1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Х1ы скажем, что о = )з, если ъеножества ЛХ и Хз" изоморфны, что а < )), если ЛХ изоморфно какому-либо начальному отрезку множества Хх', и что а > Х4, если, обратно, Ж изоморфно начальному отрезку множества ЛХ. Теорема 1. Любыедва порядковых числа а иб связаны ъеежду собой одним и только одним из соотношений: се=,З, а<В или о>,3. Для доказательства установим прежде всего следу.ющую лемму. Лемма 3. Если Х изоморфное отображоние.вполпеупорядоченного множества А на какое-либо его подмножество В, то Х(а) > а для всех а б А, Действительно, если бы имелись такие элементы а б А, что Х(а) < а, то среди них был бы первый (полпая упорядоченность!).
Пусть это элемент ао и пусть Ьо = Х(ао). Тогда Ьо < ао и, поскольку Х вЂ” изоморфизм Х(Ьо) < Х(ао) = Ьо т.е. ао не был бы первым среди элементов с указанпыъе свойством. Из этой лемъеы сразу же вытекает, что вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно своему отрезку. Если бы А было изоморфно отрезку, определяемому элементом а, то выполнялось бы соотношение Х(а) < а. Поэтому соотношения а = Хз и о < б В 4. Упорядоченные мноокееенвв 43 не могут иметь места одновременно. Аналогично не может быть одновременно а = р и а > 3.
Точно так же несовместны соотношения а < Д и о > р', так как иначе мы получили бы (транзитивность!), что а < а, а это, как мы видели, невозможно. Итак, мы показали, что наличие одного из соотношений а =,3 исключает два остальных. > < Покажем теперь, что одно из этих соотношений всегда имеет место, т.е, что любые два порядковых числа сравнимы. Сначала для каждого порядкового числа о построим множество Иг(а), служащее его «стандартным представителем». Именно, примем за И'(о) множество всех порядковых чисел, меньших а. Числа, входящие в И'(а), все сравнимы между собой, а само множество И' (а) (упорядоченное по величине порядковых чисел) имеет тип о. Действительно, если множество А= 4...,а,...,Ь,...) имеет тип а, то, по самому определению, порядковые числа, меньшие, чем а, взаимно однозначно отвечают начальным отрезкам множества А, а следовательно, и элементам этого множества.
Иначе говоря, элементы множества, имеющего тип а, можно перенумеровать с помощью порядковых чисел, меньших а: А = (ао,аы...,ал, .). Пусть теперь о и В два порядковых числа; тогда А = И'(а) и В = И'Щ -- множества типов а и Д соответственно. Пусть, далее, С = А П В пересечение множеств А и В, т.е. совокупность порядковых чисел, меньших о и д одновременно. Множество С вполне упорядочено; обозначим его тип ц.
Покажем, что е < а. Действительно, если С = А, то ц = а, если же С ~ А, то С есть отрезок множества А и тогда ~<о В самом деле, при всех ~ Е С, ц Е А у С числа ( и ц сравнимы, т.е. ~ > <ц. Но соотношение ц < ~ < о невозможно, так как тогда ц Е С. Итак, с < ц, откуда и видно, что С есть отрезок множества А и у < а. Кроме того, 1 есть первый элемент множества А У, С.
Итак, ц < а и аналогично у < й. При этом случай у < а, ц < Д невозможен., так как тогда мы имели бы у Е А'Л С, у Е В у С, т.е. с одной стороны, у ~ С, с другой стороны, ц Е А гу В = С. Следовательно, возможны лишь случаи у=а, ц=А а=А у=а, ц<Д, а<Д, э<а ц=д а>д т.е. а и о сравнимы. Теорема полностью доказана. 44 Гл. П Элементы тпеорои множеето Каждому порядковому числу отвечает определенная мощностгч а из сравнимости порядковых чисел следует, очевидно, и сравнимость соответствующих мощностей.
Поэтому: Если А и В два вполне упорядоченных множества, то либо они эквиваленпты меэкду собой (равномощпьс), либо же мощность одного из них больше, чем мощность другого (т. е, вполне упорядоченные множества пс могут иметь несравнимых мощностей).
Рассмотрим совокупность всех порядковых чисел, отвечающих к о н е ч н о й и л и с ч е т н о й мощности. Они образуют вполне упорядоченное множество. Нетрудно убедиться в том, что само это множество уже несчетно. Действительно, обозначим в соответствии с общепринятой символикой через асс порядковый тип множества всех счетных трансфинитов. Если бы отвечающая ему мощность была счетной, то счетным было бы и множество, имеющее порядковый тип ыс + 1. Вместе с тем число ыс следует, очевидно, за всеми транс- финитами, отвечающими конечной или счетной мощности. Обозначим мощность, отвечающую порядковому трансфиниту юс, символом Кс. Легко видеть, что никаких мощностей т, удовлетворяющих неравенству Кв <т<Кс, нет.
Действительно, если бы такая мощность и существовала, то в множестве 1Ф'(сос) всех порядковых трапсфинитов, предшествующих шс, имелось бы подмножество мощности сп. Это подмножество вполне упорядочено и несчетно. Но тогда его порядковый тип о предшествовал бы ыс и в то же время следовал за всеми счетными трансфипитами. Мы получили бы противоречие с определением юс, 7.
Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения. Сравнимость вполне упорядоченных множеств по мощности подсказывает следующую постановку вопроса: нельзя ли всякое множество вполне упорядочить каким- либо образом? Положительный ответ означал бы, в частности, что несравнимых мощностей вообще не существует. Такой ответ дал Цермело, доказав, что каждое множество мозсвт быть вполне упорядо сено.
