1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Кольцо множеств называется б-кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств Аы,,, ..., А„,... содержит пересечение Р = ПАи. и Естественно назвать и-алгеброй и-кольцо с единицей и б-алгеброй б-кольцо с единицей. Легко, однако, видеть, что эти два понятия совпадают: каждая и-алгебра является в то же время б-алгеброй, а каждая б-алгебра — — о-алгеброй. Это вытекает нз соотношений двойственности (см. 2 1) ) )А„= Е~П(Е~А„), и и Простейшим примером ее-алгебры является совокупность всех подмножеств некоторого множества А. Если имеется некоторая система множеств б, то всегда существует хотя бы одна п-алгебра, содержащая эту систему. Действительно, положим и рассмотрим систему т» всех подмножеств множества Л. Ясно, что З есть п-алгебра, содержащая еэ.
Если В . —. произвольная ее-алгебра, содержащая ю, и Л -- ее единица, то каждое А е Ь содержится в Л и, слсдователыю, Х = О А С Х. Назовем яеь и-алгебру З неприводимой (по отношению к сислсме. еэ), осли Х = Ц А. Иначе говоря, веприводимая ее-алгебра это п-алгебра, лев не содержащая точек, не входяпих ни в одно из А Е б. Естественно в каждом случае рассмотрением только таких ее-алгебр н ограничиваться.
Для неприводимых ее-влгебр имеет место теорема, аналогичная теореме 2, доказанной вьппе для колец. Теорема, 4. Для любой непустой системы множеств ю существует неприводимая (по отношению к этой системе) и-алгебра 1 5. Системы множеств 53 З(б), содержаьная Ь и содержвшаяся в любой о-алгебре, содержа- шей 15. Доказательство проводится в точности тем же методом, что и доказательство теоремы 2; о-алгебра Ж(Я) называется минимальной о-алгеброй над системой' б. В анализе важную роль играют так называемые борелевские множества, или В-множества - множества па числовой прямой, принадлежащие минимальной сс-алгебре над совокупностью всех сегментов (а, 6).
5. Системы множеств н отображения. Отметим следующие факты, которые нам понадобятся при изучении измеримых функций. Пусть 9 = .?(т) — функция, определенная на множестве ЛХ и принимающая значения из множества Ле, и пусть 91? -- некоторая система подмножеств множества ЛХ. Обозначим через Д91?) систему всех образов г" (А) множеств, принадлежащих 91?. Пусть, кроме того, % .— некоторая система множеств, содержаьцихся в Х, и т" 1(%) .- . система всех прообразов ? '(А) множеств, входящих в %.
Справедливы следующие утверждения, проверка которых предоставляется читателю: 1) Если % есть кольцо, то и ? '(%) есть кольцо. 2) Если % есть алгебра, то и у '(%) есть алгебра. 3) Если % есть се-алгсбра, то и г"' 1(%) есть сг-алгебра. 4) %(1 '(З)) = ~' '(%(Ж)). 5) З(1 '(З)) = 1 '(З(%)).
Останутся ли эти утверждения справедливыми, если ? 1 заменить на ?', а% ва 93?? ГЛАВА П МЕТРИт1ЕСНИЕ И ТОПОЛОГИт1ЕСЕИЕ ПРОСТРАНСТВА з 1. Понятие метрического пространства 1. Определение и основные примеры. Одной из важных операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действительных чисел (т, е, с тем, что они образуют поле), а опираются лишь па понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства одному. из важнейших понятий современной математики.
Ниже мы изложим основные факты теории метрических пространств и их обобщения -"- топологических пространств. Результаты этой главы существенны для всего дальнейшего изложения. Определение. Метрическим пространством называешься па- ра 1Х,р), состоящая из некоторого мяваюества (пространства) Х элвменшвв (точек) и рвссшвяния, т.е. однозначной, неотрицатель- ной, действительной функции р(х, у), определенной для любых х и у из Х и подчиненной следующим трем аксиомам; 1) р(х,. у) = О тогда и только тогда, когда х = у, 2) р(х, у) = р(у, х) (аксиома симметрии), 3) р(х, в) < р(х, у) + р(у, х) (аксиома треугольника).
Само метрическое пространство, т. е. пару (Х, р), мы будем обозначатгч как правило, одной буквой: л=(х,р). В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем зачастую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» Х. Приведем примеры метрических пространств. Некоторые из этих пространств играют в анализе весьма важную роль. 1 1. Понянше метрического пространства 1.
Положив для элементов произвольного множества О, если х=у, р(х,у) = 1, если хну, мы получим, очевидно, лгетрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек. 2. Множество действительных чисел с расстоянием р(ху) = ~х — Ы образует метрическое пространство К1. 3. Множество упорядоченных групп из п действительных чисел х = (хл,...,х„) с расстоянием называется п-мерным арифметическим евклидовъьм проспьранством йп. Справедливость аксиом 1) и 2) для Б!и очевидна.
