1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Для конечных множеств понятио мощности совпадает с привьгшым понятием числа элементов множества. Мощность множества натуральных чисел (т.е. любого счетного множества) обозначается символом Ке (читается: «алеф нуль»). Про лсножества, эквивалентные множеству всех действительных чисел отрезка (0,1), говорят, что они имеют мощносепь е) При этом число различных элементов х„может быть и конечно: оии могут «зацнклеватьсяь, образуя беснонечнут нослеэовательнасть, содержащую лишь хонечное чиелв попарнО различных алвментов. Гл. й Элементы епеораа множеств 34 континуума. Эта мощность обозначается символом с (или символом В).

Весьма глубокий вопрос о существовании мощностей, промежуточных между Вв и с, будет затронут ниже в ~ 4. Как правило, бесконечные множества, встречающиеся в анализе, или счетны, или имеют мощность континуума. Для мощностей конечных множеств, .т.е. для натуральных чисел, кроме понятия равенства имеются также понятия «больше» и «меныпе». Попытаемся распространить эти последние на бесконечные мощности. Пусть А и В . — два произвольных множества, а т(А) и т(В) их мощности. Тогда логически возможны следующие случаи: Б А эквивалент~о некоторой части множества В, а В эквивалентно некоторой части множества А. 2. А е:одержит некоторую часть, эквивалентную В, но в В нет части, эквивалентной А.

3. В содержит некотору>о часть, эквивалентную А, но в А нет части, эквивалентной В. 4. Ни в одном из этих двух множеств нет части, эквивалентной другому. В первом случае множества А и В в силу теоремы Кантора-. Бернштейна эквивалентны между собой, т. е. и>® = >п(В). Во втором случае естественно считать, что т(А) > гп(В), а в третьем, .— что т(А) < т(В).

Наконец, в четвертом случае нам пришлось бы считать, что мощности множеств А и В несравнимы между собой. Но на самом деле этот случай невозможен! Это следует из теоремы Цсрмело, о которой речь будет идти в з 4. Итак, любые два мнозюесп>ва .4 и В либо эквивалентны между собой (и тогда т>А) = т(В)), либо удовлетворяют одному иэ двух свотаившеиии> т(А) < т(В) или т(А) > т(В). Мы отметили выше, что счетные множества это «самые маленькие» из бесконечных множеств, а затем показали, что существуют и бесконечные множества, бесконечность которых имеет более «высокий порядок», это множества мощности континуума.

А существуют ли бесконечные мощности, превосходящие мощность континуума? Вообще, существует ли какая-то «наивысшая» мощность или нет? Оказывается, верна следующая теорема. Теорема 3. Пусть ЛХ некоторое множество и пусть 911— множество, элемента>>и которого являются вгевозъюжные подмножества мне>кос>гва ЛХ. Тогда 911 имеет мощность ббльп>ую, чем мощность исходного множества М. 'З 3.

Эввиввлеитиоеть мнооеееетв. Ноилтие мотноевеи Доказательство. Легко видеть, что мощность ш множества 9ое не может быть меньше мощности т исходного множества ЛХ, действительно, «одноэлементные» подмножества из ЛХ образуют в 9ое часть, эквивалентную множеству М. Остается доказать, что мощности т и т не совпадают. Пусть между элементами а, Ь, ., множества ЛХ и какими-то элементами А, В,., множества 9ое (т.е. какнми-то подмножествами из М) устагювлеи«о взаимно однозначное соответствие а «э А, Ь+-> В, Покажем, что оно наверняка не исчерпывает всего 9ое. Именно, сконструируем такое множество Х С М, которому не соответствует никакой элемент из ЛУ.

Пусть Х вЂ” совокупность элементов из М, не входящих в те подмножества, которые им соответствуют. Подробнее: если о, «-> А и а е А, то элемент а мы не вклк>чаем в Х, а если а «э А и а ф А, то мы включаем элемент а в Х.

Ясно, что Х есть подмножество множества ЛХ, т.е. некоторый элемент из 9Ре. Покажем, что подмножеству Х не может соответствовать никакой элемент из ЛХ. Допустим, что такой элемент х «э Х существует; посмотрим, будет ли он содержаться в Х или нету Пусть х ф Х; но ведь по определению в Х входит в с я к и й элемент, не содержащийся в подмножестве, которое ему соответствует, следовательно, элемент х должен быть включен в Х.

Обратно, предположив, что х содержится в Х, мы получим, что х не может содержаться в Х, так как в Х включены только те элементы., которые не входят в соответствующие им подл«ножества. Итак, элемент х, отвечающий подмножеству Х, должен одновременно и содержаться, н не содержаться в Х. Отсюда следует, что такого элемента вообще не существует, т. е. что взаимно однозначного соответствия между элементами множества ЛХ и всеми его подмножествами установить нельзя.

Теорема доказана. Итак, для тпобой мощности мы действительно можем построить множество большей мощности, затем еще большей и т.д., получая, каким образом, не ограниченную сверху шкалу мощностей. 3 а м е ч а н и е. Мощность множества 9Ре обозначают символом 2'", где т -- мощность ЗХ. (Читатель легко поймет смысл этого обозначения, рассмотрев случай конечного Лв.) Таким образом, предыдущую теорему можно выразить неравенством т ( 2'". В частности, пРи тп = Ко полУчаем неРавенство Ко < 2в'. Покажем, что 2"' = К, т.е. покажем, что мощность мнозюества всех аодмнооювств натурального ряда равна мощности континуума. Рл.