Доказательство этой теоремы Смы не будем воспроизводить его здесь, см., например, [2)) существенно опирается на так называемую аксиому выбора, состоящую в следу.ющем. Пусть А некоторое множество индексов о и пусть для каждого о задано некоторое произвольное множество ЛХ . Тогда, как утверждает аксиома выбора, моэссно построить функцию р на А, относящую каждому о к А некоторый элемент т„из соответшпвующего множешпва ЛХ .
Иными словами, можно составить неко- в 4. упорядоченные множества 45 торое множество, выбрав из каждого М по одному и только одному элементм Теория множеств в той форме, в которой мы ее излагаем, восходит к Кантору и Цермело и является «наивной» теорией множеств. Аксиома выбора, называемая также аксиомой Цермело, возникшая в рамках наивной теории множеств вместе с другими вопросами, такими, как континуум-гицотеза, т.е. вопрос о совпадении мощности континуума с первой несчетной мощностью КП привета к многочисленным спорам и к длинной серии работ по математической логике и основаниям математики.
Были построены аксиоматические теории множеств Геделя— Бернайса и Цермело — френкеля. В рамках этих теорий была установлена непротиворечивость и независимость аксиомы выбора. Мы отсылаем читателя к специальным работам: А. Френкель и И. Бар-Хиллел. Основания теории маожеств. Мл Мир, 1966; П. Дж. Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. Мл Мир, 1969. Заметим, что отказ от аксиомы выбора существенно обедняет теоретико-множественные построения. Вместе с тем критика наивной теории множеств и попытки обойтись без аксиомы выбора повели к созданию таких замечательных теорий, как теория рекурсивных функций, и таких понятий, как понятие вычислимого числа.
Сформулируем некоторые предложения, каждое из которых эквивалентно аксиоме выбора (т. е. каждое из них может быть доказано, если принять аксиому выбора, н обратно, аксиому выбора можно доказать, допустив справедливость какого-либо из этих предложевий). Прежде всего ясно, что таким предложением является сама теорема Цермело. Действительно, если предположить, что каждое из множеств ЛХ вполне упорядочено, то для построения функции 9э, существование которой утверждается аксиомой выбора, достаточно в каждом М взять первый элемент.
Для формулировки друг их предложений, эквивалентных аксиоме выбора, введем следующие понятия. Пусть ЛХ частично упорядоченное множество. Всякое его подмножество А, в котором любые два элемента сравнимы между. собой (в смысле введенной в ЛХ частичной упорядоченности), будем называть цепью. Цещ называется максиэлальной, если она не содержится в качестве собственного подмножества ни в какой другой цепи, принадлежащей ЛХ.
Далее,. назовем в частично упорядоченном множестве М элемент а верхней гранью подмножества ЛХ' С ЛХ, если любой элемент а' Е ЛХ' подчинен а. Теорема Хну сдорфа. В частичноупорядочепном множестве всякая цепь содержится в некоторой его максимальной цепи. Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее удобную из всех формулировок, эквивалентных аксиоме выбора. рл.
й Элементы теории множеств Лемма Цорна. Если всякая цепь в частично упорядоченном множестве Ы имеет верхнюю грань, то всякий элемент из г1г подчинен некоторому максимальному. Доказательство равносильности всех приведенных утверждений (аксиома выбора, теорема Цермело, теорема Хаусдорфа, лемма Цорна) имеется, например, в книге А. Г. Курою. Лекции по общей алгебре. М.: Физматгиз, 1962; см. также [8). Мы не будем его здесь воспроизводить. Если множество верхних граней подмножества А имеет наименьший элемент а, то а называют точной верхней гранью подмножества А, аналогично определяется точи я низскя грань.
Частично упорядоченное множество, всякое иепустое кокечкое подмножество которого обладает точной ворхней граньЮ и точной нижней гранью, называЕтся решеткой, или структурой. 8. Трансфинитная индукпия. Широко распространенный метод доказательства тех или иных утверждений --- это метод математической индукции. Он, как известно, состоит в следующем. Пусть имеется некоторое утверждение Р(и), которое формулируется для каждого натурального числа и, и пусть известно, что: Ц утверждение Р(1) верно; 2) из того, что РЯ верно для всех й < а, следует, что Р(и + 1) верно.
Тогда утверждение Р(п) верно для всех и = 1,2,... Действительно, в противном случае среди тех и, для которых Р(н) неверно, нашлось бы наименьшее число, скажем, и,. Очевидно, что из > 1, т. е. пз — 1 тоже натуральное число, и мы приходим к противоречию с условием 2). Аналогичный прием может быть использован с заменой натурального ряда любым вполне упорядоченным множеством. В этом случае он носит название трансфинитног1 индукции. Таким образом, метод трансфинитной индукции состоит в следующем.
Пусть дано некоторое вполне упорядоченное множество А (если угодно, его можно считать множеством всех порядковых трапгфинитов, меньших некоторого данного) и пусть РЯ некоторое утверждение, формулируемое для каждого а б А н такое, что Р(а) верно для первого элемента из А и верно для а, если оно верно для всех элементов, предшествующих а. Тогда Р(а) верно для всех а б А. Действительно, если бы существовали элементы в А, для которых Р(а) пе имеет места, то в множестве таких элементов нашелся бы первый, скажем, а*, н мы пришли бы к противоречию, поскольку для всех а < а* утверждение Р(а) было бы верно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
