1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Указание. Воспользоваться свойством 2. 3. Всякое бесконе.чное.множество содержит счетное подмиожество. Доказательство. Пусть ЛХ бесконечное множество. Выберем в нем произвольный элемент аь Поскольку ЛХ бесконочно, в нем найдется элемент аа, отличный от аы затем найдется элемент аз, отличный от а1 и от аз и т.д. Продолжая этот процесс (который не может оборваться из-за «нехватки» элементов, ибо ЛХ бесконечно), мы получаем счетное подмножество А = )аы...,ав,...) множества ЛХ. Предложение доказано. Это предложение показывает, что среди бесконечных множеств счетные являются «самыми маленькими».
Ниже мы выясним, существуют ли несчетные бесконечные множества. 3. Эквивалентность множеств. Сравнивая те или иные бесконечные множества с натуральным рядом, мы пришли к понятию счетного множества. Ясно, что множества можно сравнивать не только с множеством натуральных чисел; устанонление взаимно однозначного соответствия (биекции) позволяет сравнивать между собой любые два множества.
Введем следующее определение. Определение. Два множества, ЛХ и Х, называются эквиналентными (обозначение ЛХ - Лг), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Понятие эквивалентности применимо к любым множествам как конечным, так и бесконечным. Два конечных множества эквивалентны между собой тогда (и только тогда), когда число элементов у них одинаково. Определение счетного множества можно теперь сформулировать следующим образом: множество называется Гл.
а Элементы теории мноыееетв ЗО счетным, если оно эквивалентно мноэкеству нагауральных чисел. Ясно, что два множества, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой; в частности, любые два счетных множества эквивалентны между собой. Примеры. 1. Множества точек на любых двух отрезках ~а, Ь) и [с,д) эквивалентны между собой. Из рис. 5 ясно, как установить между ними биекцию. Именно, точки р и в соответствуют друг другу, если они являются проекциями одной и той же точки г вспомогателыюго отрозка еу. ь е о а Рис.
5 Рис. 6 2. Множество всех точек на расширенной комплексной плоскости эквивалентно множеству всех точек на сфере. Биекцию а +э с можно установить, например, с помощью стереографической проекции (рис. 6). 3. Множество всех чисел в интервале (0,1) эквивалентно множеству всех точек на прямой. Соответствие можно установить, например, с помощью функции р = — агсткх + ~. Рассматривая примеры, приведенные здесь и в п. 2, можно заметить, что иногда бесконечное множество оказывается эквивалентным своей истинной части.
Например, натуральных чисел оказывается «столько же», сколько и всех целых или даже всех рациональных; на интервале (О, 1) «столько же» точек, сколько и на всей прямой, и т.д. Это явление характерно для бесконечных множеств. Действительно, в и. 2 (свойство 3) мы показали, что из всякого бесконечного множества ЛХ можно выбрать счетное подмножество, пусть А = (а1....., ан,... ) такое подмножество. З 3. Эквивалентность множеств.
Хтоилтив мощиостпи з1 Разобьем его на два счетных подмножества А1 = 1а1 аз,аз,...) и Аз = 1аз,ав,аз,...) и установим между А и А1 взаимно однозначное соответстние. Это соответствие можно затем продолжить до взаимно однозначного соответствия между множествами А 0 (ЛХ 1 А) = М и Ас 0 (М 1 А) = = ЛХ 1 Аз, отнеся каждому элементу из М 1 А сам этот элемент. Между тем множество ЛХ ~1 Аз не совпадает с ЛХ, т.
е. является собственным подмножеством для ЛХ. Мы получаем, таким образом, следующее предложение: Волков бесконечное множество эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству. Это свойство можно принять за определение бесконечного множества. Упражнение. Доказать, что если М "- произвольное бесконечное множество и А счетно. то ЛХ М сЗ А.
4. Несчетность множества действительных чисел. В и. 2 мы привели примеры счетных множеств. Число этих примеров можно было бы увеличить. Кроме того, как мы показали, сумма ковечного или счетного числа счетных множеств снова есть счетное множество. Естественно возникает вопрос: а существуют ли вообще несчетные множества? Положительный ответ на него дает следующая теорема. Теорегиа Е Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно. Доказательство. Предположим, что дано какое-то счетное множество (всех или только некоторых) действительных чисел а, лежащих на отрезке ~0, Ц; о1 = О, аыогзасз., сни оз = О, ампззозз ози аз = О, азсоззозз . ° ози ° ° ° а„=О., а„1а за„з...аии Здесь агз — — Ь-я десятичная цифра числа ао Построим дробь й = О, Ь1 Ьз...
