1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Если Т топологическое пространство со счетной базой', то из всякого его открытого покрытия можно выбрать конечное или счетное подпокрытие. Доказательство. Пусть (О ) некоторое открытое покрытие пространства Т. Тогда каждая точка х 6 Т содержится в некотором О . Пусть (С„) счетная база в Т.

Для каждого х с Т существует такой элемент С„[х) этой базы, что х Е С„(х) с О . Совокупность выбранных таким образом множеств Сп[х) конечна или счетна и покрывает все Т. Выбрав для каждого С„(х) одно из содержащих его множеств О, мы и получим конечное или счетное подпокрытие покрытия (О„). Теорема доказана. По определению топологического пространства пустое множество и все пространство Т одновременно открыты и замкнуты. Пространство, в котором нет никаких других множеств, одновременно открытых и замкнутых, называется связным. Прямая линия К представляет собой один из простейших примеров связных пространств.

Если же из К удалить одну или несколько точек, то оставшееся пространство уже не будет связным. 4. Сходящиеся последовательности в Т. На топологические пространства легко переносится знакомое нам в случае метрических пространств пояятие сходяп1ейся последовательности. Именно, последовательность хы...,хп,... точек из Т называется сходящейся к точке х, если любая окрестность точки х содержит все точки этой последовательности, начиная с некоторой. Однако в топологических пространствах это понятие сходимости не играет той фундаментальной роли, которая ему нринадложит в метрических пространствах. Дело в том, что в метрическом пространстве ХХ точка х есть точка прикосновения множества ЛХ С ХХ в том и только том случае, когда в ЛХ существует послсдовательностач сходящаяся к х, тогда как в топологическом пространстве это, вообще говоря, не так.

Из того, что х есть точка прикосновения дпя ЛХ (т. е. принадлежит [ЛХ)) в топологическом пространстве Т не вытекает существование в М последовательности, сходящейся к х. Возьмем в качестве примера отрезок [О, Ц и назовем открытыми те его подмножества (наряду с пустым множеством), которые получаются из ного выбрасыванием любого конечного или счетного числа точек. Легко проверить, что требования 1' и 2' [п. 1 8 5) при этом будут выполнены, 1 5. Тоиологичеекие ггроетраиегаоа 99 т.

е, мы получим топологическое пространство. В этом пространстве сходящимися будут только стационарные последовательности, т.е. такие, элементы которых, начиная с некоторого номера, совпадают: х„ = хиэг = ... (докажите это!). С другой стороны, если мы возьмем,например, в качестве ЛХ полуинтервал (О, Ц,то точка О будет для пего точкой прикосновения (проверьте!), но никакая последовательность точек из ЛХ не сходится к О в нашем пространстве.

Сходящиеся последовательности «восстанавливаются в своих правах», если мы рассматриваем не произвольные топологические пространства, а пространства с первой аксиомой счетности, т.е. если у каждой точки х пространства Т существует счетная определяющая система окрестностей. В этом случае каждая точка прикосновения х произвольного множества ЛХ С Т может быть представлена как предел некоторой последовательности точек из ЛХ. Действительно, пусть 10„) — счетная определяющая система окрестностей точки х.

Можно считать, что О„+г с 0„(иначе мы заменили бы О„ и ца П Оь). Пусть хь — произвольная точка из ЛХ, содержащаяся ь=1 в Оь (Хе = 1, 2,...). Ясно, что такое хь существует, иначе х не было бы точкой прикосновения для ЛХ. Последовательность 1хь ), очевидно, сходится к х. Первой аксиоме счетности удовлетворяют, как мы отмечали., все метрические пространства. Именно поэтому мы и смогли все такие понятия, как замыкание, точка прикосновения и т.д., сформулировать для метрических пространств в терминах сходимости послодовательпостей. б. Непрерывные отображения.

Гомеоморфизм. Понятие непрерывного отображения, .введенное нами для метрических пространств в 9 1, естественно обобщается на произвольные топологические пространства. О и р е д е л е н и е. Пусть Х в У два топологических пространства. Отображение Х пространства Х в пространство У называется непрерывным в точке хо, если для любой окрестности ХХи, точки ув = Х(хв) найдется такая окрестность ггго точки хв, что Х11ео) С Поо. Отображение Х: Х вЂ” > У называется непрврывньгм, если оно непрерывно в каждой точке х е Х.

