1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

такое отображение К в себя, что р(Лх, Ау) < р(х,у) при х р у. Показать, что отображение А имеет в К единственную неподвижную т о ч к у. 'з 6. Иомпакганость Утверждения последней теоремы допускают обобщение н на более широкий класс функций, а именно, на так называемые полунепрерывпые функции. Функция ф(х) называется полунеарврывкой снизу (сверху) в точке то, осли для;побого в > О существует такая окрестность точки хо, в которой ф(х) > ф(хо) — е (соответственно, ф(х) < ф(я:о) + в).

Например, функция «целая часть от х», у(х) = Е(х) полунепрерывна сверху. Если увеличить (уменыпить) значение ф(хо) непрерывной функции в какой-либо одной точке хо, то мы получим полунепрерывную сверху (сннзу) функцию. Если ф(х) полунепрерывна снерху, то — ф(х) полунепрерывна снизу. Этн два замечания позволяют сразу построить болыпое число приморов полунепрерывных функциИ.

При изучении свойств полунепрерывпости действительных функций удобно допускать для ннх бесконечные значения. Если ф(хо) = — оо, то функдию ф будем считать полунепрерывной снизу в точке хо; если же для любого 6 > О имеется окрестность точки хо, в которой ф(х) < — 6, то будем считать, что функция ф полунепрерывна н сверху в точке хо.

Если ф(хо) = -Ьоо, то функцию ф будем считать полунепрерывной сверху в хо; если же для любого 6 > О имеется окрестность точки хо, в которой ф(х) > 6, то будем считать, что функция ф полунепрерывна и снизу в точке хо. Пусть у(х) действительная функция па метрическом пространстве В. Верхним пределом 1"(хо) функции ф(х) в точке хо называется величина (конечная илн бесконечная) 1цп ~ зпр 1(х)~. Нихсний орсо .

ев1*о, 1 дел ф(хо) определяется аналогично с заменой верхней грани на нижнюю. Разность ьоз"(хо) = 1г(хо) — ф(хо) (если она имеет смысл, т.е. если числа ф(хо) и ф(хо) не равны бесконечности одного знака) называется колебанием функции ф(х) в точке хо. Легко видеть, что для непрерывности ф(х) в точке хо необходимо н достаточно, чтобы ьоД(хо) = О, т.е. чтобы — <П") =й*.) < Для любой функции у(х), заданной на метрическом пространстве, функция у(х) полунепрерывна сверху, а функция ф(х) полунепрерывна снизу.

Это легко вытекает из определения верхнего и нижнего пределов. Рассмотрим метрическое пространство М. элементами х которого служат все действительные ограниченные функции Ьо(1), заданные па сегменте (а, Ь). Метрику в ЛХ зададим равенством р(х: у) = р(Ьо фр) = р (р(1) ф(1)]. «<ь Функции на ЛХ, как это обычно делается, будем называть функционалами, чтобы отличать их от функций ьо(1) элементов М. Рассмотрим один важный пример полунепрерывного функционала. Определим длину кривой у = ф(х) (а, < х < 6) как функционал уь(у) = зпр~, (х х,)т+(((х ) ((х,))т =! !л. П. Метрические и типологические иросгиринства 112 где верхняя грань (которая может быть равна -гоо) берется по нсевозможным разбиениям отрезка (а,б).

Этот функционал определен на всем пространстве ЛХ. Для непрерывных функций он совпадает со значением предела )зпз ~~, (х х )г х (г(х ) г(х ))г г М,— т П 0 =1 Наконец, для функций с непрерывной производной его можно записать в виде Функционал ь„(1 ) полу попрерывен снизу в лх, что легко следует из его определения. На полунепрерывные функдин обобщается установленная выше тео1зема.

