет 1 2 4 3 9 27 в точности единицу! Дополнительные за меч азия. (1) Пусть ЛХ " некоторое множество в метрическом пространстве В и х точка этого же пространства.

Расстоянием от елочки х до миозюестоа М называется число р(х, М) = 1пЕ р(х, а). Если х б М, то р(х, ЛХ) = О, однако из того, что р(х, М) = О, не следует, что х б ЛХ. Из определения точки прикосновения непосредственно получаем, что р(х,М) = 0 в том и только том случае, когда х точка прикосновения множества М. Таким образом, операцию замыкания можно определить как присоединение к множеству всех тех точек, расстояние от которых до множества равно нулю.

(2) Аналогично определяется расстояние между двумя множествами. Если А, В два множества в метрическом пространстве В, то р(А,В) = шЕ р(а,Ь). ел; сев Если А О В ~ И, то р(А, В) = 0: обратное, вообще говоря, неверно. (3) Пусть Мк -- множество всех функций Х из С[а, Ь], удовлетворяющих условию Липшица: для всех 1г, Ег б [а, Ь[ [у(11) у(1г)[ < К[11 Хг[ где К некоторое фиксированное число. Множество ЛХк замкнуто. Оно совпадает с замыканием множества всех днфференпнруемых на [а, Ь] функциИ таких, гго [Х~(1)[ < К. (4) Множество М = [) Мк всех функций, каждая из которых удовлеи творяет условию Лившица прн каком-либо К, не замкнуто.

Его замыкание есть все С[а, Ь[. (5) Открытое множество С в и-глервом евклидовом пространстве называется связным, епии любые две точки х, у б С могут быть соединены лоъганой, целиком лежащей в С. Например, внутренность круга хе + уг < 1 .

- связное множество. Наоборот, сумма двух кругов х л-у <1 и (х — 2) Ч-у <1 1 3. Полные метрические пространства не связное множество (хотя у этих кругов есть общая точка прикосновения!). Открытое подмножество Н открытого множества С называется компоненгпоа множества С, если оно связно и не содержится ни в каком большем связном открытом подмножестве С.

Введем в С отношение эквивалептносги; х у, если существует открытое связное подмножество Н из С, накрывающее х и у: х,убНСС. Как и в случае прямой, легко проверяется транзитивность и поэтому С распадается на непересекающиеся классы: С = О1. Эти классы -- открытые компоненты С. Число их не более чем счетно. В случае и = 1, т.е.

на прямой, всякое связное открытое множество есть интервал (в число интервалов включаются и бесконечныо интервалы ( — оо,а), (Ь, сс) и ( — со,оо)). Такпм образом, теорема 5 о строении открытых множеств на прямой состоит нз двух утверждений: а) всякое открытое множество па прямой есть сумма конечного нли счетного числа компонент и б) связное открытое множество на прямой есть интервал. Первое из этих утверждений верно н дпя множеств в и;мерных евклидовых пространствах (и допускает дальнойшие обобщения), а второе относится именно к прямой. '1 3. Полные метрические пространства 1.

Характеристики

Список файлов книги