В частности, непрерывное отображение топологического пространства Х в числовую прямую называется непрерывной функцией на этом пространстве. Легко убедиться, что для метрических пространств это определение действительно превращается в то определение непрерывности Гл. и. Метрические и топологические просгпронстаа 100 отображения одного метрического пространства в другое, которое было дано в 01. Данное нами определение носит «локальный» характер. Непрерывность отображения 1" на всем Х определяется через непрерывность 1 в каждой точке.

Оказывается, что понятие непрерывности отображения одного топологического пространства в другое можно сформулировать в терминах открытых множеств, т.е. в терминах топологии этих пространств. Теорема 6. Для того чтобы отображение у" топологического пространства Х в топологическое пространство У было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз Г = 1" 1(С) всякого открытого множества С с У был открыт (в Х). Доказательство. Необходимость.

Пусть отображение г" непрерывно и пусть С вЂ” открытое множество в У, Докажем, что Г = у '(С) открыто. Пусть х произвольная точка множества Г и р = 1(х). Тогда С служит окрестностью точки р. По определению непрерывности найдется такая окрестность И точки х, что ((Ио) с С, т.е. У с Г. Иначе говоря, если х 6 Г, то существует окрестность 1г, этой точки, содержащаяся в Г. Но это и значит, что Г открыто. Достаточность. Пусть Г = 1 '(С) открыто, если С с У открьгго. Рассмотрим произвольную точку х Е Х и произволыгую окрестность Со точки р = г(х). Поскольку р Е Со, точка х принадлежит множеству 1 ~(11о).

Это открытое множество и служит той окрестностью точки х, образ которой содержится в Г1о. Замечание. Пусть Х и У --. произвольные множества и 1 отображение Х в У. Если в У задана некоторая топология т (т.е. система множеств, содержащая О и У и замкнутая относительно взятия любых сумм и конечных перосечений), то прообраз топологии т (т.е. совокупность всех множеств 1" '(С), где С е т) будет топологией в Х. Для доказательства достаточно вспомнить теоремы о прообразе суммы и пересечения множеств (см.

з 2 гл. 1). Мы обозначим эту топологию 1" 1(т). Если теперь Х и У топологические пространства с топологиями т и т„, то теорему 6 можно сформулировать так: отображение г: Х вЂ” > 1 непрерывно в толе и только том случае, если топология та сильнее топологии 1 1(т„). Из того, что прообраз дополнения есть дополнение прообраза, следует теорема, двойственная к теореме 6. 1 5. Тоаолоеиаесаие поостоанстоа 101 Теорема 6'. Для того чтобьг отображение )" топологического пространства Х в топологическое пространство У было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы прообраз всякого замкнутого множества из У был замкнут (в Х). ЯО) О 1!2 1 Я /2) Рис. 11 Легко убедиться, что образ открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении не обязательно открыт [замкнут).

Рассмотрим, например, отображение полуинтервала Х = [О, 1) на окружность. Множество [1/2, 1), замкнутое в [О, 1), переходит при этом в незамкнутое множество на окружности (рис. 11). Отображение называется огикрытлмм, если оно переводит каждое открытое множество снова в открытое. Отображение, переводящее каждое замкнутое множество в замкнутое, называется замкнутым. Для непрерывных отображений справедлива следующая теорема, аналогичная хорошо известной из анализа теореме о непрерывности сложной функпии. Теорема 7. Лусгь Х, У и л топологические пространства и пусть 1" и со нспрерьпшые отображения Х в У и 1'' в У соответственно.

Тогда отображение х ~-> 1с[~[т)) пространства Л в У непрерывно. Доказательство этой теоремы сразу получается из теоремы 6. На топологические пространства распространяется понятие гомеоморфизма, введенное нами в 2 1 для метрических пространств, а именно, отображение 1 топологического пространства Х на топо- логическое пространство Г называется гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно; пространства Л и У при этом называют гомеоморфными. Гомеоморфные пространства обладают одними и теми же топологическими свойствами, и с топологической точки зрения их можно рассматривать просто как два экземпляра одного и того же пространства. Топологии в двух гомеоморфных пространствах служат образами и прообразами друг друга. Отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично и транзитивно; поэтому любая совокупность топологических пространств Гл.

Характеристики

Список файлов книги