1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Действительно, топологии, содержащие сВ, существуют (например, та, в которой все Л С Х открыты). Пересечение всех топологий, содержащих сВ, и есть искомая. Эта минимальная топология называется топологией, порожденной' сиспгемой' З, и обозначается т(сВ). Пусть Х . произвольное множество и А - его подмножество. Следом системы множеств !о на подмножестве А называется система Зл, состоящая из подмножеств вида А О В, В Е сВ. Легко видеть, что след (на Л) топологии т (заданной в Х) является топологией тл в А.

Таким образом, всякое подмножество Л любого топологического пространства само оказывается топологическим пространством. Топологическое пространство (А, тл) называется подпространством исходного толологнчсского нространсгва (Х, т). Ясно. что две различные топологии, тс и тг, в Х могут порождать одну и ту же топологию в Л с Х. Топология тл называется относительной топологией в А. 3. Определяющие системы окрестностей. База. Аксиомы счетности. Как мы видели, задать в пространстве Т тосюлогию — это значит задать в нем систему открытых множеств.

Однако в конкретных задачах бывает удобно задавать не всю топологию, а лишь некоторую ее часть, т.е, некоторый запас открытых множеств, по которому однозначно определяется совокупность всех открытых подмножеств. Так, например, в метрическом пространстве мы ввели сначала понятие открытого шара (г-окрестности), а затем определили открытые множества как такие, в которых каждая точка содержится вместе с некоторой своей шаровой окрестностью. Иными словами, в метрическом пространстве открыты те и только те лсножества, которые лсожно представить как суммы открытых шаров (в конечном или бесконечном числе). В частности, на прямой открыты множества, предстанимые н ниде сумм слнтервалон, и только они.

Эти соображения приводят нас к важному понятию базы топологичоского пространства. Определение. Совокупность В открытых подмножеств называется базой топологии пространства Т, если всякое открытое множество в Т может быть представлеяо как сумма некоторого числа (конечного или бесконечного) множеств из ь. Так, например, совокупность всех открыл ых шаров (с произвольным центром и радиусом) образует базу в метрическом пространстве.

В частности, система всех интервалов база на прямой. Базу 1 5. '1'аналогическое г»ространсгпео 95 на прямой образуют и одни только интервалы с рациональными концами, поскольку в виде суммы таких интервалов можно представить любой интервал, а значит, и любое открытое множество на прямой. Итак, топологию т пространства Т можно задать, указав в этом пространстве некоторую ее базу. 6; эта топология т совпадает с совокупностью множеств, представимых как суммы множеств из 6.

Всякая база 6 в топологическом пространстве Т = (Х, г) обладает следующими двумя свойствами; 1) любая »почка х й Х содержится хотя бы в одном С е 0; 2) если х содерэкится в пересечении двух множеств С» и Сз из 6, то суи»ествует такое Сз Е Ц, что х Е Сз С С» Г~ Сз. Действительно, свойство 1) просто означает, что все Хг будучи открытым, должно предстанляться как сумма каких-то множеств из 6, а 2) вытекает из того, »то С» Г1 Сг открыто и, следовательно, есть сумма каких-то элементов базы. Обратно, пусть Х произвольное множество и й система подмножеств в Х, обладающая свойствами 1) и 2).

Тогда совокупность множеств, представимых как суммы множеств из 6, образует в Х топологию (т. е. удовлетворяет аксиомам 1' и 2' определения топо- логического пространства). Действительно, пусть т»,й) совокупность всех множеств из Х, представимых как суммы множеств из й. Тогда пу.етое множество ') и все Х принадлежат т(й) и сумма любого числа множеств из т(й) также принадлежит тЯ.

Покажем, что пересечение любого конечного числа множеств из гЯ) принадлежит т(й). Достаточно проверить это для двух множеств. Пусть А = ОС и В = » )Св, тогда н А О В = »)(С„ПСв). Из условия 2) следует, что каждое С ОСн а,в содержится в т»й). Но тогда и А П В б т(й). Итак, мы получаем следу»ощий результат. Теорема 2. Для гого чтобы система Ц подмножсстна С множества Х была базой некоторой топологии в Х необходимо и достаточно, чтобы 6 обладала свойствами 1) и 2).

Пусть теперь в пространстве Т задана некоторая фиксированная топология т. Взяв в Т некоторую систему 6 открытых множеств, обладающую свойствами 1) и 2), и приняв ее за базу, мы очевидно получили в Т топологию т(Я, или совпадающую с исходной топологией г, или более слабую. Установим условия, при которых й порождает именно данную топологию т. ) Оно получается квк сумма пустого множества элементов системы Ц. Рл. 1!. Метрические и тополоенчеснне пространства 96 Те о ре м а 3. Для того чтобы система й с С была базой данной топологии т, необходимо и достаточно следующее условие:. 3) для каждого открытого множества С и каждой точки х Е С существует такое С, Е Ц, что х Е С С С.