Теорема 8 а. Полунепрерывная снизу (сверху) конечная функция на компактном Тг-пространстве Т ограничена снизу (гнерху). Действительно, допустим, что 1п( 1(х) = — со. Тогда существует такая последовательность (х„), что г"(х„) < -п. Поскольку пространство Т компактно, его бесконечное множество (х ) имеет (в силу теоремы 2) хотя бы одну предо.пьную точку то. По предположенииз, функция У конечна и полунепрерывна снизу; поэтому найдется такая окрестность сг точки хо, что 1(х) > Т(хо) — 1 при х б Г, Но тогда окрестность Г может содержать лишь конечное число точек множества (х ), а это противоречит тому, что точка хо .— предельная для этого гнножества. Аналогично доказывается теорема и для случая полунепрерывной сверху функции.

Т е о р е м а 8 б. Полунепрерывная снизу (сверху) конечная функция на компактногз Тг-пространстве Т достигает гноей нижней (верхней) грани. Пусть функция 1"(х) полунецрерывна снизу. Тогда по теореме 8а она имеет конечную нижнюю грань, и существуст такая последовательность (хи), что )'(гы) ( шГ г(х) -р 1/и. Поскольку Т компактно, множество (х„) имеет предельную точку хо. Есззн бы было Т(ха) > (пг 1', то, в силу полунепрерыввости функции 1 снизу, нашлись бы такая окрестность Г точки хо и такое б > О, что у(х) > шГ Г ~- 6 при х б П. Но тогда окрестность Г не могла бы содержать никакого бесконечного подмножества множества (х ).

Следовательно, У(хо) = 1п( 1". что и требовалось доказать. 4. Счетная компактность. Введем следующее определение. Определение. Пространство Т называется счетно-компактнылг, если каждое его бесконечяое подмножество имеет хотя бы одну предельнунзточку. 1 К йомпонтпооть ыз Доказанная в п. 1 теорема 2 означает, что всякое компактное пространство счетно-компактно. Обратное, вообще говоря, неверно. Вот «традиционный» пример счетно-компактного, но нс компактного пространства. Рассмотрим множество Х всех порядковых чисел а, меньших первого несчетного порядкового числа шы Назовем и н т е р в а л о м (а, й) в Х совокупность всех порядковых чисел 9, удовлетворяющих неравенствам а < у < б. Открытым множеством в Х назовем объединение произвольного числа интервалов.

Легко проверить, что построенное пространство счетно-компактно, но не компактно. Соотношение между понятиями комвактностн и счетной компактности становится ясным из следующей теоремы. Теорема 9. Для того чтобьг топологическое, пространство было счетно-компактным, необходимо и достаточно любое из следующих двух условий: 1) Каждое счетное открытое покрытие пространства Т содержит конечное подпокрытие. 2) Каждая счетная иентрнрованная система замкнутых»гпожеств в Т имеет непустое пересечение. Доказательство. Равносильность условий 1) н 2) непосредственно следует из соотноп|ений двойственности.

Далее, если Т не счетно-компактно, то, повторив рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2, мы получим, что в Т существует счетная центрированная система замкнутых множесге с пустым пересечением. Тем самым достаточность условия 2) (а значит, и 1) ) установлена. Докажем необходимость условия 2). Пусть Т счетно-компактно и 1тп) счетпаЯ центРиРованнаЯ система замкнУтых множеств в Т. Покажем, что ПЕп ф И. Пусть Фп = П Ры Ясно, что все Ф„ и ь=г замкнуты, не пусты (в силу центрнрованности 1Гп)) и образуют невозрастаюшую систему Фг З Фз З...

и что П Фп = Д Гп. Возможны два случая: 1) Начиная с некоторого номера пв Фп~ Фпо-~-г тогда, Очевидно, П Фп — Фпо и 2) Среди Ф„имеется бесконечно много попарно различных. При этом достаточно рассмотреть случай, когда все Фп различны между. собой. Пусть яп б Фп ', Фпьы 114 Гл. П. Метрические и топологические просгпроистаа Последовательность 1я„) представляет собой бесконечное множество различных точек из Т; в силу счетной компактности Т она должна иметь хотя бы одну предельную точку, скажем, хв. Так как Ф„соДеРжит все точки Яп, Яп+1,..., то хо пРсДельцан точка ДлЯ Ф„и в силу замкнутости Фп, хв й Фп.

