1610912324-d6d302fddade0a032e1066381713268c (824704), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Эти соображения подсказывают следующее определение. Определение 2. Производноо 6Т(дх обобщенной функции Т называется функционал, определяемый формулой Тор) Т( ) Ясно, что функционал, определяемый втой формулой, линеен и непрерывен, т. е. представляет собой обобщенную функцинх Аналогично определянпгся вторая, третья н дальнейшие производные. Обозначая обобщенную функцию символом з", мы будем обозначать ее производную (понимаемую в определенном только что смысле) обычным символом ~'. Непосредственно из определения производной обобщенной функции вытекает справедливость следующих утверждений: 1.
Всяк я обобщенная функция имеет произеоднме всех порядков. Гл. ге'. Линейные функционалы и оееераторы 224 2. Если последовательность обобщенных функции (1н) сходится к обобщенной функции 1' (в смысле определения сходимости обобщенных функпий), то последовакчельность производных (Д) сводится к производной 1"' предел»нов функции. То же самое. верно и для производных любого порядка. Это равносильно тому, что всякий сходящийся ряд, составленный из обобщенных функций, можно дифференцировать почленно любое число раз. 1 при х)0, У(х) = 0 при х<0. (5) Эта функция, называемая функцией Хевисаада, .определяет линей- ный функционал У,р)= ~ р()дх о В соответствии с определением производной обобщенной функции имеем (1', ео) = — (~, ~р ) = — ~ р (х) дх = уо(0) о (поскольку оо обращается в 0 на бесконечности).
Таким образом, производная функции Хевисайда (5) есть б-функция. 3. Из примеров 1 и 2 ясно, что если 1 функция, имеющая в точках хы хз,... скачки, равные Ьы 52,..., и дифферсццируемая (в обычном смысле) в остальных точках, то производная от нее (как от обобщенной функции) представляет собой сумму обычной производной 1' (в тех точках, где она существует) и выражения вида 2 1цб(х — х,). 4. Применив определение производной к д-функции, получим, что эта производная представляет собой функционал, принимающий на каждой функции из К значение — ~р'(0). А это и есть тот самый функционал, который мы уже назвали «производной от б-функции». 5. Рассмотрим ряд сцп пх ед- (6) Рассмотрим некоторые примеры. 1.
Из сказанного выше ясно, что если 1 .. регулярная (т. е. «настоящая») функция, производная которой существует и непрерывна (или кусочно-непрерывна), то производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле. 2. Пусть 5 4. Обобщенние финикии 225 Его суммой служит функпия, имеющая период 2х и определяемая на отрезке ~ — я, х) формулами при 0<х<т, — — при — »г < х < О, я ч- х» 2 0 при х=О Обобщенная производная от нее равна — 2 + т ~ б(х — 2йх). (7) ь — — — э» Это некоторая обобщенная фу.нкция (применяя ее к любой финитной функции р(х), мы всегда будем получать лишь конечное число отличных от нуля слагаемых). С другой стороны, дифференцируя ряд 2 ', * почленно, мы получаем расходящийся ряд совах. и=1 Однако в смысле сходимости обобщенных функций этот ряд сходится (а именно, к выражению (7)).
Таким образом, понятие обобщенной функции позволяет приписать некоторый вполне определенный смысл сумме ряда, который в обычном смысле расходится. То же самое относится и ко многим расходящимся интегралам. С этим обстоятельством приходится часто встречаться в квантовой теории поля и ряде других областей теоретической физики. Впрочем, такая ситуация возникает уже цри реп1ении элементарных задач математической физики с помощью метода Фурье.
Например, при решении уравнения колебаний струны —., = а' —, возникают тригономед'и 2 д'и д1 дх трические ряды, имеющие вторые производные по х и по 2 только в смысле теории обобщенных функций, и значит, удовлетворяющие этому уравнению тоже только в смысле этой теории. б. Достаточность запаса основных функций. Мы определили обобщенные функции как линейные функционалы на некотором пространстве — пространстве К финитных бесконечно дифференцируемых функций. Можно было бы основное пространство выбрать и как-либо иначе.
Рассмотрим соображения, которые определили выбор К в качестве пространства основных функций. Они применимы и в других случаях. Наложив на элементы из К жесткие требования финитности и бесконечной дифференцируемости, мы получили, во-верных, большой запас обобщенных функций (сужение основного пространства приводит, очевидно, к расширению сопряженного Гл. 1Н. Линейные функционалы и операторы 226 1 е р(щ) = О при о<к<д, при остальных х; эта функция равна нулю вне (о, д) и положительна внутри этого интервала; кроме того, она имеет производные всех порядков, так что „о Е К (проверьте су.ществование производных в точках к = о и к = д!). При этом, очевидно, ао н / )(т)~р(х) дх = / у(х)»о(к) дт ф- О.
— со а Мы показали, таким образом, что пространство К достаточно для различения любых двух непрерывных функций ). 6. Восстановление функции по производной. Днфференпиальные уравнения в классе обобщенных функпнй. Дифференциальные уравнения — — одна из основных областей, где применяется теория обобщенных функций. Иагенпо задачи, связанные с уравнениями, в значительной мере и стимулировали развитие этой теории. В основном она применяется к уравнениям в частных производных, которые мы здесь не рассматриваем.
