1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В этом случае для отображения д = АХ' полного пространства С[а, 6) в себя, заданного формулой ь д(х) = Л 1 К(х,у; Х(у)) йу+ р(х), (1Ж а имеет место неравенство ьпак)дь(х) — дй(х)~ < ~Л~ЛХ(6 — о) шах)Хь(х) — Хз(х)), где дь = АХы дз = АХз. Следовательно, при (Л) < отобра- 1 ЛХ(6 — а) жение А будет сжимающим. Гл. Ра Метрические и тоиоооеические простраистоа 90 3. Уравнения Вольтерра. Рассмотрим, наконец, интегральное уравнение типа Вольтерра 1(х) = Л ~ К(х, у'у(у) ду+ р(х). (14) и Здесь, в отличие от уравнений Фредгольма, верхний предел в интеграле . переменная величина х. Формально зто уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредг ольлга, доопределив функцию К равенством: К(х, у) = О при у > х. Однако в случае интегрального уравнения Фредгольма мы были вынуждены ограничиться малыми значениями параметра Л, а к уравнениям Вольтерра принцип сжимающих отображений (и метод последовательных приближений) применим при всех значениях Л.
Точнее, речь идет о следующем обобщении принципа сжимающих отображений. Пгугсгггг А такое непрерывное отобразгсениг полного метрического прострааства В в себя, что некотории его степень В = А" является ыкатием; тогда уравнение имеет одно и только одно решение. Действительно, пусть х неподвижная точка отображения В, т. е.
Вх = х. Имеем Ах = АВьх = ВьАх = В" хо — г х, Л вЂ” ~ оо, ибо отображение В -- сжиъгающее, а потому последовательность Вхо, Вгхо, Взхо,... для любого хо Е В сходится к неподвижной точке х отображения В. Следовательно, Эта неподвижная точка единственна, поскольку всякая точка, неподвижная относительно А, неподвижна и относительно сжимающего отображения А", для которого неподвижная точка может быть только одна. Покажем теперь,что некоторая степень отображения АДх) = Л / К(х, у)Ду) ду+ гр(х) являотся сжатием. Пусть )г и ге две непрерывные функции на от- резке (а, 'о) Тогда ~АУг( )-АЛ( )~ = ~Л~/~ек(х,у)(Уг(у)-У,(у))ду < < ! Л ! ЛХ (х — а) шах ф (х) — 19 (х) /.
1 5. 'Хопологичгооае прооогропотггоо Здесь М = шах ~К(г, р) ~. Отсюда ~-4 Л(т) -' Ыг:)~ <Р~ М и'ах~А( ) -Уг(т)~ и, вообще, (Ь вЂ” )" )А"Л(т) — А"Тг(я)! < (Л/"М", т ~< ~Л~ "М"т где т = шах /~~(я) — )з(т)/. При любом значении Л число и можно выбрать настолько боль- !Л!" М" (Ь вЂ” а) Тогда отображение А" будет сжатием. Итак, уравнение Вольтерра (14) при любом Л имеет решение, и притом единственное. з 5.
Топологические пространства 1. Опрецеление и примеры топологических пространств. Основные понятия теории метрических пространств (предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества и т.д.) мы вводили, опираясь на понятие окрестности или, что, по существу, то же самое, на понятие открытого множества. Эти последние понятия (окрестность, открытое множество) в свою очередь определялись с помощью метрики, заданной в рассматриваемом пространстве.
Можно, однако, стать на другой путь и, не вводя в данном множестве Л метрику, непосредственно определить в В систему открытых множеств посредством аксиом. Этот путь, обеспечивая значительно болыпую свободу действий, приводит нас к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой хотя и весьма важный, но несколько специальный случай. Определение. Пусть Х некоторое множество пространство-носитель.
Топологией в Х называется любая система т его подмножеств С, удовлетворяющая двум требованиям: 1'. Само множество Х и пустое множество И принадлежат т. 2'. Сумма ( ) С любого (конечного или бесконечного) и пересечение П Сь любого конечного числа множеств из т принадлежат т.
о=1 Множество Х с заданной в нем топологией т, т.е, пара (Х, г), называется тоиологическам ироспгрпнством. 92 Рл. 1!. Метрьчеспае а тополоеачеспае пространства Множества, принадлежащие системе т, называются откр»етыми. Так же как метричоское пространство есть совокупность множества точек — — «носителя» и введенной в этом множестве метрики, топологическое пространство ость совокупность множества точек и введенной в нем топологии.