Ьи... Гл. Ь Элементы епеогии множеств 32 диагональной процедурой Кантора., а именно: за 51 примем произвольную цифру, не совпадающую с аы, за Ьз произвольную цифру, не совпадающую с агг, и т.дц вообще, за Ьи примем произвольную цифру, нс совпадающую с ап„. Эта десятичная дробь не может совпасть ни с одной дробью, содержащейся в перечне [1). Действительно, от н1 дробь д отличается по крайней мере первой цифрой, от ог второй цифрой и т. дц вообще, так как Ьп ф ап„для всех и, то дробь,д отлична от любой из дробей оо входящих в перечень [Ц.
Таким образом, никакое счетное множество действительных чисел, лежащих на отрезке [О., Ц, не исчерпывает этого отрезка. Приведенное доказательство содержит небольшой «обман», Дело в том, что некоторые числа (а именно, числа вида р/10«) могут быть записаны в виде десятичной дроби двумя способами; с бесконечным числом нулей или с бесконечным числом девяток; например, 2 —— + =0,5000 .
=0,4999... Таким образом, несовпадение двух десятичных дробей еще не гарантирует различия изображаемых ими чисел. Однако если дробь д строить осторожнее, так, чтобы она не содержала ни нулей,. ни девяток, полагая, например, Ь„= 2, если а„„= 1 и Ь„ = 1, если апт ~ 1,то доказательство становится вполне корректным.
Упражнение. Показать, что чиела, обладающие двумя различными десятичными разложениями„образуют счетное множество. Итак, отрезок [О, Ц дает пример несче снего множества. Приведем некоторые примеры множеств, эквивалентных отрезку [О, Ц. 1. Множество всех точек любого отрезка [а, Ь] или интервала [а, Ь).
2. Множество всех точек на прямой. 3. Множество всех точек плоскости, пространства, поверхности сферы, точек, лежащих внутри сферы, и т.д. 4. Множество всех прямых на плоскости. 5. Множество всех непрерывных функций одного или нескольких переменных. В случаях 1 и 2 доказательство не представляет труда [см.примеры 1 и 3 п. 3). В остальных случаях непосредственное доказательство довольно сложно. Упражнение.
Используя результаты этого пункта и упражнение 2 и. 2, доказать существование траиеиендентиъех чисел, т. е. чисет, ие являющихся алгебраическими. 5. Теорема Кантора — Бернштейна. Следующая теорема является одной из основных в теории множеств. З 3.
Эквнвалентносгаь мнозместе. Понятие мошноспш ЗЗ Теорема 2 (Кантор -Бернштейн). Пусть А и В ". два произвольных множества. Если существуют взаимно однозначное отображение у" множества 4 на подмножество В, множества В и взаимно однозначное. отображение д множества В на подвтножество Лт лшожества А, то А и В эквивалентны. Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что .4 и В не пересекаются.
Пусть х — произвольный элемент из А. Положим х = хе и определим последовательность элементов (хв) следующим образом. Пусть элемент тв уже определен. То| да, если п четно, то за хна~ примем элемент из В, удовлетворяющий условию д(хамы) = хн (если такой элемент существует)., а если и нечетно, то хн+г элемент из А, удовлетворяющий условию Д(хны) = х„ (если он существует).
Возможны два слу.чая. 1'. При некотором и элемента хн+г, удовлетворяющего указанным условиям, пе существует. Число и называется порядком элемента х. 2'. Последовательность (хн) бесконечна '). Тогда х называется элементом бесконечного порядки Разобьем теперь А на три множества: Аьч состоящее из элементов четного порядка, Ао множество элементов нечетного порядка и Аг множество всех элементов бесконечного порядка. Разбив аналогичным образом множество В, заметим, что у отображает Ан на Во и Аз на Вз, а д ' отображает Ао на Вп.
Итак, взаимно однозначное отображение зд, совпадающее с у' на Аи 'сз Лт и с д на Ло, есть взаимно однозначное отображение всего А на все В. б. Понятие мощности множества. Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов. Если же эквивалентные между собой множества М и лг произвольны, зо говорят, что Л1 и Х имеют одинаковую мощность. Таким образом, мощность это то общее, что есть у любых двух эквивалентных между собой множеств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
