1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При решении этой задачи мы в планировке книги отдаем предпочтение абстрактной линии построения курса. От общей тгории множеств (глава 1) можно перейти к метрическим и топологическим пространствам и их непрерывным отображениям (глава П) либо непосредственно к пространствам с мерой (без топологии) и интегрированикз в них (шзава 'г'). В главах П1 и 1У изучаются линейные пространства и линейные функционалы и операторы в них. От этпх глав возможен прямой переход к юзаве Х (нелинейные дифференпируемые операторы и функционалы). В главе МП изучаются линейные пространства суммируемых функций. Лишь в главах Ч1 и Ъ'П1 внимание, по существу, сосредоточено на функциях действитезтьного переменного. Хотя в первую очередь в нашей книге излагаются общие понятия теории функций и фупкцивпзльного анализа, внимание к примыкаЮщ<'й Сюда классической проблематике читатель может проследить почти во всех зшавах.
Включение в книгу глав Ъ'1 (теория дифференцирования), МП1 (тригонометрические ряды и интеграл Фурье) н 1Х (линейные интегральные уравнения) приводит к тому, что сейчас наша книга охватывает всю программу принятого в МГУ курса «Анализ П1», кроме варнационного исчисления.
Мы не включили этот раздеч в нашу книгу, ограничившись лишь изложением в главе Х самых первых представлений о нелинейном функциональном анализе. В новом издании, как и в первоначальном, значительное месса занимает общая теория меры. В послоднее время появилось довольно лшого изложений теории интегрирования, основанной на схеме Даниеля, не использующей аппарата теории меры. Мы полагаем, однако, что теория меры достаточно важна и сама по себе, независимо от введения понятия интеграла, и заслуживает включения в университетский курс. Включеяие новых глав заметно увеличило объем книги.
Старые главы тоже супгественно переработаны и в пих включены новые параграфы (например, о порядковых типах и трансфинитных числах, топологических пространствах, обобщенных функциях и др.). Перерабатывая нашу книгу и включая в нее новые разделы, мы старвлистч однако, сохранить в ней тот сравнительно элеьзентарный стиль изложения, который был выдержан, как нам кажется, в первом издании.
Мы надеемся, что она найдет свое естестненяое место в университетском проподавании наряду с друтими руководствами., в частности, с книгой Г. Е. Шилова «Математический анализ, специальный курс», в которой более подчеркнута аналитическая сторона дела, а интерес к метрическим и топологическим пространствам, мерам и т. д. как самостоятельным объектам культивируется в меньшой стопени. А. Колмогоров С. Фомин ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАххЕНИЯ А 531 Вт 546 В[хо, т) 63 В[хо,т) 63 В[Х, У) 505 ВС[Х,У) 503 З[(5) 53 С 529 С=С[0;Ц 56 С[а,Ь) 56 Ст 530 С'[а, Ь) 391 С" [а,Ь) 186 Со[ос 5) 57 С~~[ос,1о) 512 С 181 СВ1с[0, Ц 546 с 34 РЕ[х, й) 498 Р[Л), Р[в,й: Л) 495 ЦЕ, Д'Е, о1" Е 507 Е", Ее 196 [Е', Ь) 199 [Е', [[.
[[) 197 1: ЛХ вЂ” > 57 21 1" [.4) 21 '[Ь) 21 '[т) 100 Го 504 9С[Е, Ео) 245 1ха 234 7[Е) 140 К[а,Ь] 181 Кег 234 Ьа., Е|(Х,Е) 393 Ео, Ео[Х,р) 399 Ер[Х,р) 404 С[Е, Ео) 240 ЦЕ' 134 Е[1х )) 134 Ьо 200, 532 1о 56 1р 61 М 539 Х[Х, У) 506 хс[Ь) 48 Е„„232 Е" 469 Т,, 514 1)о 351 Ьс~[а.Ь[ 356 Их 531 Е 470 р~[хб у) об рр[х, у) 58 р [х,у) 56 у[%) 94 К 34 Ко 34 Ко 44 0 18 й 18 А 19 '1 19 с 19 29 ~р 24 ГЛАВА 1 элкмкнты ткории множкств ~ 1. Понятие множества.
Операции над множествами 1. Основные определения. В математике встречаются самые разнообразные мноэкеетва. Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т.д. Понятие множества настолько общее, что трудно дать емгу какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами; совоку пност»ч собрание элементов и т. п. Роль, которую понятие множества играет в современной математике, определяется пе только тем, что сама теория ьшожеств стала в настоящее время весьма обширной и содержательной дисцип.ниной, но главным образом тем влиянием, которое теория множеств, возникшая в конце прошлого столетия, оказывала и оказывает на всю математику в целом. Не ставя своей задачей сколько-нибудь полное изложение этой теории, мы здесь лишь введем основные обозначения и приведем первоначальные теоретико-множественные понятия, используемые в дальнейшем.
Множества мы будем обозначать прописными буквами А, В,..., а их элементы малыми а, Ь,... Утверждение «элемент а принадлежит множеству А» символически записывается так: а с А 1или ,4 Э а); запись а ~ .4 (или А ф а) означает, что элемент а пе принадлежит А. Если все элементы, из которых состоит А, входят и в В (причем случай А = В не исключается), то мы называем А подмножеством множества В и пишем А С В. Например, целые числа образуют подмножество в множестве всех действительных чисел. Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некое множество (например, множество корней данного уравнения) хотя бы один элемент.
Поэтому целесообразно ввести понятие пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента. Мы будем обозначать его символом И. Любое множество содержит О в качестве подмножества. Подмножества некоторого множества, отличные от него самого и от О, называются собственными. Гл. 1. Элементы глеории множеств 18 2. Операции над множествами. Пусть А и В .- произвольные множества; их суммой, или обпейпненэтем С = А О В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Л и В (рис.