До к а з а т е л ь с т в о. Если условие 3) выполнено, то всякое открытое множество С представимо в виде еец т. е. й есть база топологии т. Обратно, если й есть база топологии т, то всякое С Е т представимо в виде суммы множеств нз й, а тогда для всякого х Е С найдется такое С, Е й, что х Е Сл С С. Упражнение.

Пусть Ц1 и бг — две базы в Х (т.е. две системы множеств, удовлетворяющих условиям П и 2), а г1 и гг., --. определяемые ими топологии. Докажите, что г1 С гг в том и только том случае, если для любого Се Е Ц~ и любой точки х Е С1 существует такое Сг Е 0г, что хЕбе ССь С помощью теоремы 3 легко устаповиттч например, что во всяком метрическом пространстве совокупность всех открытых шаров образует базу его топологии.

Совокупность всех шаров с рациональными радиусами также представляет собой базу. На прямой базой может служить, например, совокупность всех рациональных интервалов (т. е. интервалов с рациональными концами). Важный класс топологических пространств образуют п р о с транства со счетной базой, т.е. такие пространства, в которых существует хотя бы одна база, состоящая пе более чем из счетного числа множеств. Пространства со счетной базой называют также пространств ми со второй аксиомой счетности.

Если в топологическом пространстве Т имеется счетная база, то в нем обязательно имеется счегпное всюду п„латное множество, т. е. такое счетное множество, замыкание которого есть все Т. Действительно, пусть 1С„1 такая база. Выберем в каждом из элементов этой базы произвольную точку х„. Счетное множество Х = 1х„1 всюду плотно в Т, так как в противном случае непустое открытое множество С = Т1 1Х) не содержало бы ни одной точки из Х, что невозможно, поскольку С есть сумма некоторых множеств из системы 1С„1, а х„Е Сп.

Топологические пространства со счетным всюду плотным множеством, как и метрические, называются сепарабельпьеми. Для метрических пространств верно утверждение, обратное только что доказанному: 1 5. '1'аналогические проетрапмпво 97 Если метрическое пространство В сепарабельно, то в Х1 есть и с~етная база. Действительно., такую базу образуют, например, откРытые шаРы В(х„, 11'т) г где 1х„) счетное всюдУ плотное множество, а и и т независимо пробегают все натуральные числа. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Метрическое пространство В имеет счетную базу тогда н только тогда, когда оно сепарабельно. В силу этой теоремы все, примеры сепарабельных метрических пространств могут служить и примерами метрических пространств со второй аксиомой счетности. Несепарабельное пространство ограниченных последовательностей (сы. пример 9 9 1) не имеет и счетной базы. Замечание. Теорема 4, вообще говоря, неверна для произвольных (не метрических) топологических пространств: можно указать примеры сепарабельных пространств без счетной базы. Поясним происходящие здесь явления. Для каждой точки х метрического пространства В существует с чети ая система 11 ее окрестностей (например, система открытых шаров В(х, 17гп)), обладающая следующим свойством; каково бы ни было открытое множество Сг содержащее точку х, найдется окрестность из системы 11, целиком лежащая в С.

Такая система окрестностей называется определлюи1ей системой окрестностей точки х. Если точка х топологического пространства Т имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке. выполнена перва аксиома счетносггги. Если это верно для каждой точки пространства Т, то пространство Т называется пространством с первой аксиомой счетности. Всякое метрическое пространство, даже и несепарабельное, автоматически удовлотворяет первой аксиоме счетпости.

Однако в произвольном топологическом пространстве (даже если оно состоит лишь из счетного числа точек) первая аксиома счстпости может не иметь места. Поэтому те рассуждения, с помощью которых мы для метрического пространства вывели из наличия счетного всюду плотного множества существование в таком пространстве счетной базы, не переносятся на случай произвольного топологического пространства.

Но даже и в сепарабельном топологическом пространстве с первой аксиомой счетности счетной базы может не быть. Система множеств 1ЛХ ) называется покрытием множества Х, если ) ) ЛХо з Х. Покрытие топологического пространства Тг состоящее из открытых (замкнутых) множеств, называется открьипым 98 Рл. 1й Метрические и тапалагичеаиие пространства (замкнутым) покрытием. Если некоторая часть (ЛХ,) покрытия (ЛХ,) сама образует покрытие пространства Т, то (М,) называется подпокрышием покрытия (М ). Теорема 5.

Характеристики

Список файлов книги