1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1 о. Системы мноисесте 47 Так как в силу теоремы Цермело всякое множество можно вполне упорядочить, трансфинитная индукция может быть, в принципе, применена к любому множеству. Однако практически бывает удобнее пользоваться заменяющей ее леммой Цорна, которая опирается лишь на наличие частичной упорядоченности в рассматриваемом множестве. А некоторая частичная упорядоченность рассматриваемых обьектов в задачах, требующих применения леммы Цорна, обычно возникает естественным образом, «сама собой». й 5. Системы множествг) 1. Кольцо множеств. Системой множеств называется всякое множество, элементы которого сами представляют собой какие-либо множества.
Если не оговорено противное, мы будем рассматривать системы таких лзпожеств, каждое из которых является подмножеством некоторого фиксированного множества Х. Системы множеств мы будем обозначать прописными готическими буквами. Основной интерес для нас будут представлять системы множеств, удовлетворяющие (по отношению к введенным в з 1 операциям) некоторым определенным условиям замкнутости. Определение 1. Непустая система множеств Я называется кольг1ом, если она обладает тем свойством, что из .4 й Я и В й Я следует А а В б Я и А О В Е Я.
Так как для любых А и В АОВ=(АсЛВ)0(АОВ) и А11В=Аа(Аб1В), и С= () .4л, Ь=1 Вж йАь а=1 е) Рассматриваемые в этом параграфе понятия понадобятся нам в гл. У при изложении общей теории меры. Поэтому чтение данного параграфа может быть отложено. Чиз атель, рсшивший ограничиться при изучении теории меры мерой на плоскости Н 1 гл. лг), может этот параграф пропустить совсем. то из А е Я и В е Я вытекает также принадлежность к Я множеств А 1з В и А 1В. Таким образолг, кольцо множеств есть система множеств, замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности.
Очевидно, что кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида рл. Ь Элементы теории множеств 48 Любое кольцо содержит пустое множество О, так как всегда А 1.4 = о. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств. Множество Е называется единицей системы множеств Ь,.
если оно принадлежит 15 и если для любого А Е ео имеет место равенство .4йЕ =.4. Таким образом, единица системы множеств 15 есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в Я множества. Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств. Примеры. 1. Для любого множества А система 9л1(А) всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей Е = А.
2. Для любого непустого множества А система (о, А), состоящая из множества А и пустого множества о, образует алгебру множеств с единицей Е = А. 3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества А представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество А само конечно. 4. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольпом множеств, не содержащим единицы. Из определения кольца множеств непосредственно вытекает Теорема 1. Пересечение Я = ПЯ любого множества колец о есть кольца. Установим следующий простой, но важный для дальнейшего факт. Творе.ма 2.
Для любой непустой сигтемы множеств 19 существует олво и только оляа кольна Я(б), содержащее Й и салсряеапгеееся в любом кольце ес, солержатцем й. Доказательство. Легко видеть, что кольцо Я(б) определяется системой Я однозначно. Для доказательства его существования рассмотрим объединение Х = () А всех множеств А, входящих .4ЕЬ в б, и кольцо 9г1(Х) всех подмножеств множества Х. Пусть е, совокупность всех колец множеств, содержащихся в 931(Х) и содержащих й. Пересечение зе = П Я всех этих колец и будет., очевидно, геев искомым кольцом Я(Я). 1 5. Системы множеств 49 Действительно, каково бы ни было кольцо Я*, содержащее б, пересечение Я = Я* О д)ЦХ) будет кольцом из Х и, следовательно, б с Я с Я', т.е. >р действительно удовлетворяет требованию минимальности.
Это кольцо называется минимальным кольцом над б или колы>ем, порожденным б, и обозначается Я(б). 2. Полукольцо миожести. В ряде вопросов, например, в теорив меры, наряду с понятием кольца важную роль играет более общее понятие полукольца множеств. Определение 2.
Система множеств б называется полукольцом, если она содержит пустое множество И, .замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к б множеств А и А> с А вытекает возможо ность представления А в виде А = )) Аы где Аь попарно не>с> пересекающиеся множества из б, первое из которых есть заданное множество .4>. В дальнейшем всякий набор попарно непересекающихся множеств Аы ., ., Ао, об ьединение которых есть заданное множество А, мы будем называть конечным разложением множества А. Всякое кольцо множеств Я является полукольцом, так как если А и А> с А входят в Я, то имеет место разложение А = А> ОА>, .где А> =.4) А> Е >с.
