1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

т.е. (а,Ь) и )Ь.а) две, вообще говоря, реэличные пары. 1 2. Отабрааненил. Разбиении на классы 25 мы получим, очевидно, некоторое разбиение множества А. Обратно, рассмотрим произвольное множество А и некоторое его разбиение на классы. Пусть  — — совокупность тех классов, на которые разбито множество .4. Ставя в соответствие каждому элементу и Е А тот класс (т.е. элемент из В), к которому а принадлежит, мы получим отображение множества А на множество В. Примеры. 1.

Спроектируем плоскость яй на ось я. Прообразы точек оси я —. вертикальные прямые. Следовательно, этому отображению отвечает разбиение плоскости на параллельные прямые. 2. Разобьем все точки трехмерного пространства на классы, обьедипив в один класс точки, равноудалевцые от начала координат. Каждый класс представляет собой сферу некоторого радиуса. Совокупность всех этих классов можно отождествить с множеством всех точек, лежащих на луче (О, сю). Итак, разбиению трехмерного пространства на концентрические сферы отвечает отображение этого пространства на полупрямую. 3.

Объединим в один класс все действительные числа с одинаковой дробной частью. Этому разбиению отвечает отображение прямой линии на окружность единичной длины. Понятие эквивалентности является частным случаем более общего понятия бинарного отношения. Пусть ЛХ произвольное множество. Обозначим через ЛХ х ЛХ или ЛХ2 совоку.пность всех упорядоченных пар (ц, Ь), где и, Ь Е М. Говорят, что в ЛХ задано бинарное отнопеение ес, если в ЛХ2 выделено произвольное подмножество В, . Точнее говоря, мы скажем, что элемент и находится в отношении ис к элементу Ь обозначение иссЬ в том и только том случае, когда пара (а, Ь) принадлежит Ва. Примером бинарного отношения может служить отношение тождества е; именно, аеЬ в том и только том случае, если и = Ь; иначе говоря, это отношение, задаваемое диагональю л в ЛХ х М, т.е.

подмножеством пар вида (а„а). Ясно,. что всякое отношение эквивалентности ис в некотором множестве ЛХ есть бинарное отношение, подчиненное следукпцим условиям. 1) Диагональ Ь принадлежит В„(рефлексивность). 2) Если (и, Ь) е В, то и (Ь, а) е В (симметричность). 3) Если (а, Ь) е В. и (Ь,с) е Вк, то и (а,с) е Вг (транзитивность). Итак, эквивалентность "- это бинарное отношение., удовлетворякпцее условиям рефлексивности, транзитивности и симметричности. В 2 4 мы рассмотрим другой важный частный случай бинарного отношения частичную упорядоченность. Гл.

П Элементы еоеорои множеств 26 'З 3. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества 1. Конечные и бесконечные множества. Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Таковы, например, множество всех вершин некоторого многогранника., множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа, множество всех молекул воды на Земле и т.д. Каждое из этих множеств содержит конечное, хотя, быть может, и неизвестное нам число элементов.

С другой стороны, существуют множества, состоящие из бесконечного ~игла элементов. Таково, например, множество всех натуральных чисел, ьшожество всех точек на прямой, всех кругов на плоскости, всех многочленов с рациональными коэффициентами и т.

д. При этом, говоря, что множество бесконечно, мы имеем в виду, что из него можно извлечь один элемент, два элемента и т.д., причем после каждого такого шага в этом множестве еще останутся элементы. Два конечных множества мы можем сравнивать по числу элементов и судить, одинаково это число или же в одном из множеств элементов больше, чем в другом. Спрашивается, .можно ли подобным же образом сравнивать бесконечные множества'? Иначе говоря, имеет ли смысл, например, вопрос о том, чего больше: кругов на плоскости или рациональных точек на прямой, функций, определенных на отрезке [О, 1], или прямых в пространстве, и т.

д.? Посмотрим, как мы сравниваем между собой два конечных множества. Можно, например, сосчитать число элементов в каждом из них и, таким образом, эти два множества сравнить. Но можно поступить и иначе, именно, попытаться установить биекцию, т.е. взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, иначе говоря, такое соответствие,при котором каждому элементу одного множества отвечает один и только один элемент друтого, и наоборот. Ясно, что взаимно однозначное соответствие между двумя конечными множествами можно установить тогда и только тогда, когда число элементов в них одинаково. Например, чтобы проверить, одинаково ли число студентов в группе и стульев в аудитории, можно, не пересчитывая ни тех, ни других, посадить каждого студента на определенный стул.

