1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Определенно и основные свойства измеримых функций (300). 2. Действия над измеримыми функциями (301). 3. Эквивалентность (303). 4. Сходимость почти всюду (304). 5. Теорема Егорова (305). 6. Сходимость гго мере (307). 7. Теорема Лузина. С-свойство (309). 3 5. Интеграл Лебега 310 1. Простые функции (311).
2. Интеграл Лебега для простых функций (311). 3. Общее определение интеграла Лебога на множестве коночной меры (314). 4. а-аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега (316). 5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега (321). 6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры (324). 7. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана (326).
3 6. Прямые произведения систем ьгножеств и мер. Теорема Фубини 328 1. Произведение систем множеств (328), 2. Произнедения мер (330). 3. Выражение плоской меры через интеграл линейной меры сечений и геометрическое определение интеграла Лебега (332). 4. Теорема Фубнни (335). ГЛАВА Ч1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 3 1. Монотонные функции. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу 340 1.
Основные свойства монотонных функций (340). 2. Дифференцируемость монотонной функции (343). 3. Производная интеграла по верхнему пределу (350). 3 2. Функции с ограниченны:и изменением .. .. 351 .. 356 '3 3. Производная неопределенного интеграла Лебега.. 5 4. Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерывные функции.
358 5 5. Интеграл Лебсга как функция множества. Теорема Радона Никодима. 368 1. Заряды. Разложение Хана и разложение Жердина (368). 2. Основные типы зарядов (371). 3. Абсолютно непрерывные заряды. Теорема Радона. Никодима (372). 5 6. Интеграл Стилтьеса 375 1. Меры Стилтьеса (375).
2. Интеграл Лобега-Стилтьеса (377). 3. Некоторые применения интеграла Лсбега-Стилтьеса в теории вероятностей (379). 4. Интеграл Римаяа — Стилтьеса (381). 5. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса (384). 6. Общий вид линейных непрерывных функционалов в пространстве непрерывных функций (388). Оглавление ГЛАВА УП ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЬТХ ФУНКЦИЙ 5 1. Пространство 7| 393 1. Определение и основные снойства пространства бг (393). 2.
Всюду плотныс множества в 1 г (395). 3 2. Пространство Хз 398 1. Определение и основные свойства (399). 2. Случай бесконечной меры (402). 3. Всюду плотныо множества в бю Теорема об изоморфизма (404). 4. Комплексное пространство Тт (405). 5. Сходимость в среднем квадратичном и ее связь с другими типами сходимости функциональных последовательностей (406). 3 3. Ортогональные системы функций в 7ю Ряды по ортогональ- 408 ным системам 1. Тригонометрическая система. Тригонометрический ряд Фурье (408). 2.
Тригонометрические системы на отрезке ~0, я] (411). 3. Ряд Фурье в комплексной форме (412). 4. Ывогочлены .Лежандра (413). 5. Ортогонвльные системы в произведениях. Кратные ряды Фурье (415). 6. Ыногочлены, ортогональные относитечьно данного веса (417). 7. Ортогональный базис в пространствах бг( — со,сю) и бт(0,оо) (418). 8. Ортогональные многочлены с дискретным весом (420).
9. Системы Хаара и Радемахера Уолша (422). ГЛАВА УП1 ТРИГОНОМЕТРИт1ЕСКИЕ РЯДЬ1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 3 1. Условия сходимости ряда Фурье. 425 1. Достаточные условия сходимостн ряда Фурье в точке (425). 2. Условия равномерной сходимости ряда Фурье (431). 5' 2. Теорема Фейера. 433 1. Теорема Фойера (433). 2. Полнота тригонометричесной системы. Теорема Ве!1ернгтрасса (436). 3. Теорема Фейера для пространства бг (437). 5 3.
Интеграл Фурье 437 1. Основная теорема (437). 2. Интеграл Фурье в комплексной форме (440). 440 3 4. Преобразование Фурье, свойства и применения 1. Преобразования Фурье н формула обращения (440). 2. Основные свойства преобразования Фурье 1444). 3. Полнота функций Эрмита и Лагерра (447). 4. Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций (448).
5. Преобразование Фурье и свертка функций (449). 6. Примонение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности (450). 7. Преобразование Фурье функций нескольких переменных (452). Оглавление 9 5. Преобразование Фурье в пространстве бг( — оо, со)............. 454 1. Теорема Планшереля (4э5). 2. Функции Эрмита (458). 3 6. Преобразоианне Лапласа .
