1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Определение и примеры полных метрических пространств. С первых шаган изучения математического анализа мы видим, сколь важную роль играет в анализе свойство полноты числовой прямой, т.е. тот факт, что всякая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится к некоторому пределу. Числовая прямая служит простейшим примером так называемых п о л н ы х метрических пространств, основные свойства которых мы рассмотрим в этом параграфе. Последовательность 1х„) точек метрического пространства Н мы будам называть с1лундамепталъной, если она удовлетворяет критерию Коши, т.

о. если для любого е > 0 существует такоо число Х„ что р(хп, х„) < е для всех гл' > Х., пп > Хе. Из аксиомы треугольника пепосредстненно следует, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Действительно, если 1х„) сходится к х,то для данного е > 0 можно найти такое число Хе, что р(хоп х) < е/2 для всех и > Л'е. Тогда р(х„, х„) < ( р1хлл, х) + р1х„, х) < е для любых и' > Л'е и по > Х,. Определение 1. Если в пространствеНлюбаяфундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полньлм.

74 Гл. П. Метрические и тополоеические простраистоа Примеры. Все пространства, рассмотренные в з 1, за исключением указанного в примере 8, полные. Действительно: 1. В пространстве изолированных точек (пример 1 З 1) фундаментальны только стационарные последовательности, т. е. такие, в которых, начиная с некоторого номера, повторяется все время одна и та же точка. Всякая такая последовательность, конечно, сходитсяг т.

е, это пространство полно. 2. Полнота евклидова пространства К вЂ” совокупности действительных чисел -- известна из анализа. 3. Полнота евклидова пространства Ип непосредственно вытекает из полноты В. В самом деле, пусть )х~~~) . фундаментнсчьная последовательность точек из Б'."З это означает, что для каждого з > О найдется такое Х = Х„что гг Е*н-х Ой (41)з < з хь ь ь.=г при всех р, с7 больших, чем г7. Здесь х1Р1 = 1х ',...,х~" ). Тогда для каждого Й = 1, .., ги получаем соответствующее неравенство для коо динаты х Р ь [,(И,И1[ < для всех р, г1 > Х, т.е, [х ) .- фундаментальная числовая последовательность.

Положим хь = 1пп х„и х = [хы,х ). (И р — г г.'о Тогда очевидно 1пп хгог = х. р — г с:о 4 — ое. Полнота пространств Ь". и К" доказывается совершенно аналогично. 6. Докажем полноту пространства С[а,б). Пусть 1хп(1)) некоторая фундаментальная последовательность в С[а, )г). Это означает, что для каждого с > О существует такое Х, что [х„[1) — хм[1) [ < с при и, ис > 7У для всех 1 [а < 1 < ь). Отсюда вытекает, что последовательносгь )х„[г)) равномерно сходится. Как известно, в этом случае ее предел х[1) будет непрерывной функцией. Устремляя в предыдущем неравенстве ьч к бесконечности, получим [хи [с) — х[1) [ < е для всех 1 и для всех и > Х, а это и означает, что )хи[с)) сходится к х[1) в смысле метрики пространства С[а, )г).

1 3. Полные метрические иростронство 7. Пространство (и. Пусть (х(и) ) - фундаментальная последовательность в 12. Это означает, что для любого е ) О найдется такое Х, что ванного И (п) (т))2 1=1 В этой сумме теперь только конечное число слагаемых, и мы можем, зафиксировав и, перейти к пределу при пе — р оо. Получим М ( (и) )2 < Е Ь=1 Это равенство верно при любом ЛХ. Восстановим бесконечный ряд, переходя к пределу при ЛХ -э со;получаем ( (и) )2 < (2) Ь=1 Из сходимости рядов 2 (х„) и 2 (х„— хк)2 следует сходимость В=1 Ь=1 ряда 2 х2 (в силу элементарного неравенства (а+(7)2 < 2(от+ от)), В=1 т.е, утверждение а) доказано. Далее, так как е произвольно мало, то неравенство (2) означает, что 1пп р(х(и),х) = !пп и — еос и — 1 си (х„и — хь)2 = О, 1=1 т.е. х(и) — 1 х в метрике 12.

Утверждение б) доказано. 2( (п) (т)) ~( (п) (т))2 )у (1) Ь=1 Здесь х(и) = (х(п),, ..,х,,и)). Из (1) следует, что при любом й (хь' — хь ) < е, т.е. при каждом )с последовательность дейст(в), (и') 2 вительных чисел (х( )) фундаментальна и потому сходится. ПоложИМ ХЬ = 1ПП Х,и . ОбОЗНаЧИМ ЧЕРЕЗ Х ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ (Х1,. (и) иесс ...,хы.,.), Нужно показать, что: а) хг < со, т.е.

х Е!2, 1=1 б) 1пп р(х(и), х) = О. и — <и. Сделаем это. Из неравенства (1) следует, что для любого фиксиро- Гл. -. гнстринсснис и тополовинсснис пространства 7б 8. Легко убедиться в том, что пространство Сг[а, .Ь] не полно. Рассмотрим, например, последовательность непрерывных функций р.И) = при — 1 < 1 < — 1]п, при — 17п < 1 < 1ггн, при 1]11 < 1 < 1. Она фундаментальна в С1[ — 1, 1], так как 1 — 1 Однако она не сходится ни к какой функции из Сз [ — 1, 1]. Действительно, пусть 1 некоторая функция из С1[ — 1, 1] и 91 разрывная функция, равная — 1 при 1 < О и +1 при 1 > О.