Если мест хватит всем и не останется ни одного лишнего стула, т. е. если будет установлена биекпия между этими двумя множествами, то это и будет означать, что число элементов в них одинаково. 1 3. Эквивалентность мноьссссксв. Нонлтие мощности 27 Заметим теперь, что если первый способ (подсчет числа элементов7 годится лишь для сравнения конечных множеств, второй (установление взаимно однозначного соответствия) пригоден и для б е с к о н е ч н ы х. 2. Счетные множества.

Простейшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел. Назовем счегпным множеством всякое множество, элементы когорого можно биективно сопоставить со всеми натуральными числами. Иначе говоря, счетное множество это такое множество, элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность:аы ..., а„,... Приведем примеры счетных множеств.

1. Множество всех целых чисел. Установим соответствие между всеми целыми и всеми натуральными числами по следующей схеме: Π— 1 1 — 2 2 12345 вообще, неотрицательному числу и > О сопоставим нечетное число 2п + 1, а отрицательному н < О четное число 2ф: п ~+ 2н + 1 при н > О, п сэ 2)н( при н < О. 2. Множество всех чепиеых положительных чисел.

Соответствие очевидно: и еэ 2н. 3. Множестоо 2, 4, 8,..., 2",... степеней числа 2. Здесь соответствие также очевидно. Каждому числу 2" сопоставляется число п. 4. Рассмотрим более сложный пример, а именно, покажем, что множество всех рациональных чисел счетно. Каждое рациональное число однозначно записывается в виде несократимой дроби о = р7сс7, с7 > О.

Назовем сумму ~р~ + с7 высотой рационального числа о. Ясно, что число дробей с данной высотой н коне"шо. Например, высоту 1 имеет только число О/1, высоту 2 числа 17с1 и — 17с1, высоту 3 числа 271, 172, — 2/1 и — 1/2 и т. д. Будем нумерова и все рациональные числа по возрастанию высоты, т. е, сперва выпишем числа высоты 1, потом -- числа высоты 2 и т.д. При этом всякое рациональное число получит некоторый номер, т.е. будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми натуральными н всеми рациональными числами. Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчелпным гиножеством. Гл. П Элементы теории множеств 28 Установим некоторые общие свойства счетных множеств. 1.

Всякое геодмножество счетного множества конечно или счетно. Доказательство. Пусть А счетное множество, а В его подмножество. Занумеруем элементы множества Л; аы, .., а„,... Пусть ат, а,„... те из них, которые входят в В. Если среди чисол пы нз,... есть наибольшее, то В конечно, в противном случае В счетно, поскольку его члены ает а„„„... занумерованы числами 1,2,... 2. Сгрмма любого конечного или счетного множества счеганы с множеств есть снова счетное множество.

Доказательство. Пусть Аы Аг,... счетные множества. Мы можем считать, что опи попарно це пересекаются, так как иначе мы рассмотрели бы вместо них множества Лы Аг '4 Лы Аг'1(А40А2),... каждое из которых не более чем счетно, имеющие ту же самую сумму, что и множества Аы Аг,... Все элементы множеств Лы Лг,...

можно записать в виде следующей бесконечной таблицы: аы а4 а21 а22 а34 азз а44 а42 где в первой строке стоят элементы множества Аы во второй-- элементы множества А. и т.д. Занумеруем теперь все эти элементы «по диагоналям», т. е. за первый элемент примем аы, за второй а42, за третий а24 и т.д., двигаясь в порядке, указанном стрелками на следующей таблице; -4 оае а24 а34 а43 а44 Ясно, что при этом каждый элемент каждого из множеств получит определенный номер, т.е. будет установлено взаимно однозначное ам -4 а,г аг~ агг азг а32 к ам а42 аш а44 4423 а24 азз а34 а43 а44 аз 3 г а23 а33 'г 3. Энвиввлентноссвь лсновесесте. Понятие мощноспт 29 соответствие между всеми элементами всех множеств Аы Аг, ..., и всеми натуральными числами.

Наше утверждение доказано. Упражнения. 1. Доказать, что множество всех мпогочленов с рациональными коэффициентами счетно. 2. Число ( называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами. Доказать, что множество всех алгебраических чисел счетно. 3. Доказать, что множество всех рапиональных интервалов (т.е. интервалов с рациональными концами) на прямой счетно. 4. Доказать, что множество всех точек плоскости, илеееоп1их рациональные координаты, счетно.

Характеристики

Список файлов книги