1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 18
Текст из файла (страница 18)
х = р. Упражнение. Показать на примере, что отображение А, удовлетворяющее условию р(Ах,Ад) < р(х, д) для всех х ~ у, может не иметь ви одной неподвижной точки. 2. Простейшие применения принципа сжимающих отображений. Принцип сжимающих отображений можно применять к доказательству теорем существования и единственности решений для уравнений различных типов. Помимо доказательства существования и единственности решения уравнения Ах = х, принцип сжимающих отображений дает и фактический метод приближенного нахождения этого решения (метод последовательных приближений). Рассмотрим следующие простые примеры.
1. Пусть З" функция, которая определена на сегменте [а.,б), удовлетворяет условию Липшица ~~(хз) — Д(х1)~ < К~хз — х1 ~ с константой К < 1 и отображает сегмент ~а, Ь1 в себя. Тогда у' есть сжимающее отображение и согласно доказанной теореме последовательность хо, х1 = т'(хе), ха = т'(х1), ...
сходится к единственному корню уравнения х = у (х). Рис. 9 Рис. 10 Гл. П. Метрические и тоиолоеические пространства 84 В частности, условие сжимаемости выполнено, если функция имеет на сегменте (и, Ь) производную г'(х), причем 'Ьг'(х)~ < К < 1. На рис. 9 и 10 изображен ход последовательных приближений в случае О < Г'(х) < 1 и в случае — 1 < 1'(х) < О. Пусть теперь мы влезем дело с уравнением вида Г(х) = О, причем Г(а) < О, Р(Ь) ) О и О < К1 < йч(х) < Кз на (о, Ь). Введем функцик1 1(х) = х — ЛГ(х) и будем искать решение уравнения х = 1(х), равносильного уравнению Е(х) = О при Л ~ О. Так как г'(х) = 1 — Лгч(х), то 1 — ЛКе < 1" (х) < 1 — ЛК1 и нетрудно подобрать число Л так, чтобы можно было действовать методом последовательных приближений.
Это распространенный метод отыскания корня. 2. Рассмотрим отображение А и-ъ1ерного пространства в себя, задаваемое системой линейных уравнений 91 = ~ о11хс + Ь1, 1 = 1,...,и. 1=-1 Если А есть сжатие, то мы можем применить метод последовательных приближений к решению уравнения х = Ах. При каких же условиях отображение А будет сжатием? Ответ на этот вопрос зависит от выбора метрики в пространстве.
Рассмотрим три варианта. а) Пространство И,", т.е. р(х,у) = гпак ~х1 — у1~; 1<1<и р(у, у ) = шах ~у, — у, ~ = шах ~ о, (х — х. ) < < швак~ )оо))х' — х"! < 1паак~ )о, (шах(хе — х") = = (Шаая ~ ~)11„!) Р(Х',:Гн). Отсюда условие сжимаемости (2) ~о11~ < ее < 1, о=! б) Пространство К", т.е. р(х,д) = 2 ~х1 — 91~; Р(11', Уи) = ~ ~Р,' — Р,"~ = ~,> ОМ(Х,' — Х,") ~ < 1 1 < ~~ь ~ ~/оо)/хе — х,"/ < (швак" ~оо!)Р(х',хн). 1 4.
Принцип союниаютии отображений Отсюда условие сжимаемости ~а12~(о<1, у=1,...,п. (3) и В) ПрОСтраНСтВО К', т.в. р(Х,у) = ,'1 (Хе — уе)2. На ОСНОВаинн — 1 неравенства Коши-Буняковского имеем р [21',рн) = ~ ~(~~~ а11(хб — х")) < (~~ ~2 аз 2)р 1х',хо). Отсюда условие сжимаемости ~аа <о<1. (4) (о~ г (о2 ~о)) , (1) ~, (П (11) йй ( Ф1 (ь)) где и, 1=1 .. о [о1 1о1 а В КаЧЕСтви Хео2 = (Х~,..., Хп ) Мижие ИэятЬ ЛЮбуиз тОЧКу ИЗ 1чп. Каждое из условий (2) (4) достаточно для того, чтобы отображение у = Ах было сжатием. Относительно условий 12) и (3) 2) В частности, из любого из условий (2) — 14) вытекает, что агг — 1 а12 а22 1 а2 а2„ аз1 й о.
