1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Если же вместо чис юных рассматривать множества какой угодно природы,. то мы придем к самому общему понятию фу.нкции. Пусть ЛХ и Х два произвольных множества. Говорят, что на М определена функция Х, принимающая значения из Х, если каждому элементу х Е ЛХ поставлен в соответствие один и только один элемент у из Х. Для множеств произвольной природы (как, впрочем, и в случае числовых множеств) вместо термина «функпия» часто пользуются термином «отображепие», говоря об отображении одного множества в другое.

При специализации природы множеств М и Х возникают спецнальные типы функций, которые носят особые названия «вектор-функция», «мера», «функционал», «оператор» и т. д, Мы столкнемся с ними в дальнейшем. Для обозначения функции (отображения) нз М в Х мы будем часто пользоваться записью Х; ЛХ -г Х. Если а, — элемент из ЛХ, то отвечающий ему элемент д = Х(а) из Х называется образом о, (при отображении Х). Совокупность всех тех элементов а из ЛХ, образом которых является данный элемент Ь Е Х, называется прообразом (или, точнее, полным прообразом) элемента Ь и обозначается Х '(Ь). Пусть А — некоторое множество из ЛХ; совокупность (Х(а): а Е А) всех элементов вида Х(а), где а Е А, называется образом А и обозначается Х(А). В свою очередь для каждого множества В из Х определяется его (полный)) прообраз Х '(В), а именно: Х '(В) есть совокупность всех тех элементов из ЛХ, образы которых принадлежат В.

Может оказаться, что ни один элемент Ь из В це имеет не- пустого прообраза, тогда и прообраз Х '(В) будет пустым множеством. Здесь мы ограничимся рассмотрением самых общих свойств отображений. Введем следующую терминологию. Мы будем говорить, что Х есть огпображение множества ЛХ «на» множество Х, если Х(ЛХ) = Х; такое отображение называют также сюрвекцией. В общем случае, т.е. когда Х(ЛХ) С Х, говорят, что Х есть отображение М «в» Х. Если для любых двух различных элементов х1 и ха из ЛХ их образы уг = Х(хг) и уз = Х(хз) также различны, то Х называется инвекцией.

Отображение Х; М -> Х, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется биекцией или вза мно оонозначным соогпвепествием межой ЛХ и Х. 22 рл. Н Элементы теории множеств Установим основные свойства отображений. Теорема 1. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их и ооб азов: У '(А0В) = У '(А) 0У '(В). Доказательство. Пусть злемент х принадлежит множеству '(А 0 В). Это означает, что у(х) Е А 0 В, т.е, з"(х) Е А или 1(х) Е В.

Но тогда х принадлежит по крайней мере одному из множеств з" '(А) или з" '(В), т.е. х е з" '(А) 0 з" '(В). Обратно, если х Е у '(А) 0 Г' г(В), то х принадлежит по крайней мерв одному из множеств з" 1(А) и з г(В), т.е. т"(х) принадлежит хотя бы одному из множеств А или В, следовательно, З" (х) Е А 0 В, но тогда х Е г' '(.4 0 В). Теорема 2. Прообраз пересечения двух множеств равен пере; сечению нх прообразов; '(А и В) = з ~(А) О з" ~(В).

Доказательство. Если х б з" е(А О В), то з(х) Е АО В, т е. г(х) е А и г(х) е В, следовательно, х е з г(А) и х е г" г(В), т.е. х 6 З' ~(А) О З" ~(В). Обратно, если х Е у г(А) йз" г(В), т.е, х Е г" '(А) и х Е з" '(В), то г(х) Е А и у(х) Е В. Иначе говоря, у(х) Е .4 П В. Следовательно, х е з ~(.4 г1 В). Теорема 3. Образ суммы двух множеств равен сумме их образов: у(А 0 В) = г'(А) 0 г"(В).

Доказательство. Если у б у(А 0 В), то зто означает, что у = З (х), где х принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В. Следовательно, у = з"(х) Е г'(А) 0 з"(В). Обратно., если 9 Е ЙА) 0 ПВ), то у = з'(х), где х принадлежит по крайней мере одному из множеств .4 и В, т.е. х Е А 0 В и, следовательно, у = ((х) с,((А 0 В).

Теоремы 1, 2 и 3 остаются в силе для сумм и пересечений любого (конечного или бесконечного) числа множеств. Заметим, что образ пересечения двух множеств, вообще говоря, нс совпадает с пересечением их образов. Например, пусть рассматриваемое отображение представляет собой проектирование плоскости на ось х. Тогда отрезки 0<х<1, у=0, 0<х<1, у=1 не пересекаются, а в то же время их образы совпадают. 1 2. Отсбриззссяая. Разбиения яа классы 23 Упражнение. Докажите, что прообраз дополнения ранен дополнению прообраза.