Таким образом, задать топологическое пространство — это значит задать некоторое множество Х и задать в нем топологию т, т. е. указать те подмножества, которые считаются в Х открытыми. Ясно, что в одном и том же множестве Х можно вводить разные топологии, преврап1ая его тем самым в различные топологические пространства. И все же топологическое пространство, т.е. пару (Х, т), мы будем обозначать одной буквой, скажем, Т.
Элементы топологического пространства мы будем называть точками. Множества Т'уС, дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства Т. Из аксиом 1' и 2' в силу соотношений двойственности Я 1 гл. 1) вытекает, что: 1. Пустое множество ю н все Т замкнуты.
2. Пересечение любого (коне того или бесконечного) числа и сумма конечного числа замкнутых множеств замкнуты. На основе этих определений естественно вводятся во всяком топологическом пространстве понятия окрестности, точки прикосновения, замыкания множества и т.д. Именно: Окрестностью точки х Е Т называется всякое открытое множество С с Т, содерж пцее точку:ь"., точка я е Т называется точкой прикосновения множества ЛХ С Т, если каждая окрестность точки я содержит хотя бы одну точку из ЛХ; х называется предельной точнов множества ЛХ, если каждая окрестность точки я содержит хотя бы одну точку из ЛХ, отличну.ю от я. Совокупность всех точек прикосновения множества ЛХ называется замыканием мнозюества ЛХ и обозначается символом [ЛХ].
Легко доказать (проведите это доказательство), что замкнутые множества (определенные нами выше как дополнения открытых), и только они, удовлетворяют условию ~м] = ЛХ. Как и в слу аае метрического пространства, ~ЛХ] есть наименыиее з мкнутое множество, содержащее ЛХ. Упражнение. Докажите, что операпия замыкания е~ЛХ], определенная с помощью топологии, обладает свойствами 1) — 4), сформулированными в теорелш 1 з 2. П р и м е р ы. 1. В силу теоремы 3' 2 2 открытые множества во всяком метрическом пространстве удовлетворяют аксиомам 1' и 2' определения топологического пространства.
Таким образом, всякое метрическое пространство является и топологическнм пространством. 1 5. Тополоепчеспие прострапсеаоа 93 2. Пусть Т . произвольное множество. Будем считать открытыми все его подмножества. Аксиомы 1' и 2' при этом, очевидно, выполнены, т.е. мы действительно получаем топологическое пространство. В нем все множества одновременно и открыты, и замкнуты, и, значит, каждое из них совпадает со своим замыканием.
Такой дискретной топологией обладает, например, метрическое пространство, указанное в примере 1 9 1. 3. В качестве другого крайнего случая рассмотрим в произвольном множестве Х тривиальную топологию, состоящую только из двух множеств: всего Х и пустого множества И. Здесь замыкание каждого непустого множества есж все Х. Такое топологичоскос пространство можно назвать «просьпранставом слньпипяся таочскх 4. Пусть Т состоит из двух точек а и Ь, причем открытыъ|и множествами мы считаем все Т, пустое множество и множество, состоящее из одной точки Ь. Аксиомы 1' и 2' здесь выполнены. В этом пространстве (которое часто называют связным двоеточием) замкнуты такие подмножества: все Т, пустое множество и точка а.
Замыкание одноточечного множества (а) есть все Т. Упражнение. Постройте все топологии в пространстве Х, состоящем яз двух, трех, четырех и пяти точек. 2. Сравнение топологий. Пусть на одном и том же носителе Х заданы две топологии т, и тз (тем самым определены два топо- логических пространства: Т1 = (Х,те) и Тз = (Х,тз). Мы скажем, что топология те сильнее, или тоньше топологии тг, если систеъщ множества тз содержится в т,. Про топологию тх при этом говорят, что она слабее, или грубее, чем т,.
В совокупности всех возможных топологий множества Х естественным образом вводится частичная упорядоченность (топология тз предшествует ты если ова слабое, чем т~ ). В этой совокупности топологий есть максимальный элемент топология, в которой все множества открыты (пример 2), -- и минимальный — топология, в которой открыты только все Х и О (пример 3). Т е о р е м а 1. Пересечение произвольного множества топологий т = Пт в Х есть топология в Х. Эта топология т слабое любой а из топологий т„. Доказательство.
Ясно, что Пт содержит Х и О. Далее, из того, что каждое т замкнуто относительно взятия любых сумм и конечных пересечений, следует. что этим свойством обладает ит=пт„. рл. П. Метрические и тополоеачесвае пространства 94 Следствие. Пусть '.о . - произвольный запас подмножеств множества Х; тогда существует мнниъсальная топология в Х, содержащая сВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