а„г а 2 ... а„ вЂ” 1 Таким образом, если выполнено хотя бы одно из условий ') (2)- (4), то существует одна и только одна точка (х1,..., х„) такая, что х1 = 2 ае.х. + Ь1, причем последовательные приближения к этому 1=1 решению имеют вид рл. П. Метрические и тополоеические пространства 86 можно было бы доказать, что они и не о бх од и м ы для того, чтобы отображение у = Ах было сжатием (в смысле метрик а) или б) соответственно). Ни одно из условий (2)--(4) не необходимо для применимости метода последовательных приближений. Если ~ас ~ < 1/и, то все три условия (2) — (4) выполнены и метод последоватольных приближений заведомо применим.
Если ~и,. ~ > 1!'и, то ни одно из условий (2)- (4) не выполнено. 3. Теоремы существования и единственности для дифференпиальных уравнений. В предыдущем пункте были даны два простейших примера применения принципа сжимающих отображений в одномерном и в о-мерном пространствах. Однако наиболее существенны для анализа применения этого принципа в бесконечно- мерных функциональных пространствах. Сейчас мы покажем, как с его помощью можно получить теоремы существования и единственности решения для некоторых тинов дифференциальных и интегральных уравнений. 1. Задача Коши.
Пусть дано дифференциальное уравнение (5) 6!У!114х = г(х, д) с начальным 1словием у(хо) = уо (6) причем функция 7 определена и непрерывна в некоторой плоской области С., содержащей точку (хо, до), и удовлетворяет в этой области условию Лип!ница по д; ~У(х:У1) ! (х У2)( < м~д1 У2).
Докажем, что тогда на некотором сегменте (х — хв ~ < д существует, и притом только одно, решение у =:р(х) уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию (6) (теорема Пикара). Уравнение (5) вместе с начальным условием (6) эквивалентно интегральному уравнению (7) 1р(х) Уи + / 7(! Ф(!)) с!б ео В силу. непрерывности функции 7 имеем ~7(х,д)~ < К в некоторой области С' С С, содержащей точку (хо,ув). Подберем с1 ) 0 так, чтобы выполнялись условия: 1) (х, д) Е С', если ~х — хо~ < с!, ~у — уо~ < КФ 2) ЛХ11 < 1. 1 4. !!ринцип ежниатщих отображений 87 Обозначим через С* пространство непрерывных функций д, определенных на сегменте (х — хв~ < д и таких, что ~1ео(х) — йе~ < ль1, с ьштрикой 77(1ео1, уот) = шак ~1р1(х) — ~оа(х)~.
а Пространство С' полно, так как оно является замкнутым подпространством полного пространства всех непрерывных функций на (хе — 11, хе + 11]. Рассмотрим отображение ер = А~а, определяемое формулой еУ(х) Уо + / 1(1, Ф(1)) 71н аа где (х — хе ( < Н. Это отображение переводит полное пространство С' в себЯ и ЯвлЯетсЯ в нем сжатием. Действительно, пУсть 1ео Е С*, ~х, — хо~ < ь1. Тогда ~~щ(х) — уе~ = ~ / )(1 уо(й))В~ < Ке1 и, следовательно, А(С") с С'.
Кроме того, ~411(х) ерев(х)~ < 17 ~1(1.,1р1(1)) У(й Фз(Г))~711 < ео < Ме1 1пах ~1о1 (х) — уот(х) ~. Так как М11 < 1, то А — сжатие. Отсюда вытекает, что уравнение у = Ар (т. е. уравнение (7)) имеет одно и только одно решение в пространстве С'. 2. Задача Коши для системы уравнений. Пусть дана система дифференциальных уравнений у,'.(Х) = У;(х,д1(х),...,еоа(х)), 1 = 1,...,н, (8) с начальными условиями уо1(хо) = рон 1' = 1 ... н (9) причем функции 7", определены и непрерывны в некоторой области с пРостРанства й" 11, содеРжащей точкУ (те, Уш,...,Ув„), и Удовлетворяют условию Лившица ~(1(х,й1ц,...,у~ ) — ~;(х,у,,,у„й)~ < М 1пак )у, — у,.
