1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Метрические и тополоеичсскис пространства 58 9. Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей к = (тгь... ь т„,... ) действительных чисел. Положив Р(т У) = внут — кь~, (11) мы получим метрическое пространство, которое обозначим ни Справедпивость аксиом 1) 3) очевидна. 10. Множество упорядоченных групп из и, действительных чисел с расстоянием п , г1Р рр(т у) = ~~~', Ье — тр~") (12) где р любое фиксированное число > 1, представляет собой метрическое пространство, которое мы обозначим гк„", . Справедливость аксиом 1) и 2) здесь опять-таки очевидна.
Проверим аксиому 3). Пусть л = (лг,... ьк„), у = (уг,..., у„), г = (яг,..., ьп) — — три точки из 11,",. Положим Уе — ть = аь, вь — Уь = Ь1, тогда неРавенство рр(л, ) < ар(т,у)+рр(у,в), справедливость которого мы должны установить, примет вид ьь Г/р и Г/р и 1ььр (К~ +ЪГ) -(К~ .~') г(К~ь Г) Оь1 А=г ь=ь 1ь= 1 Это так называемое неравенстпвп Минковского. При р = 1 неравенство Минковского очевидно (модуль суммы не превосходит суммы модулей), доэтому будем считать, что р > 1г). Доказательство неравенства (13) при р > 1 основано на так называемом еьерппенсн1ве Геаьдерп и и Г/р и гг'о 1 Еььн с (1 ас ) (~~ьл ), 1и1 ь=г е=! ь=ь где числа р > 1 и д > 1 связаны условием (15) — -'г — = 1 т.е, ц= Р ь1 ' ' ' р — 1' Заметим, что неравенство (14) однородно.
Это значит, что если оно выполнено для каких-либо дву.х векторов а = (пг,... ь и„) и Ь = (Ьг,..., Ь„), то оно выполнено и для векторов Лп, и 1ьЬ, где Л ь) Ири р < 1 неравенство Минковского не имеет места. Иььаче говоря, если бы мы захотели рассььатриватыьростраььство Я", при р < 1, то в таком пространстне не была бы выполнена аксиома треугольника. 1 Ь Поивотс метрического пространства п и )аь(г = ~ )Ьь(в = 1. ь=1 в=1 (16) Итак, пусть выполнено условие (16); докажем, что (аьЬь~ < 1. ь=1 (17) Рассмотрим на плоскости (с, г7) кривую, определяемую уравнением г7 = С" ~ (С > 0), или, что то же самое, уравнением С = г1в (рис.
7). Из рисунка ясно, что при любом выборе положительных значений а и Ь будет ог + Яз > аЬ. Вычислим площади Яг и 59. ~2 )г ~р — г ~~ а" со †Р' 5г о ~2 — / г7 гггг— Рис. 7 Таким образом, справедливо числовое неравенство ао Ьо аЬ < — + —. р я' Заменив здесь а на ~аь( и Ь на ~Ьь~ и суммируя по Ь от 1 до п, получим, учитывая (15) и (16), ~аьЬь~ < 1. ь=г Неравенство (17), а следовательно, и обшее неравенство (14) доказаны.
При р = 2 неравенство Гельдерн (14) гтереходит в неравенство Коши — Буняковского (4). Перейдем теперь к доказательству неравенства Минковского. Для этого рассмотрим тождество ()а( + )Ь!)г = Ца! + /Ь))" ~ )а! + ()а/ + )Ь!)о ' )Ь!. Заменяя в написанном тождестве а на аь и Ь на Ьь и суммируя по 7с от 1 до п, получим и п и ((аь)+ ~Ьь()г = ~ ~Дав/+ )Ьь!)" ')аь(+ ~~ ()аь)+ ~Ьь()г '/Ьь). ь=г ь=г ь=г и р .- произвольные числа. Поэтому неравенство (14) достаточно доказать для случая, когда !И. Ри Метрические и тополоеические пространства ео Применяя теперь к каждой из двух сумм, стоящих справа, неравенство Гельдера и учитывая, что (р — 1)Ч = р, получим и г п ь/а п ь/р и ь/ ~(ровать»ь'е(г гч1+~егг) ($~пг') +(~1ег') ).
Деля обе части этого неравенства на п ьй (г гч~+ 1е.ь ) ь=ь получим (г г.г е ~ь,ь ) Г (г»г ) е (~ ~ьг ) ь=ь ь.=з »=1 откуда сразу следует неравенство (13). Тем самым установлена аксиома треугольника в пространстве К»и. Рассмотренная в этом примере метрика рр превращается в евклидову метрику (пример 3) при р = 2 и в ыетрику примера 4 при р = 1. Можно показать, что метрика р,(я,у) = тах ~уь — яь~, 1(ь<п введенная в примере 5, является предельным случаем метрики /з»(т у), именно: и , ь/р Ьь гь! Ьиь Из неравенства об< — + —, — + — =1е и» Ьч 1 1 и Ч' Р Ч установленного выще, легко выводится и интегральное неравенство Гельдера ь ь 1/» ь ь/в / ран агеь е ~ / мог") (/ ~еог'") а а и справедливое для любых функций х(!) и у(!), для которых стоящие справа интегралы имеют смысл.
