1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Пусть х Е [[ЛХ]]. Тогда в любой окрестности 0,[х) этой точки найдется точка хь Е [ЛХ]. Положим е — р[х,хь) = еь и рассмотрим шар О„[хь). Этот шар целиком лежит внутри цьара Ое [г), Действительно, если г 6 0„[хь), то р(г, хь) < еь, и так как р[х, хь) = е — еь, то по аксиоме треугольника р(г,х) (еь + [е — еь) =е, т.е. г е 0,[х). Так как гь е [ЛХ], тон 0„[хь) найдется точка хе е ЛХ. Но тогда хг Е О,[х). Так как О,[х) — произвольная окрестность точки х, то х Е [М]. Второе утверждение доказано.

Третье свойство очевидно. Докажем, наконец, четвертое свойство. Если х Е [Мь О ЛХг], то х содержится по крайней мере в одном из множеств [ЛХь] или [ЛХз], т, е. [ЛХь ГЬЛХз] С [ЛХь] Ь.Ь [ЛХз]. Так как Мь С Мь 0 ЛХз и ЛХз С ЛХь О ЛХьь то обратное включение следует из свойства 3). Теорема доказана полностью. Точка х Е Л называется предельной точкой множества М С Л, если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из ЛХ. Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать ЛХ.

Например, если ЛХ вЂ” — множество рациональных чисел из отрезка [О, 1], то каждая точка этого отрезка -- предельная для ЛХ. Точка х, принадлежащая ЛХ, называется изолированной пьочкой' этого множества, если в достаточно малой ее окрестности Ое(х) нет точек из ЛХ, отличных от х. Предлагаем читателю доказать в качестве упражнения следующее утверждение: Всякол точка прикосновения лтоэесества М есьпь либо предельная, либо изолированнол точка эпюго мноэьсества. Отсюда можно заключить, что замыкание [ЛХ] состоит, вообще гоььоря, из точек трех типов: 1) изолированные точки множества М; 2) предельные точки множества М, принадлежащие ЛХ, 3) предельные точки множества М, не принадлежащие ЛХ.

Таким образом, замыкание [ЛХ] получается присоединением к ЛХ всех его предельных точек. 2. Сходимость. Пусть гь,хз,... — последовательность точек в метрическом пространстве Л. Говорят, что эта последовательность 1 2. Скодамеекее. Открытые и замкнутые мненееетеа сходится к гпочкс х, если каждая окрестность 0,(х) точки х содержит все точки хо, начиная с некоторой, т. е. если для всякого с > О найдется такое число 1ч„что О, (х) содержит все точки х„с и > 1че Точка х называется пределом последовательности (хк).

Это определение можно, очовидно, сформулировать еще и следующим образом: последовательность (х„) сходится к х, если 11пг р(х,х„) = О. Непосредственно из определения предела вытекает, что 1) никакая последовательность не может иметь двух различных пределов и что 2) если последовательность (хк) сходится к точке х, то и всякая ее подпоследовательность сходится к той же самой точке. Следующая теорома устанавливает тесную связь между понятиями точки прикосновения и предела.

Теорема 2. Для того любы точка х была точкой прикосновения множества ЛХ, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность (х„) точек нз М, сходящаяся к х. Доказательство. Условие необходимо, так как если х точка прикосновения множества ЛХ, то в каждой ее окрестности О, е„(х) содержится хотя бы одна точка хк Е ЛХ.

Эти точки образуют последовательностгь сходящуюся к х. Достаточность очевидна. Если х — предельная точка множества ЛХ, то точки хк Е Ог1к(х) с1 ЛХ, отвечающие разным и, можно выбрать попарно различными. Таким образом, для тпого чтобы точка х была предельной длл ЛХ, необходимо и достаточно, чтобы в ЛХ существовала послсдооатсльность попарно различных точек, сходлщ нсл к х. Понятие непрерывности отображения метрического пространства Х в метрическое пространство У, введенное в ~ 1, можно теперь сформулировать в терминах сходимости последовательпостой. Именно, отображение у = Х(х) непрерывно в точке хо, если для всякой последовательности (х„), сходящейся к хо,послсдовательность (ук ее Х(х„)) сходится к ув = Х(хв).

Доказательство равносильности этого определения приведенному в 1 1 ничем пе отличается от доказательства равносильности двух определений непрерывности («на языке е, д» и «на языке последовательностей») функций числового аргумента и может быть предоставлено читателю. 3. Плотные подмножества. Пусть А и В два множества в метрическом пространстве ХХ. Множество А называется плотным в В, если [А) ~ В. В частности, множество А называется всюду плоггеным (в пространстве В), если его замыкание [А) совпадает со рл.

П. Метрииесние и тополоеинесние пространства всем пространством Л. Например, множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой. Множество л1 называется нигде не. плвтнмле, если оно не плотно ни в одном шаре, т. е. если в каждом шаре В С Л содержится друтой шар В', не имеющий с А ни одной общей точки. Примеры пространств, имеющих вснвду плотное с ч е т н о е м п о ж е с т в о. Пространства, в которых имеется счетное всюду плотное множество, называют сепврвбельньеми. Рассмотрим с этой точки зрения примеры, которые приведены в з 1.

1. «Дискретное» пространство, описанное в примере 1 З 1, содержит счетное всюду плотное в нем множество тогда и только тогда, когда оно само состоит лишь из счетного числа точек. Дело в том, что замыкание ~Ъ|) любого множества М в этом пространстве со~~адан~ с ЛХ. Все пространства, перечисленные в примерах 2 — 8 з 1, содержат счетные всюду плотные множества. Укажем в каждом из них по такому множеству, настоятельно рекомендуя читателю провести подробные доказательства.