Примером полукольца, не являющегося кольцом множеств, может служить совокупность всех интервалов 1а., Ь), отрезков ~а, Ь) и полуинтервалов ~а, Ь) и (а, Ь] на числовой прямой '). Еше одним примером служит совокупность всех «полуоткрытых» прямоугольников а < т < Ь, с < й < й на плоскости или совокупность всех полуоткрытых параллелепипедов в пространстве. Установим следующие свойства полуколец множеств.
Лемма 1. Пусть множества А,,...,Ао, А принадлежат полукольцу б, причем множества А; попарно не пересекаются и все содержатся в А. Тогда набор множеств А, (т = 1,..., п) можно дополнить мвожествамн Ав+>, ..., А„Е б до конечного разложения А=))Аь, ) ь=> множества А. ) При этом в число натервалов включается, конечно, «нустой» интервал (о,о), а в число отрезков -. отрезок, состоящий нз одной точки ~о,о). Гл. Ь Элементы теории множеств 50 Доказательство проведем по индукции. При п = 1 справедливость утверждения леммы вытекает из определения полукольца. Предположим, что зто утверждение справедливо для п = щ и рассмотрим на+1 множество А1,..., Ат, А Е1, удовлетворяющих условиям леммы.
По сделанному предположению Лемма 2. Какова бы ни была конечная система множеств А1,..., Ан, принадлежащих полукольцу б, в б найдется такая конечная система попарно непересекающихся множеств В1, ..., Ве, что каждое Аь может бьать представлено в вцде суммы Аь = О В, вЕМа некоторых из множеств В,. Доказательство. При и, = 1 лемма тривиальна, так как достаточно положить 1 = 1, В1 = А1. Допустим, что она справедлива для п = т, и рассмотрим в б некоторую систему множеств .41,..., А,„,.4ео 11. ПуСтЬ В1,..., Ве МНОжЕСтна ИЗ б, удОВЛЕтВО- ряющие условиям леммы по отношению к .41,..., А . Положим В„= А, 51 В,.
В силу леммы 1 имеет место разложение д 4т-1-1 — 0 Ввд 0 а ) Вр Вр и б, в.=1 а в силу самого определения полукольца имеет место разложение Вв =Вва О. 0Ввб~ Вв, Е б. Легко видеть, что У. Аь= О Цв„а ЕМ 1=1 Й = 1,...,т, и что множества Вв, В„' А=А10 0Ат0В1 0Вр, где все множества Вд (0 = 1,...,р) принадлежат б. Положим В 1 = А„,.~1 й Вд. По определению полукольца, имеется разложе- ние Вд — — Вда 0 .
0 Вд„, где все В . принадлежат б. Легко видеть, что А =А10 0Ат0Ат+10 0 (О Вдл). д=-1 1=2 Таким образом, утверждение леммы доказано для и, = гп + 1, а сле- довательно, и вообще для всех и. 1 5. Системы мисслееств 51 попарно не пересекаются. Таким образом, множества В,, В', удо- ВЛЕтВОряЮт уСЛОВИяМ ЛЕММЫ ПО ОТНОШЕНИЮ К А1,...., Аво А„.Ы. 3. Кольцо, порожденное полукольпом.
Мы уже видели в п. 1, что для каждой системы множеств б существует единственное минимальное кольцо, содержащее б. Однако для произвольной' системы б фактическое построение кольца Я(б) по б довольно сложно. Оно становится вполне обозримым в том важном случае, когда б представляет собой полукольцо. Это построение дается следующей теоремой. Теорема 3. Если б полукольцо, то Я(б) совпадает ссистс мой 3 множеств А, допускающих конечные разложения и А= ))Аь се=1 на множества Аь й б.
Доказательство. Покажем, что система 3 образует кольцо. Если А и В два произвольных множества из 3, то имеют место разложения ))Ае| В= ЦВ1 А1бб~ Вувб Так как б полукольцо, то множества Сб =.41г1 В, тоже входят в б. В силу леммы 1 имеют место разложения 12) Ь=1 где Рп, Е1 й б. Из равенств (2) вытекает, что множества А й В и А Ь В допускают разложения А П В = Ц С11, А л В = Ц Рсь О ) ) Е11 се 1З и, следовательно, входят в 3. Таким образом, 3 действительно представляет собой кольцо; его минимальность среди всех колец, .содержащих б, очевидна.
4. н-алгебры. В различных вопросах, в частности, в теории меры, приходится рассматривать суммы и пересечения не только конечного, но и счетного числа множеств. Поэтому целесообразно, помимо понятия кольца множеств, ввести еще следующие понятия. Гл. П Элементы теории множеетв 52 Определение 3. Кольцо множеств называется п-кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств Аы... ...,А„,... содержит сумму и Определение 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