Отсюда в свою очередь получается 'интегральное неравенство Минковского ь ь з/» ь ь/р (/М)ееаг'е~) е (!1. аг'а) в(!И1'е~) рл. уа Метрические и тополоеические пространства выполнено неравенство Рз (г 1т) Дто) ) < г (здесь р — расстояние в Х, а Р1 -- расстояние в У). Если отображение у непрерывно во всех точках пространства Х, то говорят, что г' непрерывно на Х. Если Х и У --. числовые множества, т.е. числовая функция, определенная на некотором подмножестве Х числовой оси, то приведенное определение непрерывности отображения превращается в хороню известное нз элементарного анализа определение непрерывности функции.
Аналогично можно определить непрерывную функцию (отображение) 1 от нескольких переменных те Е Хы..., тп е Хп (где Хы,,.,Х„- метрические пространства) со значениями в метрическом пространстве У. Заметим в этой связи, что само расстояние р(т, у), если рассматривать его как функцию переменных я и у из Х, непрерывно. Это сразу же следует из неравенства ~Р(т У) Рабле Уо)! э Р(то,т) + Р(уо, У)) легко выводимого из неравенства треугольника. Если отображение у; Х -+ У взаимно однозначно, то существует обратное отображение я = 1 '(у) пространства 1' на пространство Х.
Если отображение у взаимно однозначно и взаимно непрерывно (т.е. 1 и 1 ' непрерывные отображения), то оно называется гомеоморфным оепобразесенигм или гомеоморфизмом, а сами пространства Х и У, между которыми можно установить гомеоморфизм, называются гомеоморерньеми между собой. Примером гомеоморфных метрических пространств могут служить вся числовая п1зямая ( — со, со) и интервал, например, интервал ( — 1, 1). В этом случае гомеоморфизм устанавливается формулой у = — агсгк т,.
Важным частным случаем гомооморфизма является так называемое изометрическое отображение. Говорят, что биекция г' между метрическими пространствами Л = (Х, Р) и Л' = (У, р') является изометрией, если для любых ты яг 6 Л. Пространства Л и Л', между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изомгтричными. Изометрия пространства Л н Л' означает, что метрические связи между их элементами одни и те же; различной может быть лишь 1 2.
Оходнмоеть. Открытые и замкнутые мноон:еетеа природа их элементов,что с точки зрения теории метрических пространств несущественно. В дальнейшем изометричные между собой пространства мы будем рассматривать просто как тождествснпыс. К изложенным здесь понятиям (непрерывиостгн гомеоморфизм) мы вернемся., с более общей точки зрения, в конце з 5 этой главы. з 2. Сходимость.
Открытые и замкнутые множества 1. Предельные точки. Замыкание. Мы введем здесь некоторые понятия теории метрических пространств. Эти понятия мы неоднократно используем в дальнейшем. Отпкрмтпым шаром В(хо, г) в метрическом пространстве Л мы будем называть совокупность точек х е В, удовлетворяющих условию Р(х»хо) < г. Точка хо называется центром этого шара, а число г — его радиусом.
Замкнутым шаром В[хо, г] мы назовем совокупность точек х е Хг, удовлетворяющих условию Р(х, хо) еь г Открытый шар радиуса в с центром хо мы будем называть также е-вкрешпнвстью точки хо и обозначать символом 0,(хо). У и р аж в е н и в. Привести пример метрического пространства и таких двух шаров В(х,рз), В(у,рз) в нем, что ре ) рз, и тем не менее В(х,рз) С В(у,рз). Множество ЛХ С В. называется ограниченнылц если оно содержится целиком в некотором шаре. Точка х Е В называется тачкой прикосновения множества ЛХ с В, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из ЛХ. Совокупность всех точек прикосновения множества ЛХ обозначается [Л1] и называется замыканием этого множества.
Таким образом, мы определили для множеств метрического пространства операцию замыкантие — . переход от множества М к его замыканию [ЛХ]. Теорема 1. Операция замыкания обладает след тощими свой- ствамн: 1) М с [ЛХ], 2) [[ЛХД = [ЛХ], 3) если ЛХ1 с Мг, то [Мг[с [ЛХг], 4) [ЛХ, О Л1а] = [ЛХ,] С [Л1а]. Рл. В. Метрические и тополоеические пространства Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как всякая точка, принадлежащая М, является для М точкой прикосновения. Докажем второе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