Следовательно, ) ) Ф„Э яш п т. е. ) ) Фп Ф кг. и Таким образом, и компактные, и счетно-компактные пространства характеризуготся «поведением» своих открытых покрытий. И в том, и в другом случае из открытого покрытия можно выбрать конечное, но в первом случае речь идет о любых покрытиях, а во втором - только о счетных. Хотя в общем слу.чае из счетной компактности компактность не вытекает, имеет место следующий факт. Теорема 10. Для пространств со счетной базой понятия компактности и счетной компактности совпадаюп Действительно, из любого открытого покрытия пространства Т, имеющего счетную базу, можно выбрать счетное подпокрытие 1теорема 5 ~ 5). Если же Т к тому же и счетно-компактно, то из этого последнего можно в силу предыдущей теоремы выбрать конечное подпокрытие.

Тем самым устанавливается, что Т компактно. 3 а м е ч а н и е. Понятие счетной компактности топологического пространства оказалось на самом деле (в противовес компактности) не очень удачным и естественным. Оно возникло так сказать «по инерции». Дело в том, что для метрических пространств (как и для пространств со счетной базой) эти два понятия совпадают 1это будет показано в следующелг параграфе). При этом для метрических пространств понятие компактности было поначалу дано именно как наличие у каждого бесконечного подмножества предельной точки, т.е.

как определение счетной компактности. «Автоматический» перенос этого определения с метрического случая на топологический и привел к понятию счетно-компактного топологичсского пространства. Иногда в литературе, особенно более старой, термин «компактность» понимается как «счетная компактность», а топологическое пространство, компактное в нашей терминологии, т. е. такое, из каждого открытого покрытия которого можно выделить конечное подпокрытиег называется бикогяпактным.

При этом компактное хаусдорфово пространство 1т.е. компакт) именуется бикомггиктом, а термин «компакт» резервируется для обозначения метрического компактного пространства. Мы буде»1 придерживаться тех терминов (компактностгч счетная компактность), которые введены 1 7. Комнантноеть в метрнчееннх ароетрантавах выше; при атом мы и компактные метрические пространства также будем называть компактами, а в тех случаях, когда наличие метрики желательно специально подчеркнуть, .-. <еметрическими компактами». 5.

Предкомпактные множества. Если множества ЛХ, лежащее в некотором хаусцорфовом пространстве Т, нс замкнуто в Т, то ЛХ не может быть компак"гно. Например, ни одно из незамкнутых подмножеств числовой прямой не является компактом. Может, однако, оказаться, что замыкание ~ЛХ) такого множества ЛХ в Т уже обладает свойством компактности. Например, зтому условию удовлетноряет л ю б о е о г р а н и ч е п н о о подмножество на числовой прямой или в и-мерпоь1 пространстве. Введем следующее определение. Определение.

Множество ЛХ, лежащее н некотором топологическом пространстве Т, называется предкомпактпым (или компактным относитаельно Т), если его замыкание в Т компактно. Аналогично, ЛХ называется счетно-предкомпактпым в Т, если всякое бесконечное подмножество А с ЛХ имеет хотя бы одну предельную точку (которая может принадлежать, но может и не принадлежать ЛХ). Понятие предкомпактности (в отличие от компактности) связано., очевидно, с тем пространством Т, в котором мы данное множество рассматриваем. Например, множество рациональных точек в интервале 10, 1) предкомпактно, если его рассматривать как подмножество числовой прямой, по оно не будет прецкомпактным как подмножество пространства всех рациональных чисел.

Понятие предкомпактности наиболее существенно в случае метрических пространств, о чем будет идти речь в следуюгцем параграфе. 7. Компактность в метрических пространствах 1. Полная ограниченность. Поскольку метрические пространства представляют собой частный случай топологических, на них распространяются те определения и факты, которые были изложены в предыдущем параграфе. В метрическом случае компактность тесно связана с понятием полной ограниченности, которое мы сейчас введем. !л. РЛ Метрические а тааалагаческае пресс ранстаа 116 Пусть ЛХ .-. некоторое множество в метрическом пространстве Л и г некоторое положительное число.

Характеристики

Список файлов книги