Верно .ли аналогичное утверждение для образа дополнения? 2. Разбиение на классы. Отнотпения эквивалентности. В самых различных вопросах встречаются разбиения тех или иных множеств на попарно непересекающиеся подмножества. Например, плоскость (рассматриваемую как множество точек) можно разбить на прямые, параллельные оси аб трехмерное пространство можно представить как объединение концентрических сфер различных радиусов (начиная с г = 0), жителей данного города можно разбип на группы по их году рождения и т. п.

Каждый раз, когда некоторое множество ЛХ представлено тем или иным способом как сумма попарно непересекающихся подмножеств, мы говорим о разбиении мноаюеетеа ЛХ на классы. Обычно приходится иметь дело с разбиениями, построенными на базе того или иного признака, по которому элементы множества М обьедипяются в классы. Например, множество всех треугольников на плоскости можно разбить на классы равных между. собой или на классы равновеликих треугольников, все функции от я можно разбить на классы, собирая в один класс функции, принимающие в данной точке одинаковые значения, и т.д. Признаки, по которым элементы множества разбиваются на классы, могут быть самыми разнообразными.

Но все же такой признак не вполне произволен. Предположим, например, что мы захотели бы разбить все действительные числа на классы, включая число Ь в тот же класс, что и число а, в том и только в том случае, когда Ь > а. Ясно, что никакого разбиения действительных чисел на классы таким путем получить нельзя, так как если Ь > а, т. е. если Ь следует зачислить в тот же класс, что и а, то а ( Ь, т.е.

число и нельзя включить в тот же класс, что и Ь. Кроме того, твк как а не больше, чем гама а, то а не должно попасть в один класс с самим собой! Другой пример. Попробуем разбить точки плоскости на классы, относя две точки к одному классу в том и только том случае, когда расстояние между ними меньше 1. Ясно, что добиться этого нельзя, так как если расстояние от а до Ь меньше 1 и расстояние от Ь до с меньше 1, то это вовсе не означает, что расстояние от а до с меньше 1.

Таким образом, зачисляя а в один класс с Ь, а Ь в один класс с с, мы получим, что в один и тот же класс хюгу т попасть две точки, расстояние между которыми болыпе 1. Приведенные примеры подсказывают условия, при которых тот или иной признак действительно позволяет разбить элементы некоторого множества на классы. Гл. П Элементы теории множеств 24 Пусть ЛХ - — некоторое множество и пусть некоторые из пар 1а, 6) элементов этого множества являются «отмеченными»').

Если )а,Ь) «отмеченная» пара, то мы будем говорить, что элемент а связан с Ь отношением р, и обозначать это символом а Ь. Например, если имеется в виду разбиение треугольников на классы равновеликих, то а Ь означает «треугольник а имеет ту же площадь, что и треугольник 6». Данное отношение со называется отнпеаенегем эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами. 1) Рефлексивностгп а а для любого элемента а Е ЛХ.

2) Симметричностеп если а Ь, то Ь а. 3) Транзитивностгп если а Ь и Ь с, то и с. Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношение:р (признак!) позволяло разбить множество ЛХ на классы. В самом деле, всякое разбиениеданного множества наклассыопределяет между элементами этого множества некоторое отношение эквивалентности. Действительно, если а Ь означает «а находится в том же классе, что и 6», то отношение ~р будет, как легко проверить, рефлексивным, симлеетричным и транзитивным. Обратно, пусть,р - некоторое отношение эквивалентности между элементами множества ЛХ и Х( класс элементов и из ЛХ, эквивалентных данному элементу и: т а.

В силу свойства рефлексивности элемент а сам принадлежит классу К,. Покажем, что два класса К и Х(ь либо совпадают, либо не пересекаются. Пусть некоторый элемент с принадлежит одновременно и К„и 1(ь, т.е. с-а и с-Ь. Тогда в силу симметричности а-с и в силу транзитивпости Если теперь и произвольный элемент из К„, т. е. д а, то в силу (1) и свойства транзитивпости х-Ь, т.е. т Е Х(ь.

Точно так же доказывается, что всякий элемент у е Кв входит в К,. Таким образом, два класса Ко и Кь, имеющих хотя бы один общий элемент, совпадают между собой. Мы получили разбиение множества ЛХ на классы по заданному отношению эквивалентности. Понятие разбиения множества на классы тесно связано с рассмотренным в предыдущем пункте понятием отображения. Пусть Х -- отображение множества А в множество В. Собрав в один класс все элементы из А, образы которых в В совпадают, ') При этом элементы а н Ь берутси в определенном порядке.

Характеристики

Список файлов книги