Однако мы коснемся здесь некоторых простейших вопросов, относящихся к решению (обыкновенных) дифференциальных уравнений с обобщенными функциями. Начнем с простейшего уравнения вида у' = 1(т) ®т) обобщенная, или «обычная», функция), т.е. с задачи о восстановлении функции по ее производной. Начнем со случая у(ж) = О. г) Это утверждение можно распространить и на функции, существенно более общие, чем непрерывные, ио для этого нужно пользоваться понятием интегрнруемости по .Лебегу, о чем речь будет идти в следуя)щей главе.
пространства), а во-вторых, бблыпую свободу в применении к обобщенным функциям основных операций анализа (предельный переход, дифференцирование). Но вместе с тем пространство основных функций К является не слишком узким. В нем достаточно много элементов для того, чтобы с их помощью можно было различать непрерывные функции. Точнее говоря, пусть 21 и ф ." дпе различные непрерыпныс (а следовательно, и локально интегрируемые) функции на прялгоЬ. Тогда существует такая функция со й К, чгпо ~ ~()~()д*ф ~ ~(к)4)д (8) Действительно, положим ) (х) = (г(к) —,~2(к).
Если ((т) д-: О, то существует такая точка яо, что ((хо) ф О. Тогда у (т) сохраняет знак в некотором интервале (о, д), содержащем точку жо. Рассмотрим функцию 1 4. Обобщенные фрннинн 227 Теорема 1. Только константы служат решениями (в классе обобщенных функций) уравнения р' = О. (9) т.е. Кььь есть ядро функционала / Зь(х) ь1х. Действительно, если р(х) = ф'(х), то ьр(х) е(х = тьь(х) ~ = О.
Обратно, выражение (12) ь(ь(х) = / ьр(1) е(1 (13) есть бесконечно дифференцируемая функция. Если (11) выполнено, то ць(х) — - финитная функция. Ее производная равна:р(х). В соответствии с результатами и. 6 2 1 гл. П1 любую основную функцию р е К можно представить в виде Зь=Зьь+про, ьрь 6К (ь~ где еьв - фиксированная осььоььная функция, не принадлежащая Кць и удовлетворяющая условию / ьрз(х) ььх = 1.
Для этого достаточно положить с = / Зь(х) Йх, рь(х) = ьь(х) — ора(х). Доказательство. Уравнение (9) означает, что (р',зь) = (и,-р') = 0 (10) для любой основной функции р е К. Рассмотрим совокупность КО ь тех основных функций, каждая из которых может быть представлена как производная какой-то основной функции. Очевидно, что Кць есть линейное подпространство К. Положим рь(х) = †,р'(х); функция Зьь пробегает Кььь, когда ~р пробегает К.
Равенство (10) определяет функционал 9 на Крь. Заметим теперь, что основная функция ьр принадлежит КьО в том и только том случае, если / р(х) е1х = О, (11) Гл. 1у. Линейные функционалы и операторе~ 228 Таким образом, если задать значение функционала у на основной функции ре(л), то тем самым он будет однозначно определен на всем К. Положив (у, рв) = о, получим у у т.е.
обобщенная функция у есть постоянная о, что и требовалось доказать. Отсюда следует, что если для двух обобщенных функций г" и д выполнено равенство 2' = д', то 2' — д = соп81,. Рассмотрим теперь уравнение (14) где 2" (т) . —. произвольная обобщенная функция. Теорем а 2. Уравнение (14) при каждом ( Е К* имеет решение, принадлежащее К'. Это решение естественно назвать первообразной обобщенной функции (.
Доказательство. Уравнение (14) означает, что (15) для любой основной функции р Е К. Это равенство определяет значение функционала у на всех оснонных функциях ~р1 из КО~; Используем теперь полученное выше представление р = р1 + с|~в элементов из К. Положив (у, ро) — О, мы доопределим тем самым функционал у на всем К: именно, Этот функционал, как легко проверить, линеен и непрерывен. Кроме того, он удовлетворяет уравнению (14).
Действительно, для всякого уо Е К Ь р)=Ь у )=(Л ( дг(Ое(4) =(ууо). 1 4. Обобщенные функции 229 Итак, для каждой обобщенной функции Дк) существует решение уравнения у' = У(к), т. е. каждая обобщенная функция имеет первообразную. В силу тео- ремы 1 зта первообразная определяется функцией 7'(т) однозначно с точностью до постоянного слагаемого. Полученные результаты легко переносятся на системы линейных уравнений. Ограничимся здесь соответствующими формулировками, опуская доказательства. Рассмотрим однородную систему и линейных дифференциальных уравнений с п неизвестными функциями у, = ~а,ь(я)уь, .1= 1,...,а, (16) где ац„.
— бесконечно дифференцируемые функции. Такая система имеет некоторое количество «классических» решений (т, е, решений, представляющих собой «обычные», причем бесконечно дифференцируемые функции). Можно показать, что никаких новых решений в классе обобщенных функпий система (16) не имеет. Для неоднородной системы вида 'у, = 2 амуь+Л, (17) 7. Некоторые обобщения. Выше мы рассматривали обобщенные функции «одпого действительного неременного», т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