В силу интегрального неравенства Минковского [справедливого, очевидно, и для кусочно-непрерывных функций) имеем (Уа1)-М))е )' < < ( ~ [У[1) — Р„[1))е 1) + ( ) [Рп[1) — 9[1))' 11) — 1 — 1 В силу непрерывности функции 1' интеграл в левой части отличен от нуля. Далее, ясно, что ~ [ .[1) - [1))е = О. — 1 Поэтому / [1[1) — ггг„[1))еггс не может стремиться к нулю при — 1 и -+ со. У и р а ж н е и и е. Доказать, что пространство всех ограниченных последовательностей 1пример 9 з 1) полно. 2.

Теорема о вложенных шарах. В анализе широко используется так называемая лемма о вложенных отрезках. В теории метрических пространств аналогичную роль играет следующая теорема, называемая теоремой о вложенных шарах. Доказательство.

Необходимость. Пустьпространствой полно и пусть Вг, Вю Вз,... последовательность вложенных друг Теорема 1. Для того чтобы метрическое цросггранство В было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всягсая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к пулю, имела непустое пересечение. 1 3. Полные метрические ироссаранство 77 в друга замкнутых шаров. Пусть гн - радиус, а хи - центр шара Ви. Последовательность центров 1хсс1 фундаментальна, посколь- кУ Р(хи,х ) < го нРи т > и, аз„-э О нРи и -э оо.

Так как В полно, то !ни хи сущестнует. Положим х = 1нн хн; тогда х е И В„. Дейл-е со и — еос ствительно, шар Вн содержит все точки последовательности (х„1, за исключением, быть может, точек хи,.,, х„и Таким образом, х является точкой црикоснонения для каждого ц|ара В„. Но так как В„- замкнутое множество, то х Е Ви для всех п.

Достаточность. Пусть 1хи1 фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет предел. В силу фундаментальности мы можем выбрать такую точку хи, нашей последовательности, что р(хн, хн,) < 1/2 нри всех и > иг. Примем точку х„за центр замкнутого шара радиуса 1. Обозначим этот шар Вь Выберем затем хив из 1х„1 так, чтобы было из > ич и р(хи,х„.,) < 1/2в нри всех и > из. Примем точку х„, за центр шара радиуса 1/2 и обозначим этот шар Вв, Вообще, если точки х„,,..., х„„уже выбраны (п~ < < пь), то выберем точку хн„, так, чтобы было иьлс > иь и р(хис хи,з,) < 1/2ьэ' нри всех п > пьэы и окружим ее замкнутым шаром Вьэ7 радиуса 1/2".

Процолжая это построение, получим последовательность замкнутых шаров Вгн вложенных друг в друга, причем шар Вь имеет радиус 1/2" з. Эта последовательность шаров имеет, но нредноложению, общую точку; обозначим ее х. Ясно, что эта точка х служит пределом нодноследовательности ~х„„~. Но если фундаментальная последовательность соцержит сходящуюся к х нодпоследовательность, то она сама сходится к тому же пределу. Таким образом, х = 1шс хи. и-ос 7У и р а ж н е н и я.

1. Доказать, что пересечение замкнутых вложенных шаров в вредыдущей теореме сводится к одной точке. 2. Диамсгпром множества ЛХ в метрическом пространстве называется число сХ(ЛХ7 = вир р(х,у). оем Доказать, что в полном метрическом пространстве всякая последовательность в,чоженных друг в друга ненустых замкнутых множеств, диаметры которых стремятс:я к нулю, имеет ненустое пересечение. 3.

Привести пример полного метрического пространства и носледоватсльности влОженных друг в друга замкнутых шаров в нам, имовщей и у с т о е пересечение. 4. Доказать, что надпространство нолного метрического нространства В полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто в Н. Рл. 7Ь Метрические и тополоеичеспие пространства 78 3.

Теорема Бара. В теории полных метрических пространств фундаментальную роль играет следующая теорема. Теорема 2 [Взр). Полное метрическое пространство Л не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств. До к аз а тел ь от в о. Предположим противное. Пусть Лип[) ЛХ„„ п=1 где каждое из множеств ЛХ нигде не плотно. Пусть Яв некоторый замкнутый шар радиуса 1.

Поскольку множество ЛХы будучи нигде но плотным, не плотно в Лв, существует замкнутый шар 51 радиуса меньше 11'2, такой, что 57 С Яв и о7 ГЗ ЛХ7 = О. Поскольку множество ЛХт не плотно в Яы по той же причине в шаре Я~ содержится замкнутый шар Ят радиуса меньше 17'3, для которого оз О ЛХт — — И и т.д. ЛХы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров 15„), радиусы которых стремятся к нулю, причем Яп О ЛХп ес О. В силу теоремы 1 пересечение [) Я„ п=1 содержит некоторую точку х. Эта точка по построению не принадложит ни одному из множеств ЛХп, следовательно, т ф [ )ЛХ„, т.е.

Л ф [) Мп, в противоречии с предположением. п В частности, всякое полное метрическое прошпранство без изолированных точек несчетно. Действительно, в таком про<жранстве каждое множество, содержащее лишь одну точку, нигде не плотно. 4. Пополнение пространства. Если пространство Л не полно, то его всегда можно включить некоторым (и, по существу, единственным) способом в полное пространство. Определение 2. Пусть Л вЂ” метрическое пространство. Полное метрическое пространство Л* называется пополнением пространства Л, если: 1) Л является подпространством пространства Л*; 2) Л всюду плотно в Л*, т.е.[Л) = Я'.

Характеристики

Список файлов книги