Покажем, что в К" выполнена и аксиома треугольника. Пусть х = (х1,...,х,), 1У=(У1 " У ) =(,", ); тогда аксиома треугольника записывается в виде ~(уь — хь)г + г Ь=1 Полагая уь — хь = аь, сь — уь = 6ь, получаем гь — хь = вь + 61., а неравенство (2) принимает при этом вид о.г + 2 6-„ (3) Но это неравенство сразу следует из известного неравенства Коши— Буняковского' ) и г п и (Е,ь,) с т' , 'т ь'„ а=1 Ь=1 Ь=1 ') Неравенство Коши — Буняковского вытекает из тождества лг а101) =. ~ ал ' Х ХЬь — 2,'г,У,ььа,ьг — Ь,а,) ь 1=1 1=1 1=1 которое проверяется непосредственно. п р(х,у) = ~ (уь — х.)' Ь=.1 п ~( )г< 1=1 г а ~~',(вь + 6ь)г < 1=1 и ~(хь — ул)г.
(2) Ь=1 Гл. РЬ метрические и тополоеические пространства 56 Действительно, в силу этого неравенства имеем п и п [пг+ Ь1-)з = ~~~ а~~+ 2~ пгЬь+ р Ь~ < ( ~па+2 а=1 ~па ~ 'Ьз+ С, 'Ьг 'ех 'из + тем самым неравенство [3), а следовательно, и [2) доказаны. 4. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из и действительных чисел я = [х1,...,я„), но расстояние определим в нем формулой (5) также образует метричт кое пространство. Аксиомы 1)--3) проверяются непосредственно. Это пространство играет очень важную роль в анализе.
Мы будем его обозначать тем же символом С[п, Ь), что и само множество точек этого пространства. Вместо С[0, Ц мы будем писать просто С. 7. Обозначим через 11 метрическое пространство, точками кото- РОГО СЛУжат ВСЕВОЗМОЖНЫЕ ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтИ и = (Я1,..., Хн,... ) действительных чисел, удовлетворяющие условию 1 < СО, 5=1 5=1 Справедливость аксиом 1) — 3) здесь очевидна. Обозначим это метри- ЧЕСКОЕ ПРОСтРаНСтВО СИМВОЛОМ Кпг. 5. Возьмем снова то же самое множество, что н в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами формулой Р, [х,р) = 1пах [Уь — Яь[. (6) 1<1<о Справедливость аксиом 1)-.3) очевидна. Это пространство, которое мы обозначим В", во многих вопросах анализа пе менее удобно, чем евклидово пространство Кп. Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества, его точек, так как один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.
6. Множество С[п, Ь) всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте [а, Ь), с расстоянием р[р,д) = щах [у(г) — 7[г)[ (7) «<5 1 1. Понлпше метрического пространство 57 а расстояние определяется формулой Р(х У) = Е(У1 ' 1) . й=1 (8) Из элементарного неравенства (хй х уй)а < 2(хь + узй) следует, что функция р(х, .у) имеет смысл для всех х, у й 11, т. е. ряд 2,' (уй — хй)з й=-1 сходится, осли ~х,<со и ~ ~у„< й=1 й=1 Покажем теперь,что функция (8) удовлетворяет аксиомам метрического пространства.
Аксиомы 1) и 2) очевидны, а аксиома треугольника принимает здесь внд (пй — хй)в < 1 В 1=1 ~~',( й — уй)з + ~~',Ьй — хй)з з з 1 — — 1 1=1 В силу сказанного выше каждый из трех на сходится. С другой стороны, при каждом и спр писанных здесь рядов авсдливо неравенство в и ~(ай — хй)в < й=1 о о и и ~( й — уй)1 + ~(уй — хй)о й=1 1=1 с е ь ь У ® (')"~ -'Г "®"' 1~(')"' и и ь 1) Это неравенство может быть получено, например, нз легко проверяемого тождества ( ь ь ь ь ь ~ (1) у(1) йе) =- / е(1) йь / р'(1) йь — ~2 /' ~ (х( )р(1) — у(в)х(1))ей Ш. (см.
пример 4). Переходя здесь к пределу при и -ь оо, получаем (9), т.е.неравенство треугольника в Ьз. 8. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функций, непрерывных на отрезке [а, б[, но расстояние определим иначе, а именно, положим 1/О р(х,у) = ()'(х(1) — у(1))одй) (10) Такое метрическое пространство мы будем обозначать Со[а,о[ и называть простпранспьвом непрерывных функций с квадратичной метрикой. Здесь аксиомы 1) и 2) метрического пространства опять- таки очевидны, а аксиома треугольника непосредственно вытекает из интегральной формы неравенства Коши--Буняковского ) Рл. И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