1). С=АОВ Рис. 1 С=А ОВ 1зис. 2 ЛОВ=ВОЛ, (АОВ)ОС= АО(ВОС), ЛПВ = ВОЛ, (ЛОВ) ОС = АО (ВПС). Кроме того, они взаимно дистрибутивны: (ЛОВ) ОС = (ЛОС) О(ВПС), (.4 О В) 11 С = (А 0 С) О (В 'сз С) . (1) (2) Действительно, проверим, например, первое из этих равенств ). Пусть элемент т принадлежит множеству, стоящему в левой части 1) Равенство двух множеств А = В понимается как тождественное равенство, т. е.
оно означает, что каждый элемент множества А принадлежит В, и наоборот. Иначе говоря, равенство А .=- В равносильно тому, что выполнены оба включения: А с В и В с А. Аналогично определяется сумма любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А произвольные множества, то их сумма О А есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств .4 Назовем пересечение.м С = А О В множеств А и В множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как Л, так и В (рис.
2). Например, пересечение множества всех четных чисел и множества всех чисел, делящихся на три, состоит из всех целых чисел, делящихся без остатка на шесть. Пересечением л ю б о г о (конечного или бесконечного) числа множеств А„называется совоку.пность ПАо элементов, принадлежащих каждому из множеств А„. Операции сложения и пересечения множеств по самому сноему определению коммутативны и ассоциативны, т.е.
1 1. Мнвнееетви. Операции над мнввнеетвими равенства 11), т, е, к Е (А гд В) П С. Это означает, что х входит в С и., кроме того, .по крайней мере в одно из множеств А или В. Но тогда т принадлежит хотя бы одному из множеств А Г1 С или В Г1 С, т.е.
входит в правую часть рассматриваемого равенства. Обратно, пусть к Е 1А Г1 С) 0 1В Г1 С). Тогда и Е А Г1 С или л Е В Г1 С. Следовательно, к Е С и, кроме того, т входит в А или В, т.е. х Е А гд В. Таким образом, я е 1А1дВ) Г1С. Равенство (1) доказано. Аналогично проверяется равенство (2). С=д1В Р ьЗ с=Аав Рис. 4 Определим для множеств операцию вычитания. Назовем разностью С = А ) В множеств А и В совокупность тех элементов из А, которые не содержатся в В (рис. 3).
При этом, .вообще говоря, не предполагается, что .4 Э В. Вместо А 1 В иногда пишу.т А — В. Иногда (например, в теории меры) удобно рассматривать так называемую симметрическую разность двух множеств А и В, которая определяется как сумма разностей .4 ) В и В ) А (рис. 4). Симметрическую разность С множеств А и В мы будем обозначать символом А а В. Таким образом, гю определению, А а В = (А 11 В) гд (В 11 А). Упражнение.
Показать, что А а в = (А 1д в) 1 (А и в). Часто приходится рассматривать тот или иной запас множеств, являющихся подмножествами некоторого основного множества 5, например, различные множества точек на числовой прямой. В этом случае разность Я 11 .4 называют е)огеолненпем множества А и обозначают 0А или А'. В теории множеств и ее приложениях весьма важную роль играет так называемый принцип двойственности, который основан на следующих двух соотношениях: Рл. б Элвмвнты теории множеств 20 1.
Дополнение суммы равно пересечению дополпений; (3) 2. Дополнение пересечения равно сумме дополнений: (4) Принцип двойственности состоит в том, что из любого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированного множества Я, совершенно автоматически может быть получено другое двойственное равенство путем замены всех рассматриваемых множеств их дополнениями, сумм множеств — — пересечениями, а пересечений — суммами. Примером использования этого принципа может служить вывод теоремы 3' из теоремы 3 з 2 гл.
П. Приведем доказательство соотношения (3). Пусть х е 5 Г, ЦА . Это означает, что х не входит в объединение а ) ) Аа, т. е. не входит ни в одно из множеств А . Следовательно, х а принадлежит каждому из дополнений Я?~А< и потому х Е П(Я?,А«). а Обратно, пусть х Е П(5 '1 А ), т.е. х входит в каждое 5 ?, А, тогда х не входит ни в одно из множеств А, т. е. це принадлежит их сумме О А, а тогда х б Я) Ц Аа.
Равенство (3) доказано. Соотношение (4) доказывается аналогично. (Проведите доказательство.) Название <снмлъетрическая разность» для операции А Ь В не совсем удачно; эта операция во многом аналогична операции взятия суммы множеств А Г1 В. Действительно, А Гз В означает, что мы связываем нвивключающим «нли» два утверждения: «элеменг ъъринаквежнт А» н «элемент принадлежит В», а А Ь В означает, что те же сал?ыв два утверждения связываются исключающим «илн»: элемент х принадлежит А Ь В тогда и только тогда, когда он принадлежит либо только А, либо только В.
Множество А о В можно бьию бы назвать «суммой по модулю два» множеств 4 в В (берется объединение втвх двух мво?кттв, во элементы, которые при этом встречаются дважды, выбрасываются). з 2. Отображения. Разбиения на классы 1. Отображение множеств. Общее понятие функции. В анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть Х -- некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция 1, если каждому. числу з 2. Отсбренсеньл. Разбиение на классы 21 х Е Х поставлено в соответствие определенное число у = Х(х). При этом Х называется областью определвнп данной функции, а У совокупность всех значений, принимаемых этой функцией, ее областью значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