1. Элементы теории множеств 36 Разобьем подмножества натурального ряда на два класса, зз и е1, на те (класс йз), у которых дополнение бесконечно, и на те (класс еУ), у которых оно конечно. К классу е1 относится, в частности, сам натуральный ряд, ибо его дополнение пусто. Число подмножеств в классе х1 счетно (доказать). Класс к1 ве влияет ва мощность множества 911 =:р 0 х1. Между подмножествами класса 1р и действительными числами н из полусегмента 10, 1) можно установить взаимно однозначное соответствие. Именно, сопоставим подмножеству .4 Е Зо число о (О < о < 1) с двоичным разложением о = — + —, + . + — „-~- ..

ее ез е 2 2- '2" где ен = 1 или 0 в зависимости от того, принадлежит ли и множе- ству А или нет. Проверку деталей предоставляем читателю. Упражнение. Доказать, что совокупность всех числовых функций (или вообще функций, принимающих значения в множестве, содержащем пе менее двух элементов), определенных на некотором множестве ЛХ, имеет мощность большую, чем мощность множества ЛХ. Указание.

Воспользоваться тем, что множество всех индикаторов, т. е. функций нв Ы, принимающих только два значения, 0 и 1, эквивалентно множеству всех подмножеств из М. Ь' 4. Упорядоченные множества. Трансфинитные числа В этом параграфе изложен ряд понятий, связанных с идеей упорядоченности множеств. Мы ограничимся здесь самыми первоначальными сведениями; более подробное изложение можно найти в литературе, указанной в конце книги. 1.

Частично упорядоченные множества. Пусть ЛХ про- извольное множество и 1о — некоторое бинарное отношение в нем (определяемое некоторым множеством Л, С М х М). Мы назовем это отношение частичной угюрядоченностью, если оцо удовлетво- ряет условиям: 1) рефлекеивности: а.ра, 2) транзитивности; если а~рЬ и Ьрс, то ауоей 3) антисиммеепричноети; если аерЬ и Ьуоа, то а = Ь. Частичную упорядоченность принято обозначать символом <. Та- ким образом, запись а < Ь означает, что пара (а, Ь) принадлежит соответствующему множеству Лт. Про элемент а при этом говорят, 1 4. Унорявоненныс множества что он не превосходит Ь или что он подчинен Ь.

6!ножество, в котором задана некоторая частичная упорядоченность, называется частично упорядоченным. Приведем примеры частично упорядоченных множеств. 1. Всякое множество можно тривиальным образом рассматривать как частично упорядочешгое, если положить а < Ь в том и только том случае, когда а = 6. Иначе говоря, за частичную упорядоченность всегда можно принять бинарное отношение тождества с.

Этот пример не представляет, конечно, большого интереса. 2. Пусть ЛХ множестно всех непрерывных функций на отрезке )о, 14). Положив Х ( д в том и только том случае, когда Хф < дф для всех 1 1а < 1 < й), мы получим, очевидно, частичную упорядоченность. 3. Множество всех подмножеств некоторого фиксированного множества частично упорядочено по включению: ЛХс < ЛХз означает, что ЛХ1 С ЛХо. 4. Множество всех натуральных чисел частично упорядочено, если а < Ь означает «Ь делится без остатка на а». Пусть ЛХ произвольное частично упорядоченное множество.

В случае, когда а < Ь и а ф 6, мы будем пользоваться символом <, т.е. писать а < Ь и говорить, что а меньше Ь или что а строго подчинено 6. Наряду с записью а < 6 мы будем пользоваться равносильной записью Ь ) а и говорить при этом, что 6 не меныие а )больше а, если Ь у'. -а) илп по 6 следует за а.

Элемент а называется максимальным, если из а < Ь следует, что 6 = а. Элемент а называется минимальным, если из с < а следует, что с = а. с1астично упорядоченное множество, для любых двух точек а, .Ь которого найдется следующая за ними точка с 1а ( с, Ь < с), называется направленным. 2. Отображения, сохраняющие порядок. Пусть М и ЛХ'— два частично упорядоченных множества и пусть Х есть отображение ЛХ в ЛХ'.

Мы скажем, что это отображение сохраняет порядок, если из а < Ь, где а, Ь б ЛХ, следует, Х)а) < Х'16) 1в ЛХ'). Отображение Х называется извморфизмвм частично упорядоченных множеств М и М', если оно биективпо, а соотношение Х'1а) < Х'16) выполнено в том и только том случае, когда а ( Ь. Сами множества ЛХ и М' называются при этом изоморфными между собой. Пусть, например, ЛХ есть множество натуральных чисел, частично упорядоченное по «делимости» 1см, пример 4 п.

1), а ЛХ' -- то же самое множество, но упорядоченное естественным образом, т, е. так, что 6 > а, если Ь вЂ” а положительное число. Тогда отобрвже- Гл. й Элементы гпеории множеств 38 ние ЛХ на ЛХ', ставящее в соответствие каждому числу и его само, сохраняет порядок (ио не является изоморфизмом). Отношение изоморфизма между частично упорядоченными множествами представляет собой, очевидно, отношение эквивалентности (оно симметрично, транзитивно и рефлексивно). Следовательно, если у пас имеется какой-то запас ') частично упорядоченных множеств, то все эти множества можно разбить на классы изоморфных между собой.

Ясно, что если нас интересу.ет не природа элементов множества, а только имеющаяся в нем частичная упорядоченность, то два изоморфных между собой частично упорядоченных множества можно рассматривать просто как тождественные. 3. Порядковые типы. Упорядоченные множества. Про изоморфные между собой частично упорядоченные множоства мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тив. Таким образом, порядковый тип это то общее, что присуще любым двум изоморфным между собой частично упорядоченным множествам, подобно тому как мощность .- это то общее, что присуще эквивалентным между собой множествам (расса!атриваемыу! независимо от какого бы то ни было отношения порядка в них). Пусть а и Ь -- элементы частично упорядоченного множества.

Характеристики

Список файлов книги