461 1. Определение и оснонные свойства преобразования Лапласа (46Ц. 2. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод) (463). 3 7. Прообразование Фурье †Стилтье.............................. 464 1. Определоние преобразования Фурье †Стилтье (465). 2. Применения преобразования Фурье- Стилтьеса в теории вероятностей (466). 3 8.
Преобразование Фурье обобщенных функций... .. 468 ГЛАВА 1Х ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3 1. Основные определения. Некоторые задачи, приводящие к ин тегрвльным уравнениям . 472 1. Типы интегральных уравнений (472). 2. Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениям (473). 476 3 2. Интегральные уравнения Фредгольма 1. Интегральный оператор Фредгольма (476).
2. Уравнения с симметрическим ядром (480). 3. Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер (48Ц. 4. Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольными ядрами (483). 5. Уравнения Воль- терра (488), 6. Интегральные уравнения первого рода (489). 3 3. Ицтеграпьны< уравнения, содержащие парамотр. Ъ1етод Фрод гальма 490 1. Спектр компактного оператора в Н (490). 2. Отыскание решения в виде ряда по степеням Л. Детерминанты Фредгольма (49Ц. ГЛАВА Х ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИС 4ИСЛЕНИЯВ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 3 1. Дифферендировавне в линейных пространствах...............
496 1. Сильный дифференциал (дифференциал Фрешс) (496). '2. Слабый дифференциал (дифференциал Гата) (498). 3. Формула конечных приращений (498). 4. Связь между слабой и сильной дифференднруемостью (499). 5. Дифференцируемые функционалы (50Ц. 6. Абстрактные функции (50Ц. 7. Интеграл (50Ц. 8. Производные высших порядков (504).
9. Дифференциалы высших порядков (507). 10. Формула Тейлора (507). Оглавление 10 ДОПОЛНЕНИЕ БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ (В. 34. ТИХОМИГОВ) 3 1. Опродслепие и примеры банаховых адгебр..................... 529 1. Банаховы алгебры, изоморфнзмы банаховых алгебр (529). 2. Примеры бапаховых алгебр (530). 3. Максимальные идеалы (532). 3 2. Спектр и резольвента. 1. Определения и примеры (533).
2. Свойства спектра (534). 3. Теорема о спектральном радиусе (536). 3 3. Некоторые вспомогательные результаты....................... 537 1. Теорема о фактор-алгебре (537). 2. Три леммы (538). 3 4. Основные теоремы 1. Линейные непрерывные мультипликативные функционалы и максиманьные идеалы (539). 2. Топология в множестве М. Основные теоремы (541). 3. Теорема Винера; упражнения (544). 539 Предметный указатель Список литературы .
548 548 9' 2. Теорема о неявной функции и некоторые ее пркменения....... 508 1. Теорема о неявной функции (508). 2. Теорема о зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных (511). 3. Касательные многообразия. Теорема Люстерннка (513). 3 3. Экстремальные задачи. 516 1. Необходимые условия экстремума (516). 2. В горой дифференциал. Достаточные условия экстремума функционала (520).
3. Экстремапьные задачи с ограничевиямн (522). з 4. Метод Ньютона. 524 ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ Читатечь держит сейчас в руках седьмое издание книги, которая в течение почти полувека служит делу математического образонания не только у нас, но и во многих других странах. Хочется еще раз сказать о замечательном творческом союзе двух авторов этой книги. Общий замысел синтетического курса, материал которого был рассеян по многим курсам, читавшимся на механико-математическом ф-те МГУ им. М.В. Ломоносова, принадлежал Андрею Николаевичу Колмогорову. Он разработал программу новой дисциплины Сназванной «Анализом П1»), включив в нее элементы теории множеств, метрических и нормированных пространств, теории меры и интеграла Лебега и линейных операторов в банаховых и гильбертовых пространствах.
А. Н. Колмогоров несколько раз читал лекции по этой программе и задумал написать по нему учебник. Первый вариант книги, вышедшей в двух выпусках 1954 и 19ОО годов в издательстве МГУ, был написан в тесном творческом сотрудничестве А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина, читавшего в те годы курс функционального анализа на физическом факультете. С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