). 1<1< Докажем, что тогда на некотором сегменте ~х — хе~ < И существует одно и только одно решение начальной задачи (8), (9), т.е. одна и только одна система функций уо„удовлетворяю1пих уравнениям (8) и начальным условиям (9). Гл. П. Метринесние и тополоеинесние пространства 88 Система (8) вместе с начальными условиями (9) эквивалентна системе иьнегральных уравнений 'зч(х) = У;+ ~ Л(»,зо (»),..., зо„(»)) е»», л = 1,..., . (1О) ао В силу непрерывности функпии »', ограничены в некоторой области С' с С, содержащей точку (хо, уоы, уоп), т, е, существует такое постоянное число К, что ф(х, уы..., у„) ~ < К. Подберем е» > 0 так, чтобы выполнялись условия; 1) (х, ды.,,, уи) Е С', если (х — хо! < с», ~у; — уое~ < Кс» (» = 1,..., п); 2) ЛХс» < 1. Рассмотрим просграпство С„"„элементами которого являются наборы р = (уы..., ри) из и функций, определенных и непрерывных при ~х — хо~ < с», и таких, что (~р;(х) — уо;~ < Кс».
Определим метрику о м лой ФР р(р, ер) = шах [рл(х) — ф,(х)1 Введенное пространство полно. Отображение ы = Азо, задаваемое системой равенств лЛ(х) = уо + / Ы.ерл(»),.:р (»))с»»: ао есть сжимающее отображение полного пространства С;, в себя. Действительно, ',"() — ","()= = / [Л(», р,"(»),..., р®(»)) — Л(»,рт»(»),, р[,'~(»)я»» *о и, следовательно, лпах ф~ (х) — ео, (х)) < Мс»шах ~|р,.
(х) — уо, (х) ~. Отображение А сжимающее, поскольку ЛЫ < 1. Отсюда вытекает, что операторное уравнение ло = Ало имеет одно и только одно решение в пространстве С„*. 4. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям. 1. Уравнения Фредгольма. Применим теперь метод сжимающих отображений для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального у р а внепня Фредгольма второго рода, т.е. уравнения (11) »(х) = Л / К(х, у)1(у)»у + ~р(х), а 8 4.
!!риицип ежпиащщих отображений 89 где К (так называемое ядро) и 9е суть данные функции, Х - искомая функция, а Л произвольный параметр. Мы увидим, по наш метод применим лишь при достаточно малых значениях параметра Л. Предположим, ьто К(х,у) и р(х) непрерывны при а < х < Ь, и < у < Ь и, следовательно, ~К(х, у) ~ < ЛХ. Рассмотрим отображение д = АХ полного пространства С(о, Ь] в себя, задаваемое формулой ь д(х) — Л Х К(х, у)Х(д) ебу +,р(х). Имеем Р(ды дт) = шах (д~ (х) — дз(х) ~ < (Л) ЛХ(Ь вЂ” а) шак )Хь (х) — Хз(х) !. Следовательно, при Л < отображение А сжимающее.
1 Из принципа сжимающих отображений заключаем, что для всякого Л с ~Л~ < уравнение Фредгольма имеет единственное 1 ЛХ(6 — а) непрерывное решение. Последовательные приближения к этому решению Хо,,Хы..., Х„,... имеют вид ь Х„(х) — Л / К(х, у)Х„ ь(у)еХд + 9ь(х), а где в качестве Хо(х) можно взять любую непрерывную функцию. 2. Нелинейные интегральные уравнения. Принцип сжимающих отображений можно применить и к нелинейному интегральному уравнению вида ь ,Х(х) — Л / К(х, у, Х(у)) ду+ еа(х), (12) а где К и за непрерывны и, кроме того, ядро К удовлетворяет условию ауипшица по своему «функциональному» аргументу: ~К(х., у; зь) — К(х, у; зв) ~ < ЛХ~з~ — ей ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