2. На действительной оси В - -. рациональные точки. 3-5. В п-мерном евклидовом пространстве Кп и в пространствах К", К",, совокупность векторов с рациональными координатами. 6. В просгранстве С~а, 5) -- совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами. 7. В пространстве 1г совокупность последовательностей, в каждой из которых все члены рациональны и лишь конечное (свое для каждой последовательности) число этих членов отлично от нуля. 8. В пространстве Сг [а, 5) — — совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами.

Вместе с тем пространство ограниченных последовательностей т (пример 9 з 1) несепарабельно. Действительно, рассмотрим всевозможные последовательности, состоящие из нулей и единиц. Они образуют множество мощности континуума (так как между ними и подмножествами натурального ряда можно установить взаимно однозначное соответствие).

Расстояние между двумя такими точками, определяемое формулой (11) з 1, равно 1. Окружим каждую из этих точек открытым шаром радиуса 1/2. Эти шары пе пересекаются. Если некоторое множество всюду плотно в т, то каждый из построенных шаров должен содержать хотя бы по одной точке из этого множества, и, следовательно, оно не может быть счетным. 1 и Сходимоеть. Открытые и 'замкнутые мноыееетва 4. Открытые и замкнутые множества. Рассмотрим важнейшие типы множеств в метрическом пространстве, а именно, открытые и замкнутые множества. Множество ЛХ, лежащее в метрическом пространстве В, называется, замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием: ]ЛХ] = ЛХ.

Иначе говоря, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельпыс точки. В силу теоремы 1 замыкание любого множества ЛХ есть замкнутое множество. Из той же теоремы вытекает, что (ЛХ] есть наименьшее замкнутое множество, содержащее ЛХ. (Докажите это!) Примеры. 1. Всякий отрезок [а, Л] числовой прямой есть замкнутое множество. 2. Замкнутый шар представляет собой замкнутое множество. В частности, в пространстве С(п, Ь] множество функций Х, удовлетворяющих условию ]Х(1)] < К, замкнуто. 3.

Множество функций в С(а, 6], удовлетворяющих условию ]Х(1)] < К (открытый шар), не замкнуто; его замыкание есть совокупность функций, удовлетворяющих условию ]Х(Х)] < К. 4. Каково бы ни было метрическое пространство ХХ, пустое множество О и все Л замкнуты. 5. Всякое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто. Основные свойства замкнутых множеств можно сформулировать в виде следующей теоремы. 'Теорема 3. Пересечение любого числа и сумма любого конечного числа замкнутых ещожсств суть замкнутые множества. Доказательство.

Пусть Е = рзг' пересечение замкнутых множеств Е и пусть х предельная точка для Х'. Это означает, что любая ее окрестность 0,(х) содержит бесконечно много точек из Г. Но тогда тем более Ое(т) содержит бесконечно много точек из каждого Еа и, следовательно, так как все Еа замкнуты, точка х принадлежит каждому Е„; таким образом, х Е Х' = йХ', т.е. Е замкнуто. Пусть теперь Г сумма конечного числа замкнутых и множеств: п Г = () Хы и пусть точка х не принадлежит Г.

Покажем, что х 1=1 не может быть предельной для Х'. Действительно, .х не принадлежит ни одному из замкнутых множеств Хы следовательно, не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого 1 можно !И. !!. Метрические и тополоеичесиие пространства найти такую окрестность Ое, (х) точки х, которая содержит ни более чем конечное число точек из В о Взяв из окрестностей Ое, (х),..., О,„(х) наименьшую, мы получим окрестность О, (х) точки х, содержащую не более чем конечное число точек из Е. Итак, если точка х не принадлежит Е, то она пе может быть предельной для Е,. т. е.

Г замкнуто. Теорема доказана. Точка х называется внутреннеб точкой множества ЛХ, если существует окрестность О,(х) этой точки, целиком содержащаяся в ЛХ. Множество, все точки которого внутренние, называется открытым. П р и и е р ы. 6. Интервал (а, б) числовой прямой К~ есть открытое множество; действительно, если а < о < б, то Ое(о), где е = ш!п(о — а, б — о), целиком содержится в интервале (а, б). 7.

Открытый шар В(а, е) в любом метрическом пространстве Л есть открытое множество. Действительно, если х Е В(а,г), то р(а, х) < г. Положим в = г — р(а, х). Тогда В(х, в) с В(а, г). 8. Множество непрерывных функций на [а, б), удовлетворяющих условию Х(!) < д(!), где д(!) - некоторая фиксированная непрерывная функция, представляет собой открытое подмножество пространства С[а, б). Теорема 4. Для того чтобы множество М было открыто, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение Л у М до всего пространства Л было замкнуто.

До к а з а т е л ь с т в о. Если ЛХ открыто, то каждая точка х из М имеет окрестность, целиком принадлежащую ЛХ, т.е. не имеющую ни одной общей точки с Л У, ЛХ. Таким образом, ни одна из точек, не принадлежащих Л У, ЛХ, не может быть точкой прикосновения для Л У, ЛХ, т. е. Л у ЛХ замкнуто.

Обратно, если Л у М замкнуто, то лк>бая точка из М имеет окрестность, целиком лежащую в ЛХ, т.е. ЛХ открыто. Так как пустое множество и все Л замкнуты и в то же время служат дополнениями друг друга, то пустое множество и все' Л вткрытьь Из теоремы 3 и из принципа двойствешюсти (пересечение дополнений равно дополнению суммы, сумма дополнений равна дополнению пересечения, см. п. 2 б' 1 гл. 1) вытекает следу.ющая важная теорема, двойственная теореме 3. 6 2. Оходнмость. Открытые и замкнутые мнозк:естес Теорема 3'.

Характеристики

Список файлов книги